高一数学必修1学案：第3章对数函数习题课 含解析 精品

对数函数习题课
1．理解对数的概念及其运算性质．
2．理解对数函数的概念，了解对数函数的性质，能利用这些性质解决相关问题．
3．知道指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数．
反函数
一般地，如果函数y ＝f (x )存在反函数，那么它的反函数记作y ＝f －1(x )，反函数也是
函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数．
指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)和对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线y ＝x 对称．
并不是所有的函数都有反函数．例如函数y ＝x 2没有反函数．只有“一对一”的函数，即对任意x 1≠x 2能推断出f (x 1)≠f (x 2)成立的函数f (x )才具有反函数〔这里x 1，x 2是f (x )的定义域内的两个值〕．
【做一做1】函数y ＝－1x ＋1
(x ≠－1)的反函数是__________． 解析：由原函数，得x ＋1＝－1y
， 从而f －1(x )＝－1x
－1(x ≠0)． 答案：y ＝－1x
－1(x ≠0) 【做一做2】函数y ＝2x ＋1
(x ∈R )的反函数是__________．
解析：∵y ＝2x ＋1(x ∈R )，∴x ＝－1＋log 2y (y ＞0)．
∴函数y ＝2x ＋1(x ∈R )的反函数为y ＝－1＋log 2x (x ＞0)．
答案：y ＝－1＋log 2x (x ＞0)
题型一 对数的运算性质
【例1】给定a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *，定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的k (k ∈N *)
叫做“企盼数”，求区间(1,62)内的所有企盼数的和．
分析：本题给出了“企盼数”的定义，其条件为k 个数之积为整数，而这k 个数的底数是不同的，所以联想到用换底公式来求解．
解：∵a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，∴a 1·a 2·a 3·…·a k ＝log 23×log 34×log 45×…×log (k ＋1)(k ＋2)＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×…×lg k ＋2 lg k ＋1 ＝lg k ＋2 lg 2
＝log 2(k ＋2)． 设log 2(k ＋2)为整数m ，
即log 2(k ＋2)＝m (m ∈Z )．
∴k ＋2＝2m ，即k ＝2m －2.
又∵k ∈(1,62)，即1＜2m －2＜62，
∴3＜2m ＜64.
∴m ＝2,3,4,5，代入k ＝2m －2得到k ＝2,6,14,30.∴区间(1,62)内所有“企盼数”之和
为2＋6＋14＋30＝52.
反思：换底公式是架设在不同底数的对数运算中的桥梁，通过这一公式可进行对数之间的运算，如通分、约分等．
题型二 对数函数模型
【例2】定义：函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数C ，对于任意x 1∈D ，存在惟一的x 2
∈D ，使得f x 1 ＋f x 2 2
＝C ，则称函数f (x )在D 上的“均值”为C .已知f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，求函数f (x )＝lg x 在[10,100]上的均值．
分析：本题是新定义题，其关键是在[10,100]上x 2被x 1惟一确定，且f (x 1)＋f (x 2)＝lg(x 1x 2)为常数，故可令x 2＝m
x 1
，然后依据x 2∈[10,100]，求出m ＝1 000，再由C ＝f x 1 ＋f x 2 2求出C .
解：由题意，当10≤x 1≤100时，x 2也要在[10,100]内，且lg x 1＋lg x 22
＝C ，即x 1x 2是常数．
令x 2＝m x 1，又1100≤1x 1≤110
， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 100≥10，
m 10≤100.
∴m ＝1 000. ∴C ＝f x 1 ＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫1 000x 12＝
lg 1 0002＝32
， 即函数f (x )＝lg x 在[10,100]上的均值为32
. 反思：分析法是探究数学问题的重要方法，它从结论出发，通过一定的计算与证明，回归到条件，或化归成我们熟知的定理、定义和常用结论．本题就是分析法的典例．
【例3】已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)且单调递增，满足f (4)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )．
(1)证明f (1)＝0；
(2)求f (16)；
(3)若f (x )≤f (x －3)＋1，求x 的范围；
(4)试证f (x n )＝nf (x )(n ∈N )．
分析：因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以联想函数f (x )是对数函数f (x )＝log a x 的模型，从而猜想f (1)＝0，f (16)＝2，再将不等式中的“f ”脱去，化为整式不等式而求解．
(1)证明：令x ＝1，y ＝4，得f (1×4)＝f (1)＋f (4)，从而f (1)＝0.
(2)解：令x ＝y ＝4，得f (16)＝f (4)＋f (4)＝2.
(3)解：由已知等式得f (x －3)＋1＝f (x －3)＋f (4)＝f (4x －12)．
∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x －3>0，
x ≤4x －12，
解之，得x ≥4，
∴解集为[4，＋∞)．
(4)证明：∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，
∴f (x n )＝()n x
f x x
个＝nf (x )． 反思：有关抽象函数的问题，通常能在我们学习过的函数中寻找到模型，由此类比猜想
可求问题，从而迅速准确地解决问题．
题型三 求反函数
【例4】已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x ＞0)，求f (1)＋g (1)的值． 分析：本题有两种解法，方法一是先求f (x )的表达式，再求f (1)的值；方法二是将f (1)的值作为g (x )中的自变量x 的值，而自变量x ＝1作为g (x )的函数值，从而得解．
解：方法一：由g (x )＝1＋2lg x ，得lg x ＝g x －12
， 从而x ＝10g x －12，即f (x )＝10x －12
. 所以f (1)＝100＝1.又g (1)＝1＋2lg 1＝1，
得f (1)＋g (1)＝2.
方法二：若g (x )＝1，则由1＋2lg x ＝1得x ＝1，
即f (1)＝1.又g (1)＝1，所以f (1)＋g (1)＝2.
反思：正确理解互为反函数的定义，在解题中能收到事半功倍的效果．
1方程9x －6·3x －7＝0的解是__________．
解析：(3x )2－6·3x －7＝0⇒3x ＝7或3x ＝－1(舍去)，解得x ＝log 37.
答案：x ＝log 37
2已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝__________(用a ，b 表示)．
答案：ab
3 log a 23
＜1，则a 的取值范围是________． 解析：当a ＞1时，log a 23＜1＝log a a .∴a ＞23
. 又a ＞1，∴a ＞1.
当0＜a ＜1时，log a 23
＜1＝log a a . ∴a ＜23
.又0＜a ＜1， ∴0＜a ＜23
. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23∪(1，＋∞) 4记f (x )＝log 3(x ＋1)的反函数为y ＝f －1(x )，则方程f －1(x )＝8的解x ＝__________.
解析：由f －1(x )＝8，得f (8)＝log 3(8＋1)＝2，
所以f －1(x )＝8的解为x ＝2.
答案：2
5已知定义域为(0，＋∞)的函数f (x )，同时满足下列条件：①f (2)＝1，f (6)＝15
，②f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．求f (3)，f (9)的值．
解：取x ＝2，y ＝3，得f (6)＝f (2)＋f (3)，
因为f (2)＝1，f (6)＝15，所以f (3)＝－45
. 又取x ＝y ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝－85
.。