小升初教研——行程问题

一、直线上的相遇和追击问题
二、时钟问题
三、火车过桥问题
四、流水行船问题
五、特殊行程之中点相遇问题
六、特殊行程之多次相遇问题
七、特殊行程之走停问题
八、特殊行程之变向行成问题
九、特殊行程之接送问题
十、特殊行程之间隔发车问题十一、特殊行程之猎狗问题
十二、特殊行程之上下坡问题十三、特殊行程之环形跑道问题十四、特殊行程之ST图探究
一、直线上的相遇和追击问题
1-1两个对象的追击和相遇问题：
例题1、甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．（538km）
例题2、快车从甲地开往乙地，慢车从乙地开网甲地，两车同时出发相向而行，8个小时后在中途相遇，相遇后继续前进向前行驶2小时，这时，快车距离乙地还有250km，慢车距离乙地还有350km，甲乙两地相距多远？（800km）
例题3、两辆汽车从两地同时出发，相向而行．已知甲车行完全程比乙车多用1.5小时，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，出发后几小时两车相遇？（3.08h）
例题4、兄弟两人同时从家上学，哥哥每分钟走95m，弟弟每分钟走75m，哥哥发现忘记带课本后立即原路返回去取，行至距离学校200m处与弟弟相遇，求家离学校多远？
1-2多个对象的追击和相遇问题：
例题1、甲、乙两人同时从A地出发，于此同时丙从B地出发，出发150分钟后甲与丙相遇，之后又经过15分钟，乙与丙相遇，乙每分钟走40米，丙每分钟走60米，则甲每分钟行多少米？
例题2、甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人同时从东镇出发，于此同时丙从西镇出发，丙遇到乙后2分钟与甲相遇，问：两镇距离的1/4是多少？
例题3、甲、乙、丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12km，比丙快15km，甲行3.5km到达西村后立刻返回，在距离西村30千米处和乙相遇，问：丙行了多长时间和甲相遇？
二、时钟问题
要点：1分钟分针走6°，时针走1/2°
例题1、有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分
针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?
例题2、钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？
例题3、8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等．问这时是8时多少分?
例题4、晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。

做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。

小华做作业用了多长时间？
例题5、某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为1100，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是1100．那么此人外出多少分钟?
三、火车过桥问题
要点：①火车过桥时间=（桥长＋车长）÷速度
②火车完全在隧道里面的时间=（隧道长-车长）÷车速
3-1火车过桥：
例题1、一列火车长150米，每秒钟行19米。

全车通过长800米的大桥，需要
多少时间？
例2：一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。

这条隧道长多少米？
例3：一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？
例4：一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。

求这列火车的速度是每秒多少米？车长多少米？
3-2两类火车的相遇与追及：
例1：从北京开往广州的列车长350米，每秒走22米。

从广州开往北京的列车长280米，每秒走20米。

两车在中途相遇，问两车从车头相遇到车尾离开，一共要多少时间？
例2：已知快车长182米，每秒行20米，慢车长1034米，每秒行18米.两车同向而行，当快车车尾接慢车车头时，称快车穿过慢车，则快车穿过慢车的时间是多少秒？
例3：慢车车长为125米，车速每秒17米，快车车长140米，车速每秒22米。

慢车在前行驶，快车在后面追上并完全超过需多长时间？
例4：现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的车身长.（齐头进快车长，齐尾进慢车长）
例题5、甲乙两列火车,甲车每秒行22米,乙车每秒行16米,若两车齐头并进,则甲车行30秒超过乙车;若两车齐尾并进,则甲车行26秒超过乙车.求两车各长多少米?
例题6、甲乙两人沿铁路相对而行，速度都是每秒14米，一列货车经过甲身边用了8秒，经过乙身边用了7秒，求货车车身长度以及速度？
例题7、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进。

行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时。

这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒。

这列火车的车身总长是多少米？
例题8、两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，两人都以1m/s的速度相对而行。

一列火车开来，全列车从甲身边开过用了10秒，3分钟后，乙遇到火车，全列车从乙身边开过只用了9秒，火车离开乙多久后两人相遇？
四、流水行船问题
要点：行船流水中的追击和相遇问题完全等同于陆地上的情况，和水速无关
例题1、甲、乙两港间水路长208千米，一只船从甲港开网乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港需要13小时，求船在静水中的速度？
例题2.一艘轮船顺流航行98km，逆流航行42km共用8小时，当这艘船顺流航行72km，逆流航行108km共用12小时，问：此艘船在静水中速度为多少？
例题3、某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一水壶。

他向前又游了20分钟才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处2km的地方找到，则他返回寻水壶用了多长时间？
例题4、一条河上有甲乙两个1码头，甲在乙的上游50km处。

客船和货船分别从甲乙两码头出发向上游行使，两船在静水中的速度相同且始终保持不变。

客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物距客船5km，客船在行驶20km 后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇，求水流的速度？
五、特殊行程之中点相遇问题
要点：路程差等于距中点距离的2倍。

例题1、甲乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲每小时行驶60km，乙每小时行驶48km，两车在距离两地中点30km处相遇，求东西两地距离？
例题2、快车和慢车同时从相距600km的A、B两地相向行驶，在距离中点30km 处相遇，已知快车每小时比慢车多行20km，则慢车每小时行驶多少千米？
例题3、甲乙俩人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80km，乙每分钟行70km，出发一段时间后，二人在距中点60km处相遇。

如果甲晚一会出发，那么二人在距离中点220km处相遇，甲晚出发了多少分？
例题4、东西两镇相距240km，一辆客车上午8时从东镇开往西镇，一辆货车上午9时从西镇开往东镇，到正午12时，两车恰好在两镇中点相遇，如果两车都在上午8时出发，速度不变，上午10时，两车还相距多少千米？
六、特殊行程之多次相遇问题
要点：从中间出发：合走全程=2×相遇次数
从两端出发：合走全程=2×相遇次数-1
例题1、甲、乙两辆车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米，甲乙两车第一次相遇时继续向前进，各自到达B、A两地后，立即按原路返回。

两车从开始到第二次相遇共用6小时。

求A、B两地距离？
例题2、甲、乙两辆车同时分别从A、B两地相对开出，第一次相遇在离A地95km 处，相遇后继续向前进，各自到达B、A两地后，立即按原路返回，第二次相遇在离B地25千米处，求A、B两地距离？
例题3、如下图，ABCD是一个边长为6米的正方形模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针进行，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的终点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好是B点，乙玩具车每秒走多少厘米？
例题4、桥车乙每小时80千米的速度从东村出发，货车以每小时60千米的速度从东西两村同时出发，两车相向而行，轿车到达西村、货车到达东村后立即返回，在东西两村之间往返行驶，第100次相遇地与第101次相遇地相距100千米。

东西两村距离为多少？
七、特殊行程之走停问题
要点：分析其运动规律，把整个运动过程分成几段，在分析每一段的情况，类推到其他各段中。

例题1、甲乙两货车同时从相距300千米的A、B两地相对开出，甲车以每小时60千米的速度开往B地，乙车以每小时40千米的速度开往A地。

甲车到达B地后停留2小时后以原速返回，乙车到达A地后停留半小时后以原速返回，那么返回时两车相遇地点与A地相距多少千米？（96km）
例题2、甲乙二人分别在A、B两地相对开出，于E处相遇，甲继续像B地行走，乙则休息了21分钟，在继续向A地行走，甲乙B地和A地以原速返回，仍在E 处相遇，已知甲速度为60米每分钟，乙为80米每分钟，求A、B两地距离？（方程或者路程分数化2520km）
例题3、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地．大轿车的速度是小轿车速度的80%．已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地．又知大轿车是上午10时从甲地出发的．那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的？（11:05）．
例题4、龟兔赛跑，同时同地出发，全程20000米，乌龟每分钟爬行80米，兔子每分钟跑800米，兔子跑了一会儿就在途中睡觉，醒来后立刻以原速向前跑，（1）若兔子不想输给乌龟，则它在途中最多只能睡多少分钟？
（2）若兔子在途中要睡1.5小时（乌龟与兔子的速度保持不变），且兔子不想输给乌龟，则比赛路程至少为多少米？
八、特殊行程之变向行成问题
要点：假设、分段
例题1、甲乙两地相距3.6千米，两条狗从甲、乙两地相向奔跑．它们每分钟分别跑450米和350米．它们相向跑1分钟后，同时调头背向跑2分钟，又调头相向跑3分钟，再调头背向跑4分钟，…，这样直到相遇为止，从出发到相遇需多少分钟？（44.5min）
例题2、甲乙丙三人跑步锻炼，从A地同时出发分别跑向B、C、D三地，然后立即往回跑，跑回A地再分别跑向B、C、D，再返回A地，如此不停的来回跑．B 与A相距1/10km，C与A相距1/8 km，D与A相距3/16 km．甲每小时跑3.5km，乙每小时跑4km，丙每小时跑5km．若这样来回跑，三人第一次同时回到出发点需要用多少小时？（分数求最小公倍数法则）
例题3.△ABC是一个等边三角形跑道，D在A、B之间，且有AD：BD=2：3，某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇是在D时，甲走了2012米．那么，△ABC的周长是多少米．（10060m）
九、特殊行程之接送问题
要点：人多车少，车往返于中间
9-1车速不变的接送问题：
例题1、甲班与乙班同学同时出发去公园，两班不行速度都是4千米/时，学校有一辆汽车，它的速度是48千米/时，这辆车恰好能坐一个班的学生。

为了使两个班的学生在最短时间内到达公园，设两地相距150千米，那个各个班级步行的距离分别为多少？
例题2、甲，乙，丙三个班的学生租用一辆大巴一起去郊外活动，但大巴车只能搭载一个班的学生，于是计划先让甲班学生坐车，乙、丙两班学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行速度为5千米每小时，大巴速度55千米每小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间。

（28/55m）
9-2借车赶路问题：
例题1、三个人同时前往相距30千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是5千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为10千米每小时．现先让其中一人先骑车，到中途某地后将车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后又放下让第三个人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地．问：三人花的时间为（）小时？（five hours）
例题2、兄弟两人骑马进城，全程51千米．马每小时行12千米，但只能由一个人骑．哥哥每小时步行5千米，弟弟每小时步行4千米．两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行．而步行者到达此地，再上马前进．如果他们早晨六点动身，何时能同时到达城里？（105min）
十、特殊行程之间隔发车问题
要点：汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇时间
汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及时间
汽车间距=汽车速度×发车间隔时间
例题1、某人沿着电车道旁的便道以每小时的4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开来，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行。

问：电车的速度是多少？电车发车的时间间隔是多少？
例题2、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车．则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车．
例题3、甲、乙两地相距15千米，每天8点开始从乙地每隔15分钟开出一辆公共汽车到甲地去，车速是30千米/时．某人8点20分骑车从甲地到乙地去，速度是15千米/时．他在路上可以看到几辆从乙地开出的公共汽车？
十一、特殊行程之猎狗问题
要点：速度等于=（单位时间内的）步频×步长
例题1、猎狗发现前方10米处有一只奔跑着的兔子，马上去追．已知兔子9步的距离相当于猎狗的5步；猎狗跑5步的时间兔子能跑3步．问猎狗追上兔子时，共跑了多少米？
例题2、草原上狮子发现前方60米处有一只羚羊，狮子开始朝羚羊扑去，羚羊立即逃跑．狮子的步子大，它跑4步的路程羚羊要跑5步；但是羚羊的动作快，它跑13步的时间狮子只能跑11步．问狮子最终能否追上羚羊？如果能，狮子从开始到扑倒羚羊时跑了多少米？
例题3、猎犬发现前方有一只兔子，如果兔子在原地不动，猎犬跑10步就能捉到兔子．但在猎犬开始追击时，兔子警觉并逃向前方，已知猎犬的步子大，它跑5步的路程兔子要跑9步，而兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子能跑三步，那么，兔子在跑出多少步时被猎犬追上？
十二、特殊行程之上下坡问题
要点：分段计算，惯用比
例题1、某邮递员早上8时从邮局出发，向农场送邮件．路上要走12公里的上坡路和8公里的下坡路，上坡时每小时走4公里，下坡时每小时走5公里，到农场后休息1小时开始返回．问邮递员什么时候返回邮局？
例题2、某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟．回来时他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用了1.5小时，求地面上A，B两地相距多少千米？
例题3、如下图，有一条三角形的环路，A至B是上坡路，B至C是下坡路，A 至C是平路，AB、BC、AC三段距离的比是3：4：5．乐乐和扬扬同时从A出发，乐乐按顺时针方向行走，扬扬按逆时针方向行走，2.5小时后在D点相遇．已知两人上坡速度都是4千米/小时，下坡速度都是6千米/小时，在平路上速度都是5千米/小时．
（1）当扬扬走到C点时，乐乐是在上坡还是下坡？设此时乐乐所处的位置为E，问AB和BE距离的比是多少？
（2）CD距离是多少千米？
十三、特殊行程之环形跑道问题
例题1、在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，按逆时针方向跑步（甲在乙的后面），甲每秒8米，乙每秒5米，每人跑100米都要停留5秒钟，那么甲追上乙需要多少秒？
例题2.如图，某围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？
例题3、甲、乙两人沿圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时相向出发，第一次相遇时离点A（弧形距离）80米，第二次相遇时离点B（弧形距离）60米，求圆形跑道的周长？
例题4、如图的两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行．当小圆上的甲虫爬了多少圈时，两只甲虫相距最远．
例题5、如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是0.5千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米．问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了千米．
十四、特殊行程之ST图探究
例题1、一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为t（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求甲乙两地之间的距离．
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行40千米，若快车从甲地到达乙地需要t 时，求t值？。