平面向量高一复习

平面向量一、向量的概念与线性运算
向量的有关概念
向量
运算
定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量
和的运算
(1)交换律：a
＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a
＋b)＋c＝a＋
(b＋c)．
减法求a与b的相
反向量－b的
和的运算叫
做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋
(－b)
数乘求实数λ与向
量a的积的运
算
(1)|λ＝|λ；
(2)当λ>0时，λa
的方向与a的方向
相同；当λ<0时，
λa的方向与a的方
向相反；当λ＝0
时，λa＝0
λ(μa)＝
(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa
＋μa；
λ(a＋b)＝λa
＋λb
1、量为
；同向的单位向量为。

解：因为点A(6,2)，B(1,14)，所以＝(－5,12)，|＝13，与共线的单位向量为±＝±(－5,12)
＝±(－，)．同向的为(－，)
2、（假期作业P11T2，7,10,11）
3、（1）若点M是△所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△与△的面
积比为（）
解析设的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝
2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是△与
△对于边的两高之比为3∶5，则△与△的面积比为，选
C.
（2）设O在△的内部，且有OA＋2OB＋3OC＝0，则△的面积和△的面积之比为( )
A．3 C．2
解析：选A 设，的中点分别为M，N，则已知条件可化为(OA＋OC)＋2(OB＋OC)＝0，即OM＋2ON＝0，所以OM＝－2ON，说明M，O，N 共线，即O为中位线上的靠近N的三等分点，S △＝S△＝·S△＝S
，所以＝3.
△
（3）设O在△的内部，D为的中点，且＋＋2＝0，则△的面积与△的面积的比值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析∵D为的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，
∴O为的中点，又∵D为中点，∴S△＝S△＝S△，则＝4.
4、（1）在△中，E，F分别为，的中点，与相交于G点，设
＝a，＝b，试用a，b表示.
解＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.
又＝＋＝＋m＝＋(＋)＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，
∴错误!解得λ＝m＝错误!，∴错误!＝错误!a＋错误!b.
（2）如图所示，在△中，＝，＝，与
相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
解设＝＋，则＝－＝＋－a＝(m－1)a＋.
＝－＝－＝－a＋b. [3分]
又∵A、M、D三点共线，∴与共线．∴存在实数t，使得＝，
即(m－1)a＋＝. [5分]
∴(m－1)a＋＝－＋.
∴错误!，消去t得，m－1＝－2n，
即m＋2n＝1. ① [7分]
又∵＝－＝＋－a＝a＋，＝－＝b－a＝－a＋b.
又∵C、M、B三点共线，∴与共线．[10分]∴存在实数t1，使得＝t1，∴a＋＝t1，
∴错误!，消去t1得，4m＋n＝1. ②
由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b. [12分]
5、（1）在△中，N是边上一点，且AN＝NC，P是上的一点，若AP＝m AB
＋AC，则实数m的值为( )
C．1 D．3
解析：选B 如图，因为AN＝NC，所以AN＝AC，AP
＝m AB＋AC＝m AB＋AN，因为B、P、N三点共线，所
以m＋＝1，所以m＝.
（2）如图所示，在△中，点O是的中点．过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若＝，＝，则m＋n的值为．
解析∵O是的中点，∴＝(＋)．又∵＝，＝，∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.
（3）已知平面内一点P与△，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△的位置关系是( )
A．点P在线段上B．点P在线段上C．点P在线段上D．点P在△外部
解析：选C 由PA＋PB＋PC＝AB得PA＋PC＝AB－PB＝AP，即PC ＝AP－PA＝2AP，所以点P在线段上，选C.
二、共线（平行）定理
若AB＝λAC，则A、B、C三点共线．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
6、已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：
(1)＋3；
(2)当k为何实数时，－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，[来源]故＋3＝＝.
(2)－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.
此时－b＝(k－2，－1)＝，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(－b)，
即此时向量a＋3b与－b方向相反．
7、设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；
(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－2，且A、C、D三点共线，求k的值．
解：(1)证明：∵AB＝e1－e2，BD＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，∴AC＝AB＋BD＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－CD，∴AC与CD共线．
又∵AC与CD有公共点C，∴A、C、D三点共线．
(2)AC＝AB＋BD＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，
∵A、C、D三点共线，∴AC与CD共线，从而存在实数λ使得AC＝λCD，即3e1－2e2＝λ(2e1－2)，得错误!解得λ＝错误!，k＝错误!.
三、数量积
1．两个向量的夹角
(1)定义：
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：
向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
(3)向量垂直：
如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2．向量在轴上的正射影
向量a在向量b上的正射影(简称射影)
3．向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝〈a，b〉．
(2)向量数量积的性质：
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；
③a·a＝2，＝；④〈a，b〉＝(≠0)；⑤·≤.
(3)数量积的运算律：
①交换律：a·b＝b·a.②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
(4)数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
①a·b＝a1b1＋a2b2；②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；
③＝； ④ 〈a ，b 〉＝.
8、（投影）（假期作业P11T9）
(2013·江西高考)设1e ，2e 为单位向量。

且1e ，2e 的夹角为π3
，若123=+a e e ，12=b e ，则向量a 在b 方向上的射影为 .
解析：向量a 在b 方向上的射影为()12132cos 2θ+⋅⋅==e e e a b a b 2121262+⋅==e e e π2611cos
5322
+⨯⨯⨯=. 答案：52 9、（纯向量）（假期作业P11T4，5，6,8，12，13,14）
10、（1）（夹角）(2013·安徽高考)若非零向量,a b 满足32==+a b a b ,则,a b 夹角的余弦值为. 不妨设1,=b 则23,=+=a a b 又
2+=a b
3,=解得1•=-a b ，11cos ,133
•-∴===-⨯a b a b a b . （2）（长度）(2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且＝1，|2a －＝，则＝.
∵a ，b 的夹角为45°，＝1，∴a ·b ＝· 45°＝，|2a －2＝4－4×＋2＝10，∴＝3.
（3）（垂直）(2013·山东)已知向量与的夹角为120°，且|＝3，|＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为．
解：由⊥知·＝0，
即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0， 解得λ＝.
（4）(2013·天津高考)在平行四边形中，＝1，∠＝60° , E 为的中点．若
AC·BE＝1 , 则的长为．
解析：由已知得AC＝AD＋AB，BE＝AD－AB，
∴AC·BE＝AD2－AB·AD＋AB·AD－AB2＝1＋AB·AD－AB2＝1＋AB·AD60°－AB2＝1，∴AB＝.
（5）在平面四边形中，若＝，＝2，则(＋)·(＋)＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由向量的加法和减法可知(＋)·(＋)＝(＋＋－)·(＋)＝2－2＝5－4＝1.
（6）在矩形中，＝，＝2，点E为的中点，点F在边上，若·
＝，则·的值是．
【解析】法一以A为坐标原点，，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．
故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，
＝(x－，2)，∴·＝(，0)·(x,2)＝x.
又·＝，∴x＝1，∴＝(1－，2)．
∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.
法二设＝，则＝(x－1).
·＝·(＋)＝·(＋)＝2＝2x，
∴x＝.∴＝＋＝＋(－1).
∴·＝(＋)·[＋(－1)]＝
＝2＋2＝×2＋×4＝.
11、（坐标法）（假期作业P11T3，13,14，P20T21）
12、（1）设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则＋＝( )
C ．2
D ．10
解：∵a ⊥b ，
∴a ·b ＝0，∴x ＝2，∴a ＝(2,1)，∴a 2＝5，b 2＝5，＋＝＝＝＝.
（2）(2014·山东高考) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =( )
A ．
B
C ．0
D ．
B
（3）(2013·福建高考)在四边形中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（ ）
A
B ．
C ．5
D ．10 AC ()14220•BD =⨯-+⨯=，AC BD ∴⊥.设对角线交于点O ，则四边形的面积等于四个三角形的面积之和,即()12S AO DO AO BO CO DO CO BO =+++=
()111152222AO BD CO BD AC BD AC BD +====.
(3) 22(),()10,a b a a b a a b a a a b a b +⊥∴+=+=+=+=1a b =-.
22(2),(2)220.a b b a b b a b b a b b +⊥∴+=+=+=2b =. （4）已知向量()1,2=a ，()2,n =-b ，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且()⊥-a c a ，求c .
解：(1)∵
22•n =-a b ，=a
=b ，cos 4525∴=
=， 整理得()23161201n n n --=>，解得6n =或2
3n =-(舍)，()2,6∴=-b .
(2)由(1)知，10•=a b ，25=a .又∵c 与b 同向，故可设()0λλ=>c b ． ∵()0•-=c a a ，∴20•λ-=b a a ，∴2
51102
•λ===a b a ，()11,32==-c b ． 13、（向量与三角）已知向量a ＝( θ， θ－2 θ)，b ＝(1,2)．
(1)若a ∥b ，求 θ的值；
(2)若＝,0<θ<π，求θ的值．
解：(1)因为a ∥b ，所以2 θ＝ θ－2 θ，于是4 θ＝ θ，故 θ＝.
(2)由＝，知2θ＋( θ－2 θ)2＝5，所以1－2 2θ＋42θ＝5.
从而－2 2θ＋2(1－ 2θ)＝4，即 2θ＋ 2θ＝－1，于是＝－.
又由0<θ<π，知<2θ＋<，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.
14、已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2 θ， θ)．
(1)若|＝|，求θ＋2 θ θ－ θ)的值；
(2)若(＋2)·＝1，其中O 为坐标原点，求 θ· θ的值．
【解】 ∵A (1,0)，B (0,1)，C (2 θ， θ)，∴＝(2 θ－1， θ)，＝(2 θ， θ－1)．
(1)|＝|，∴θ－12＋2θ)＝θ2＋ θ－12)，
化简得2 θ＝ θ，所以 θ＝，∴θ＋2 θ θ－ θ)＝θ＋2 θ－1)＝＝－5.
(2)＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2 θ， θ)，∴＋2＝(1,2)，
∵(＋2)·＝1，∴2 θ＋2 θ＝1.∴( θ＋ θ)2＝，∴ θ· θ＝－.
15、已知向量m ＝x 4，1))，n ＝x 4，2x
4)). (1)若m·n ＝1，求的值；
※(2)记f(x)＝m·n，在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c) B＝C，求函数f(A)的取值范围．
解(1)m·n＝· ＋2＝＋x
2
,2)＝＋，
∵m·n＝1，∴＝.∵＝1－22＝，∴＝－＝－.
(2)∵(2a－c) B＝C，
由正弦定理得(2 A－C) B＝C，
∴2 B－B＝C.∴2 B＝(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴(B＋C)＝A≠0.∴ B＝，∵0<B<π，∴B＝.∴0<A<.
∴<＋<，∈.又∵f(x)＝＋.∴f(A)＝＋.
故函数f(A)的取值范围是.
16、已知a＝(5 x，x)，b＝( x,2 x)，设函数f(x)＝a·b＋2＋.
(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的值域；
(2)当x∈[，]时，若f(x)＝8，求函数f(x－)的值；
(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的
纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性．
解(1)f(x)＝a·b＋2＋＝5 x＋22x＋42x＋2x＋＝5 x＋52x＋
＝2x＋5×2x,2)＋＝5(2x＋)＋5.
由≤x≤，得≤2x＋≤，∴－≤(2x＋)≤1，∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为[，10]．
(2)f(x)＝5(2x＋)＋5＝8，则(2x＋)＝，所以(2x＋)＝－，
f(x－)＝5 2x＋5＝5(2x＋－)＋5＝＋7.
(3)由题意知f(x)＝5(2x＋)＋5→g(x)＝5[2(x－)＋]＋5－5＝5 2x，即g(x)＝5 2x，
g(－x)＝5(－2x)＝－5 2x＝－g(x)，故g(x)为奇函数．。