2.2唯一性定理
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2
i
成立，给定区域
S ij
或
n
S
S
。在分界面上， i
i n
Sij
j
1
或
S ij
j
j n
Sij
i
3
v s
区域V内电场唯一确定
2
二、有导体存Biblioteka 时的唯一性定理导体中当 ，求 V 内的电势。
或
已知，
、
S
Q2
（或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V 内电场唯一确定。
第二节
唯一性定理
一、静电问题的唯一性定理
有介质存在的情况的分析
把一个区域V分为许多
小区域Vi，每一个小区域内介 电常数为 i ，它是各向同性的。 每一个区域给定电荷分布
V
Vk k
(x) ,
x V
dsi
Vi
i
ds j
S
Vj j
S ij
则 （1）在每个均匀区域中满足
V
由于 () 2 0
积分为零必然有 0 常数
（1）若给定的是第一类边值关系 S 0
即常数为零。1 2 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。
（2）若给定的是第二类边值关系
常数， 虽不唯一，但电场 相差一个常数，
是唯一确定的。
2. 介质分区均匀（不包含导体）
V 内 已知，
2
S
2 n
S
n S
令 1 2
1 2 0
S
1
S
2
S
0
由格林第一公式
( )dV
2
V
dS
S
令
则
( () )dV dS
2 2 S
2
,
2
q2 2a
2
2Q
2a (1 2 )
2
Q
1
与 2。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷
a
1
2
解答： 设导体球上下两半球各自带电量为q1和q2 ，则 Q=q1+q2 又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即 1 2
另外，总电荷Q一定，无限远处电势为0，故满足唯
一性定理条件。 根据唯一性定理，得到
1 1 1 r r a 2 2 2 r r a
Q n dS
Q1
S1
S2
ε
V
s
三、唯一性定理的意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
S
不满足
S
0
要使边界上任何一点电势为0 ， 设
Q 4 0 R
2
Q 4 0 a
S
它满足 0
QR 4 0 R
3
0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。
E
Q
( R a)
可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q
有关。
2.
有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀 无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是 分布。
i
2
，即有 i
几个区域就是几个泊松方程。
（2）在各个均匀区域的交界面上，满足：
i j , i (
n )i j ( n )j
至此，要完全确定V内的电场，还必须给出V的边界
S上的一些条件。而这个问题正是唯一性定理所要解
决的，下面讨论之。
唯一性定理
四、应用举例
1. 半 径 为 a 的 导 体 球 壳 接 地 , 壳内中心放置一个点电荷 Q， 求壳内场强。
解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地
0 ( R 0)
2
Q
S
0
因而腔内场唯一确定。
1
Q 4 0 R
已知点电荷产生的电势为 但它在边界上 1
Q 4 0 a
1．均匀单一介质
区域内 分布已知， 满足
2
若V边界上
S 已知，或V边界上
电场）唯一确定。
n
S
已知，则 V 内场（ 静
证明： 假定泊松方程有两个解1 2 ，有
1
2
S
2
2
1 n
2
S
在边界上
1
2
2
S
而 1 2
则得
1 1
2 2
,
即
q1 2a 1
2
q2 2a 2
2
故
q1
1
q1
q2
2
1
1
2
(Q q1 )
Q
2
q1
2
即得到：
q1
1 1 2
Q ,
q2
2 1 2
Q
电荷面密度为：
1
q1 2a
2
1Q
2a (1 2 )
i
成立，给定区域
S ij
或
n
S
S
。在分界面上， i
i n
Sij
j
1
或
S ij
j
j n
Sij
i
3
v s
区域V内电场唯一确定
2
二、有导体存Biblioteka 时的唯一性定理导体中当 ，求 V 内的电势。
或
已知，
、
S
Q2
（或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V 内电场唯一确定。
第二节
唯一性定理
一、静电问题的唯一性定理
有介质存在的情况的分析
把一个区域V分为许多
小区域Vi，每一个小区域内介 电常数为 i ，它是各向同性的。 每一个区域给定电荷分布
V
Vk k
(x) ,
x V
dsi
Vi
i
ds j
S
Vj j
S ij
则 （1）在每个均匀区域中满足
V
由于 () 2 0
积分为零必然有 0 常数
（1）若给定的是第一类边值关系 S 0
即常数为零。1 2 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。
（2）若给定的是第二类边值关系
常数， 虽不唯一，但电场 相差一个常数，
是唯一确定的。
2. 介质分区均匀（不包含导体）
V 内 已知，
2
S
2 n
S
n S
令 1 2
1 2 0
S
1
S
2
S
0
由格林第一公式
( )dV
2
V
dS
S
令
则
( () )dV dS
2 2 S
2
,
2
q2 2a
2
2Q
2a (1 2 )
2
Q
1
与 2。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷
a
1
2
解答： 设导体球上下两半球各自带电量为q1和q2 ，则 Q=q1+q2 又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即 1 2
另外，总电荷Q一定，无限远处电势为0，故满足唯
一性定理条件。 根据唯一性定理，得到
1 1 1 r r a 2 2 2 r r a
Q n dS
Q1
S1
S2
ε
V
s
三、唯一性定理的意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
S
不满足
S
0
要使边界上任何一点电势为0 ， 设
Q 4 0 R
2
Q 4 0 a
S
它满足 0
QR 4 0 R
3
0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。
E
Q
( R a)
可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q
有关。
2.
有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀 无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是 分布。
i
2
，即有 i
几个区域就是几个泊松方程。
（2）在各个均匀区域的交界面上，满足：
i j , i (
n )i j ( n )j
至此，要完全确定V内的电场，还必须给出V的边界
S上的一些条件。而这个问题正是唯一性定理所要解
决的，下面讨论之。
唯一性定理
四、应用举例
1. 半 径 为 a 的 导 体 球 壳 接 地 , 壳内中心放置一个点电荷 Q， 求壳内场强。
解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地
0 ( R 0)
2
Q
S
0
因而腔内场唯一确定。
1
Q 4 0 R
已知点电荷产生的电势为 但它在边界上 1
Q 4 0 a
1．均匀单一介质
区域内 分布已知， 满足
2
若V边界上
S 已知，或V边界上
电场）唯一确定。
n
S
已知，则 V 内场（ 静
证明： 假定泊松方程有两个解1 2 ，有
1
2
S
2
2
1 n
2
S
在边界上
1
2
2
S
而 1 2
则得
1 1
2 2
,
即
q1 2a 1
2
q2 2a 2
2
故
q1
1
q1
q2
2
1
1
2
(Q q1 )
Q
2
q1
2
即得到：
q1
1 1 2
Q ,
q2
2 1 2
Q
电荷面密度为：
1
q1 2a
2
1Q
2a (1 2 )