数学解题失误成因分析与应对策略

数学解题失误成因分析与应对策略
作者：郁晓
来源：《文理导航》2012年第10期
在历年的数学教学中，经常有些平时数学学得很好的同学在考试中考出不满意的成绩，不能很好地展现自己的学习成果。

是什么原因造成这些考生的遗憾，这是本课研究的主题，怎样有效地避免类似的悲剧在以后的考查中重演，则是本课要达到的目标。

一、错误的特征
解题错误是数学过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关。

同时也与考生学习水平、身体与心理状况有关。

数学解题错误既有个性又有共性，数学错误有一定的规律性。

1.主观盲动性。

数学解题是主体感受并处理数学信息的创造性的思维过程。

部分考生考试时求胜心切，阅读未切题意，凭个人的经验盲目做题，而考试命题人对试题要实现突破被应试成分，以至于出现主观认识错误，陷入思维定势，形成解题思维障碍，造成主观盲动性错误。

2.漏洞隐蔽性。

数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯有着决定性的作用。

个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生是很难发现的，考生本人还自我感觉很好。

这是直觉形式思维跳跃度和平时解题不写过程有关，是聪明人犯的愚蠢的错误。

3.形式多样性。

解题错误形式多样性是由数学知识的广泛性和个体思维的不确定性决定的。

一般来说考生有除有知识性错误、逻辑性错误、心理性错误、策略性的错误外，阅读理解失误有忽视隐含、忘记特殊、以偏概全、忽视分类。

4.错误可避性。

解题错误是在数学解题过程中形成的，是数学认识过程中的正常现象。

所谓“吃一堑长一智”，就是说我们要增强数学解题过程中的错误警戒意识，养成严谨的数学思维习惯，并构建数学解题过程中常见性错误的“错题宝典”，养成解题反思，平时多重视作业卷子的错误分析，找准原因，及时纠正，因此高考数学解题中的错误也是可以避免的。

二、错误的成因分析
1.概念理解不透
例1 曲线+=1(m
A.焦点相同
B.焦点同在一坐称轴上
C.焦距相等
D.顶点相同
剖析——正确选择为C，但ABC极易相混淆.本题要分清曲线到底是什么圆锥曲线，才能相应的应用概念来解答
应对策略——对概念性质一定要认识本质,是解题最基础的东西,在平时的练习中就要养成好的习惯，在认识中不断提升理解熟练程度。

2.阅读理解不细
例2 在极坐标系中，从极点O作圆。

ρ=8sinθ的弦ON，则ON的中点的轨迹方程是。

剖析——正确结果在极坐标方程ρ=4sinθ，错误原因是写成了直角坐标系内的方程x2+y2-4y=0。

不是你不会，就是理解偏差。

应对策略——审题细致，克服粗心大意，是解题的良好习惯，克服低级错误，绝对不能出现“答非所问”，知道细节决定成败。

像本例学习时必须不放过细节。

3.等号条件不用
例3 已知：a>0, b>0, a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。

错解：(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8。

剖析——上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是
a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。

因此，8不是最小值。

事实上，原式= a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a+)2 + (b+)2的最小值是。

应对策略——在用不等式求最值时,忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

还要掌握等式不成立时，如何求解的方法，如求+最小值。

4.忽视数形结合思想
例4 求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点。

错误解法：设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1，则它与抛物线的交点为
y=kx+1y2=2x，消去y，整理得 k2x2+(2k-2)x+1=0。

直线与抛物线仅有一个交点，∴Δ=0，解得k=。

∴所求直线为y=x+1。

剖析——此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y=kx+1时，没有考虑k=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。

原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k≠0，而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

综上，满足条件的直线为：y=1,x=0,y=x+1。

应对策略——数形结合是一种数学思想，应用极为广泛，要重点掌握。

有了形，数就直观。

平时积累常见被忘记的特殊情况如二次项系数为0、斜率不存在、零向量、共线向量、共面等等并且配以相应的图形加深理解，多用一题多解训练,不断积累不断比较方法优劣,注意解后反思.
5.参数讨论不分
例5 设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，3…）。

（1）求q的取值范围；
（2）设bn=an+2－an+1，｛bn｝的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小。

剖析（1）因为｛an｝是等比数列，Sn＞0，可得a1=S1＞0，q≠0，
当q=1时，Sn=na1＞0，
当q≠1时，Sn=＞0，即＞0（n=1，2，3，…），则有1-q>0，1-qn>0，①或1-q
（2）由bn=an+2－an+1=an（q2－q），∴Tn=（q2－q）Sn，
于是Tn－Sn=Sn（q2－q－1）=Sn（q+）（q－2），又Sn＞0且-1＜q＜0或q＞0，则当－1＜q＜－或q＞2时，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn，当－＜q＜2且q≠0时，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn，当q=－或q=2时，Tn－Sn=0，即Tn=Sn。

应对策略：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称它为“分类讨论的思想”。

引起分类讨论原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义，P点分线段的比等）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果。

分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果。

分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论。

6.隐含条件疏忽
例6 已知(x+2)2+=1, 求x2+y2的取值范围。

错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，
∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。

剖析——没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。

事实上，由于(x+2)2+=1?圯(x+2)2=1-≤1?圯-3≤x≤-1，
从而当x=－1时x2+y2有最小值1。

∴x2+y2的取值范围是[1,]。

应对策略——注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数-1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。

注意公式成立的条件。

以上是本人对学生数学学习中经常出现的问题加以粗浅的分析和总结。

欢迎予以批评指正。

【参考文献】
[1]乔家瑞.数学高考失分对策[M].北京大学出版社,1997.11.
（作者单位：上海市育才中学）。