高一同步物理精品讲义 匀变速直线运动的应用

匀变速直线运动的应用
要点一、匀变速直线运动的位移与速度的关系
根据匀变速运动的基本公式 0t v v at =+， 2
012
x v t at =+
， 消去时间t ，得22
02t v v ax -=．
即为匀变速直线运动的速度—位移关系．
要点诠释：
①式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便, 应优先采用． ②公式中四个矢量t v 、0v 、a 、x 也要规定统一的正方向. 要点二、匀变速直线运动的四个基本公式
(1)速度随时间变化规律：0t v v at =+． (2)位移随时间变化规律：2
012
x v t at =+
． (3)速度与位移的关系：22
02t v v ax -=．
(4)平均速度公式：02t x v v +=
，02
t
v v x t +=． 要点诠释：
运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式，应用时，要选取正方向．公式(1)中不涉及x ，公式(2)中不涉及t v ，公式(3)中不涉及t ，公式(4)中不涉及a ，抓住各公式特点，灵活选取公式求解．共涉及五个量，若知道三个量，可选取两个公式求出另两个量． 要点三、匀变速直线运动的三个推论 要点诠释：
(1)在连续相邻的相等的时间(T )内的位移之差为一恒定值，即△x ＝aT 2(又称匀变速直线运动的判别式)．
推证：设物体以初速v 0、加速度a 做匀加速直线运动，自计时起时间T 内的位移 2
1012
x v T aT =+
． ① 在第2个时间T 内的位移
22011
2(2)2x v T a T x =+-g
2
032
v T aT =+． ②
即△x ＝aT 2． 进一步推证可得
①122222n n n n x x x x x a T T T ++--∆=
==32
3n n
x x T +-==… ②x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝x n -x n -1，据此可补上纸带上缺少的长度数据．
(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 即02
2
t
t v v v v +==
． 推证：由v t ＝v 0+at ， ① 知经
2t
时间的瞬时速度 02
2t t v v a =+g ． ②
由①得0t at v v =-，代入②中，得
00/20001
()2222
t t t t v v v v v v v v v +=+-=+-=，
即02
2
t
t v v v +=
． (3)某段位移内中间位置的瞬时速度2
x v 与这段位移的初、末速度v 0与v t 的关系为
2
x v =
推证：由速度－位移公式22
02t v v ax -=， ①
知22
02
22
x x
v v a -=g
． ② 将①代入②可得22
2
200
2
2t x v v v v --=
，即2x v =
要点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式
要点诠释：
初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助． 设以t ＝0开始计时，以T 为时间单位，则
(1)1T 末、2T 末、3T 末、…瞬时速度之比为v 1:v 2:v 3:…＝1:2:3:…． 可由v t ＝at ，直接导出 (2)第一个T 内，第二个T 内，第三个T 内，…，第n 个T 内的位移之比为：x 1:x 2:x 3:x n ＝1:3:5:…:(2n -1)．
推证：由位移公式212x at =
得211
2
x aT =， 2
222113(2)222
x a T aT aT =-=，
22311
(3)(2)22x a T a T =-
25
2
aT =． 可见，x 1 : x 2 : x 3 : … : x n ＝1 : 3 : 5 : … : (2n -1)．
即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比．
(3)1T 内、2T 内、3T 内、…、位移之比为：222123123x x x =：：：
…：：：…， 可由公式2
12
x at =
直接导出． (4)通过连续相同的位移所用时间之比
12311)n t t t t =g g g g g g ::::::::．
推证：由2
12x at =
知1t = 通过第二段相同位移所用时间
21)t =
=，
同理：3t =
=
，
则12311)n t t t t ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅::::::::．
要点五、纸带问题的分析方法
(1)“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x 1、x 2、x 3…．
①若x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝1n n x x --＝0，则物体做匀速直线运动． ②若x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝1n n x x --＝△x ≠0，则物体做匀变速直线运动．
(2)“逐差法”求加速度，根据x 4-x 1＝x 5-x 2＝x 6-x 3＝3aT 2(T 为相邻两计数点的时间间隔)，有 41
123x x a T -=
，52223x x a T -=，6332
3x x a T
-=， 然后取平均值，即
123
3
a a a a ++=
6543212
()()9x x x x x x T ++-++=．
这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性．
要点诠释：①如果不用“逐差法”求，而用相邻的x 值之差计算加速度，再求平均值可得：
32546521222215x x
x x x x x x a T T T T ----⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
6125x x T -=．
比较可知，逐差法将纸带上x 1到x 6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x 1和
x 6两个实验数据，实验结果只受x 1和x 6两个数据影响，算出a 的偶然误差较大．
②其实从上式可以看出，逐差法求平均加速度的实质是用(x 6+x 5+x 4)这一大段位移减去(x 3+x 2+x 1)这一大段位移，那么在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T )2而不是3T 2． (3)瞬间速度的求法
在匀变速直线运动中，物体在某段时间t 内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻2
t
时的瞬时速度相同，即2
t v v =．所以，第n 个计数点的瞬时速度为：1
2n n n x x v T
++=
． (4)“图象法”求加速度，即由1
2n n n x x v T
-+=，求出多个点的速度，画出v -t 图象，直线的斜率即为加速度．
【典型例题】 类型一、公式
22
02t v v ax
-=的应用
例1、我国已经成为世界上高铁系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行速度最快、在建规模最大的国家；人们也越来越关注高铁的安全工作；假设某次列车以324km/h 的速度匀速行驶，然后在离车站9km 处开始制动刹车，列车匀减速到站并刚好安全停车．求： （1）该列车进站时的加速度； （2）列车减速运动的时间． 【答案】见解析
【解析】 （1）324km/h=90m/s ，
根据匀变速直线运动的速度位移公式得，匀减速运动的加速度
2220008100/0.45/229000
v a m s m s x --===-⨯．
（2）列车减速运动的时间0090
2000.45
v t s s a --=
==- 【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用22
02t v v ax -=可大
大简化解题过程． 举一反三
【变式1】一辆汽车行驶在水平公路上，为避免发生交通事故，突然紧急刹车，车轮停止转动，最终停下来，在公路上留下一段长度为10m 的直线刹车痕迹，路边限速显示牌显示该
路段的最高行驶速度为40km/h ，若将汽车刹车的运动看做是匀减速直线运动，其加速度大小是5m/s 2．
（1）请通过计算判断该车是否超速？ （2）求该车从开始刹车到停下来所需的时间？ 【答案】见解析
【解析】（1）根据匀变速直线运动的速度位移公式得，
0/36/h 40km/h v s km ==<该车不超速．
（2）该车速度减为零的时间010
25
v t s s a =
==
【变式2】某飞机着陆时的速度是216km/h ，随后匀减速滑行，加速度的大小是2m/s 2。

机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？ 【答案】900m
类型二、匀变速直线运动公式的灵活运用
例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m 和64 m ，每一个时间间隔为4s ，求质点的初速度和加速度． 【答案】a ＝2.5m/s 2，v A ＝1 m/s
【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解决方法也不相同．
解法一：(基本公式法)
画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：
2
112A x v t at =+
． ()2
21(2)(2)2
A A x v t a t v t =+-+．
将x 1＝24m 、x 2＝64m 、t ＝4s 代入上式解得：a ＝2.5m/s 2，v A ＝1 m/s ． 解法二：(用平均速度公式)
连续的两段时间t 内的平均速度分别为：
1124m /s 6m /s 4x v t ===，2264m /s 16m /s 4
x v t ===． B 点是AC 段的中间时刻，则12A B
v v v +=，22
B C v v v +=，
12616
m /s 11m /s 222
A C
B v v v v v +++=
===． 得v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s ， 22211
m /s 2.5m /s 224
C A v v a t --=
==⨯． 解法三：(用△x ＝aT 2法)
由△x ＝aT 2，得222240
m /s 2.5m /s 4
x a T ∆=-=． 再由2
112
A x v t at =+
，解得1m /s A v =． 【总结升华】(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力．从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力．
(2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优 先考虑用判别式△x ＝aT 2求解，这种解法往往更简捷．
举一反三
【变式1】例题、跳伞运动员做低空跳伞表演，他从224m 的高空离开飞机开始下落，最初
未打开降落伞，自由下落一段距离打开降落伞,运动员以12.5m/s 2
的加速度匀减速下降，为
了运动员的安全，要求运动员落地的速度不得超过5m/s （g=10m/s 2
）．求：运动员打开降落伞时，离地面的高度至少为多少？ 【答案】99m
【变式2】火车以速度v 1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度v 2（相对于地面，且v 1>v 2）做匀速运动，司机立即以加速度a 紧急刹车，要使两车不相撞，a 应满足什么条件?
【答案】2
12()2v v a s
-≥
类型三、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
例3、一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第5s 末的速度是6 m/s ，试求：(1)第4s 末的速度；(2)运动后7s 内的位移；(3)第5s 内的位移． 【答案】（1）4.8m /s （2）29.4m （3） 5.4m
【解析】物体的初速度v 0＝0，且加速度恒定，可用推论求解． (1)因为v 0＝0，所以t v at =，即t v t ∝， 故v 4:v 5＝4:5．
第4s 末的速度4544
6m /s 4.8m /s 55
v v ==⨯=． (2)因为v 0＝0，v 5＝6m/s ，则加速度225060
m /s 1.2m /s 5
v a t --===，
所以7s 内的位移22
7711 1.27m 29.4m 22
x at ==⨯⨯=．
(3)由22
541122x at at ∆=-
11
1.225m 1.216m 22=⨯⨯-⨯⨯ 5.4m =．
第5秒内的位移是5.4m ．
【变式1】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s 内的位移为x 1，最后3s 内的位移为x 2，已知x 2-x 1＝6m ；x 1:x 2＝3:7，求斜面的总长． 【答案】 12.5m
【解析】由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s ． 由题意知
123
7
x x =，x 2-x 1＝6m ，解得x 1＝4.5m ，x 2＝10.5m ． 由于连续相等时间内位移的比为1:3:5:…:(2n -1)， 故x n ＝(2n -1)x 1，可知10.5＝4.5(2n -1)，解得53
n =
． 又因为2
1x n x =总，所以斜面总长：2
5 4.5m 12.5m 3x ⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭
总．
【总结升华】切忌认为物体沿斜面运动了6s ，本题中前3s 的后一段时间与后3 s 的前一段时间是重合的．
类型四、纸带问题的处理
例4、在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用电源的频率为50 Hz ．如图所示为小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻的两点之间都有四个点未画出．按时间顺序取0、1、2、3、4、5六个点，用刻度尺量出1、2、3、4、5点到0点的距离如图所示．
(1)小车做什么运动?
(2)若小车做匀变速直线运动，那么当打第3个计数点时小车的速度为多少?小车的加速度为多少?
【答案】(1) 小车做匀减速直线运动 (2) 50.4cm /s 2
1.502m /s -
【解析】(1)T ＝0.02s ，相邻计数点的时间间隔t ＝5T ＝0.1s ，设相邻计数点间的位移分别为x 1、x 2、x 3、x 4、x 5，可得：x 1＝8.78cm ，x 2＝7.30cm ，x 3＝5.79cm ，x 4＝4.29cm ，x 5＝2.78cm ，x 2-x 1＝-1.48 cm ，x 3-x 2＝-1.51cm ，x 4-x 3＝-1.50cm ，x 5-x 4＝-1.51cm ，在误差允许范围内，x 2-x 1＝x 3-x 2＝x 4-x 3＝x 5-x 4，所以小车做匀减速直线运动． (2)343 5.79 4.29
cm /s 50.4cm /s 220.1
x x v T ++===⨯． 加
速
度
222
542122
(2.78 4.297.308.78)10m /s 1.502m /s 660.1
x x x x a T -+--+--⨯==-⨯≈， 负号表示加速度方向与初速度方向相反．
【总结升华】用逐差法求加速度，碰到奇数个位移，如本题中只有x 1至x 3五个位移，就去掉中间的一个位移而求解．
【变式1】某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，得到了在不同拉力下的A 、B 、C 、D 、…等几种较为理想的纸带，并在纸带上每5个点取一个计数点，即相邻两计数点问的时间间隔为0.1s ，将每条纸带上的计数点都记为0、1、2、3、4、5、…，如图所示甲、乙、丙三段纸带，分别是从三条不同纸带上撕下的．
(1)在甲、乙、丙三段纸带中，属于纸带A 的是________． (2)打A 纸带时，物体的加速度大小是________m/s 2． 【答案】(1)丙 (2)3.11
【解析】(1)由匀变速直线运动规律可知： △x ＝x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝aT 2，
所以△x ＝x 2-x 1＝6.11cm -3.00cm ＝3.11cm ． x 5＝x 1+4△x ＝3.00cm+4×3.11cm ＝15.44cm ， 所以纸带丙的数据最接近，应和A 是同一条纸带．
(2)2
2222
3.1110m /s 3.11m /s 0.1
x a T -∆⨯===． 【变式2】频闪照相是每隔相等时间曝光一次的照相方法，在同一张相片上记录运动物体在
不同时刻的位置，如图所示是小球在竖直方向运动过程中拍摄的频闪照片，相机的频闪周期为T ，利用刻度尺测量相片上2、3、4、5与1位置之间的距离分别为x 1、 x 2、 x 3 、x 4，以下说法正确的是（ ） A ． 小球一定处于下落状态
B ．小球在2位置的速度大小为22x T
C ． 小球的加速度大小为
21
2
2x x T
- 【答案】AC
【解析】根据图片知，在相等时间内的位移增大，可知向下速度越来越大，小球一定处于下落状态，故A 正确；根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的的瞬时速度知，位置2的瞬时速度为222x v T
=
，故B 错误；根据2
x aT ∆= 2211x x x aT --=，解得：2122x x
a T
-=，故C 正确。

类型一、关于位移图象的理解
例1、某物体的位移图象如图所示，若规定向东为位移的正方向，试求；物体在OA 、AB 、BC 、CD 、DE 各阶段的速度。

【答案】见解析
【解析】物体在t ＝0开始从原点出发向东行做匀速直线运动，历时2s ；接着在第3s ～5s 内静止；第6s 内继续向东做匀速直线运动；在第7s ～8s 内匀速反向西行，至第8s 末回到出发点；在第9s ～12s 内从原点向西行做匀速直线运动。

由x －t 图得各阶段的速度如下： OA 段：1116
/3/2
x v m s m s t =
==，向东 AB 段：物体静止，速度为0 BC 段：333126/6/1
x v m s m s t -=
==，向东 CD 段：444012/6/2x v m s m s t -=
==-，负号说明方向向西 DE 段：55540/1/4
x v m s m s t --=
==-，向西 【总结升华】位移图象的斜率表示速度的大小和方向（斜率的正负表示速度的方向）。

图象
平行于t 轴，说明物体的速度为零，表示物体静止；图象斜率为正值，表示物体沿与规定方向相同的方向运动；图象斜率为负值，表示物体沿与规定方向相反的方向运动。

举一反三
【变式】如图所示，A 、B 两物体从O 点开始运动，从A 、B 两物体的位移图象可知，下述说法正确的是( )
A 、A 、
B 两物体的运动方向相同 B 、A 物体2s 内发生的位移是l0m
C 、B 物体发生l0m 的位移的时间是2s
D 、A 物体的速度大小是5m/s ，B 的速度大小是2.5m/s
【答案】ABD
类型二、位移与时间关系公式的应用中注意问题
例2、以初速度v 0=3m/s 做匀加速直线运动的物体，3s 末运动的位移等于18m ，求： （1）物体的加速度； （2）2s 末的速度； （3）第3s 内的位移． 【答案】见解析
【解析】（1）设加速度为a ，由位移时间公式得：前3s 内的位移：2303312
x v t at =+ 代入数据得：a=2m/s 2
（2）由速度公式得：2s 末的速度：2023227/v v at m s =+=+⨯= （3）由位移时间公式得：前2s 内的位移：22202211
32221022
x v t at m =+
=⨯+⨯⨯= 第3s 内的位移：3218
108x x x m ===﹣﹣ 举一反三
【变式1】物体沿某方向做匀加速直线运动，某时刻速度大小为5.0m/s ，经2.0s 速度大小变为11.0m/s ，则物体在这2.0s 内的位移大小为
A. 8m
B. 12m
C. 16m
D. 32m
【答案】C
【变式2】由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第ls 内通过0.4m 位移，则不正确的结论
是( )
A ．第1s 末的速度的0.8m/s
B ．加速度为0.8m/s 2
C ．第2s 内通过位移为1.2m
D ．2s 内通过的位移为1.2m
【答案】D
类型三、位移图象描述相遇问题
例3、如图所示表示甲、乙两运动物体相对同一原点的位移-时间图像，下列说法中错误的是（ ）
A. 甲和乙都做匀速直线运动
B. 甲、乙运动的出发点相距x 0
C. 甲、乙两物体在02
x 处相遇 D. 乙比甲早出发t 1的时间
【答案】D
【解析】甲、乙的位移都随时间均匀变化，知甲和乙都做匀速直线运动，故A 正确；由位移-时间图像可知，甲乙的出发点相距x 0，故B 正确；由图线可知，两物体相遇时，纵坐标相等，此时距离原点为02
x ，故C 正确；由图像可知，乙比甲迟出发t 1的时间，故D 错误。

【总结升华】x -t 图象中两图线相交说明两物体相遇，其交点A 的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处对参考点的位移。

举一反三
【变式1】如图所示，折线a 是表示物体甲从A 地向B 地运动的位移图线，直线b 是表示物体乙从B 地向A 地运动的位移图线，则下述说法中正确的是（ ）
A 、甲、乙两物体是相向运动
B 、甲物体是匀速运动，速度大小是7.5m/s
C 、甲、乙两物体运动8s 后，在距甲的出发点60m 处相遇
D 、甲在运动中停了4s
【答案】ACD
【解析】由图象知，甲、乙两物体在开始运动时相距100m ，后来相距越来越小，甲向乙的出发点运动，乙向甲的出发点运动，因而它们是相向运动，选项A 正确。

两图线相交点表示了甲、乙同一时刻同一位置，即相遇的时刻与位置，故选项C 正确。

甲在运动中有一段图线与时间轴平行，这表示甲在4s 内位置始终没变，因而是静止的，选项 D 正确。

甲在全过程中并不是匀速运动，故选项B 是错的。

【变式2】一质点的x -t 图象如图甲所示，那么此质点的v -t 图象可能是图乙中的( )．
【答案】A
【解析】解题关键明白两种图象斜率的物理意义不同．v -t 图象的切线斜率表示速度，由图
象可知：0～
12t 时间内图象的斜率为正且越来越小，在12
t 时刻图象斜率为0，即物体正向速度越来越小，12t 时刻减为零；从12t ～1t 时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，故选项A 正确．
类型四、位移公式解决实际问题
例4、某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40 km /h ．一次，一辆汽车在校门前马路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕．交警测量了车痕长度x ＝9m ，又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间t ＝1.5s ，立即判断出这辆车违章超速，这是为什么?
【答案】汽车超速
【解析】解法一：(速度判断法)由于x ＝9m ，t ＝1.5 s ，据x v t
=得平均速度9m /s 6m /s 1.5v ==，又因为02
v v =，得初速度02v v ==2×6m /s ＝12m /s ＝43.2km /h ． 由于车速超过40 km /h ，可知此车超速． 解法二：(位移判断法)设汽车恰以010040km /h m /s 9v ==
的速度行驶，则刹车后1.5s
停下，刹车加速度220100
02009m /s m /s 1.5 1.527v v a t -
-∆-====∆． 以此加速度刹车，刹车位移
220110012001.5 1.5m 8.33m 9m 29227x v t at ⎡⎤⎛⎫'=+=⨯+⨯-⨯=< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，故汽车超速． 【总结升华】超速判断涉及科技生活情景，是高考热点，可用速度判断，即根据刹车的运动矢量判断刹车前速度与限速关系；也可用位移判断，即假设以限速行驶，在实际刹车情景中的刹车位移与求得的刹车位移对比，从而判断是否超速．
举一反三
【变式】一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔15 m 安置一个路标，如图所示，汽车通过AB 两相邻路标用了2s ，通过BC 两路标用了3s ，求汽车通过A 、B 、C 三个路标时的速度．
【答案】8.5m/s 6.5m/s 3.5m/s
【解析】题目中已知条件是位移、时间，求的是速度，所以可用位移公式求解． 汽车从A 到C 是匀变速直线运动，设汽车通过路标A 时速度为v A ，通过AB 的时间t 1＝2s ，通过BC 的时间t 2＝3s ．根据位移公式2012
x v t at =+，研究AB 运动的过程，有21112
AB A x v t at =+． 研究AC 运动过程，有212
AC A x v t at =+， 其中t ＝t 1+t 2＝5s ，
解得v A ＝8.5m /s ，a ＝-1m /s 2．
再根据速度公式
v B ＝v A +at 1＝6.5m /s ，v C ＝v A +at ＝3.5m /s ．
求得a ＝-1 m /s 2，其中“-”说明a 的方向与初速的方向相反，汽车做匀减速直线运动．
【变式2】两物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀加速直线运动，若它们的初速度大小不同，而加速度大小相同，则在运动过程中（ ）
A ．两物体速度之差保持不变
B ．两物体的速度之差与时间成正比
C ．两物体的位移之差与时间成正比
D ．两物体的位移之差与时间的平方成正比
【答案】AC
【变式3】一物体以5m/s 的初速度，－2m/s 2的加速度在粗糙水平面上滑行，4s 内物体通过
的位移为（ ）
A ．4m
B ．36m
C ．6.25m
D ．以上答案都不对
【答案】C
【变式4】矿井里的升降机由静止开始匀加速上升，经过5s速度达到v=4 m/s后，又以这个速度匀速上升20s，然后匀减速上升，再经4s停在井口．求矿井的深度．
【答案】98m。