高中物理第2章机械振动4单摆学案新人教版选择性必修第一册

4.单摆
学习目标：1.[物理观念]知道什么是单摆,单摆的构造,单摆回复力的来源． 2.[科学思维]掌握单摆振动的特点,理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动． 3.[科学探究]会用单摆测定重力加速度．
☆ 阅读本节教材,回答第44页“问题”并梳理必要知识点．
教材第44页问题提示：摆角很小时,单摆的振动为简谐运动．
一、单摆及单摆的回复力
1．单摆模型
如果细线的长度不可改变,细线的质量与小球相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫作单摆．单摆是实际摆的理想化模型．
在单摆模型里,悬线无弹性、不可伸缩、没有质量,小球是质点,单摆是一个理想化的模型．2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力,即F＝mg sin_θ.
(2)回复力的特点：在偏角很小时,单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总指向平衡位置．
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动,其振动图像遵循正弦函数规律．
二、单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆球质量、振幅无关．
(2)单摆的周期与摆长有关,摆长越长,周期越大．
2．周期公式
(1)公式：T＝2πl g .
(2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质．
1．思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置． (×) (2)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的． (√) (3)单摆的振幅越大周期越大．
(×)
(4)单摆的周期与摆球的质量无关． (√)
2．(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是( ) A ．摆球受重力、摆线的张力作用 B ．摆球的回复力最大时,向心力为零 C ．摆球的回复力为零时,向心力最大
D ．摆球的回复力最大时,摆线中的张力大小比摆球的重力大
ABC [单摆在运动过程中,摆球受重力和摆线的拉力,故A 对；重力垂直于摆线的分力提供回复力,当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为零,向心力为零,则摆线拉力小于重力,在平衡位置处,回复力为零,速度最大,向心力最大,摆球的加速度方向沿摆线指向悬点,故D 错,B 、C 对．]
3．(多选)如图所示是一个单摆(θ＜5°),其周期为T ,则下列说法正确的是( )
A ．把摆球的质量增加一倍,其周期不变
B ．此摆由O →B 运动的时间为T
4
C ．摆球由B →O 时,动能向势能转化
D ．摆球由O →C 时,动能向势能转化
ABD [单摆的周期与摆球的质量无关,A 正确；此摆由O →B 运动的时间为T
4,B 正确；摆球
由B →O 时,势能转化为动能,由O →C 时动能转化为势能,C 错误,D 正确．]
单摆的回复力
方法一：分析单摆的回复力,看其与位移是否成正比,并且方向相反． 方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系．
提示：问题1：(1)生活中常常看到摆钟、荡船、秋千都在竖直平面内做摆动,理想情况下都可看成单摆模型．
(2)模型①不是单摆,因为橡皮筋伸长不可忽略．
模型②不是单摆,因为绳子质量不可忽略．
模型③不是单摆,因为绳长不是远大于球的直径．
模型④不是单摆,因为悬点不固定,因而摆长在发生变化．
模型⑤是单摆．
问题2：单摆的回复力是重力的切向分力,也是摆球沿运动方向的合力,即F＝mg sin θ＝
mg x
L
＝kx.
(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动,因此在运动过程中只要速度v≠0,半径方向都有
向心力．
(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动,因此在运动过程中只要不在平衡位置,轨迹的切线方向都有回复力．
2．摆球的受力
(1)任意位置
如图所示,G2＝G cos θ,F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝G sin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力．
(2)平衡位置
摆球经过平衡位置时,G 2＝G ,G 1＝0,此时F 应大于G ,F －G 提供向心力,因此,在平衡位置,回复力F 回＝0,与G 1＝0相符．
(3)单摆的简谐运动
在θ很小时(理论值为＜5°),sin θ≈tan θ＝x l
,
G 1＝G sin θ＝mg
l
x ,
G 1方向与摆球位移方向相反,所以有回复力 F 回＝G 1＝－mg l x ＝－kx (k ＝mg
l
)．
因此,在摆角θ很小时,单摆做简谐运动．
【例1】 (多选)下列关于单摆的说法,正确的是( )
A ．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A (A 为振幅),再运动到平衡位置时的位移为零
B ．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力
C ．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D ．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
思路点拨：解决该题的关键是要分清物体的受力、回复力、向心力之间的关系． AC [简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点,摆球在正向最大位移处时位移为A ,在平衡位置时位移应为零,A 正确；摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,合力在摆线方向的分力提供向心力,B 错误,C 正确；摆球经过最低点(摆动的平衡位置)时回复力为零,但向心力不为零,所以合力不为零,加速度也不为零,D 错误．]
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置,是指摆球静止时,摆线拉力与小球所受重力平衡的位置,并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上,在摆动过程中,摆球受力不可能平衡．
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F ＝mg sin θ提供的,不可误认为回复力是重力G 与摆线拉力T 的合力．
[跟进训练]
训练角度1 单摆模型
1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是简谐运动
ABC[单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩,摆球直径远小于摆线长度,A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的,只有在偏角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动,D项错误．]
训练角度2 单摆的回复力
2．关于做简谐运动的单摆,下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时,回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处,回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
C[摆球经过平衡位置时,回复力为零,但由于摆球做圆周运动,经过平衡位置,合力不为零,合力提供向心力,方向指向悬点,A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力,所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比,B错误；根据牛顿第二定律可知,摆球在最大位移处时,速度为零,向心加速度为零,重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力,回复力才等于重力和摆线拉力的合力,在其他位置时,速度不为零,向心加速度不为零,重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力,回复力不等于重力和摆线拉力的合力,故C正确,D错误．]
单摆的周期教材第46页“实验”答案提示：
利用描点法在坐标纸上画出T­l图像为曲线,T2­l图像为过原点的一条倾斜直线．由此得出单摆振动周期与摆长的关系T2∝l.
情景设置：
探究单摆周期的决定因素是什么
振幅较小时,周期与振幅有关吗？
问题探究：1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期有什么影响？ 2．定量探究单摆的周期与摆长有什么关系？
提示：1.单摆振动的周期与摆球的质量无关；振幅较小时,周期与振幅无关；摆长越长,周期越大,摆长越短,周期越小．
2．T ∝l . 1．摆长l 的确定
实际的单摆摆球不可能是质点,所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度,即l ＝l 0＋D
2,l 0
为摆线长,D 为摆球直径．
2．重力加速度g 的变化
(1)公式中的g 由单摆所在地空间位置决定
由G M
R
2＝g 知,g 随地球表面不同位置、不同高度而变化,在不同星球上也不相同,因此应求出单摆所在处的等效值g ′代入公式,即g 不一定等于9.8 m/s 2
.
(2)g 还由单摆系统的运动状态决定
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内,设加速度为a ,此时摆球处于超重状态,沿圆弧切线方向的回复力变大,摆球质量不变,则重力加速度的等效值g ′＝g ＋a .
(3)g 还由单摆所处的物理环境决定
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中,回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力,所以也有g ′的问题．
【例2】 如图所示,将摆长为L 的单摆放在一升降机中,若升降机以加速度a 向上匀加速运动,求单摆的摆动周期．
思路点拨：本题考查单摆周期公式．解题关键是正确理解单摆周期公式中的g 应为等效重力加速度,由单摆所处的位置,摆球的受力情况及系统运动的加速度决定．
[解析] 单摆的平衡位置在竖直位置,若摆球相对升降机静止,则摆球受重力mg 和绳拉力F ,根据牛顿第二定律：F －mg ＝ma ,此时摆球的视重mg ′＝F ＝m (g ＋a ),所以单摆的等效重力加速度g ′＝F m ＝g ＋a ,因而单摆的周期为T ＝2π
L
g ′
＝2πL
g ＋a
.
[答案] 2π
L
g ＋a
确定单摆周期的方法(1)明确单摆的运动过程,判断是否符合简谐运动的条件．
(2)运用T＝2πl
g
时,注意l和g是否发生变化,若发生变化,则分别求出不同l和g时
的运动时间．
(3)单摆振动周期改变的途径：
①改变单摆的摆长；
②改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重)．
(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．
[跟进训练]
3．如图所示,三根细线在O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上,使∠AOB＝90°,∠BAO＝30°,已知OC线长是l,下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．
让小球在纸面内振动,周期T＝________.让小球在垂直纸面内振动,周期T＝________.
[解析] 让小球在纸面内振动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为l,周期T＝
2πl
g
；让小球在垂直纸面内振动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
4
l＋l,周期T
＝2π⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
4
＋1l
g
.
[答案] 2πl
g
2π
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
4
＋1l
g
1．物理观念：单摆的回复力、周期．
2．科学思维：图像法分析单摆的振动．
3．科学探究：探究单摆的周期与摆长的关系．
1．(多选)关于单摆,下列说法正确的是( ) A．摆球受到的回复力是它所受的合力
B ．摆球经过平衡位置时,所受的合力不为零
C ．摆角很小时,摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比
D ．摆角很小时,摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
BD [摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力,不是摆球所受的合力,A 选项错误；摆球经过平衡位置时,回复力为零,但由于摆球做圆周运动,有向心力,合力不为零,方向指向悬点,B 选项正确；摆角很小时,回复力与摆球相对于平衡位置的位移大小成正比,但合力没有此关系,C 选项错误,D 选项正确．]
2．(多选)发生下述哪一种情况时,单摆周期会增大( ) A ．增大摆球质量 B ．增加摆长 C ．减小单摆振幅 D ．将单摆由山下移到山顶 BD [由单摆的周期公式T ＝2π
l
g
可知,g 减小或L 增大时周期会变大．] 3．(多选)一个单摆做小角度摆动,其振动图像如图所示,以下说法正确的是( )
A ．t 1时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小
B ．t 2时刻摆球速度最大,但加速度不为零
C ．t 3时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最大
D ．t 4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大
ABD [由振动图像可知：t 1和t 3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大,此时摆球速度为零,悬线对摆球的拉力最小；t 2和t 4时刻摆球位移为零,正在通过平衡位置,速度最大,悬线对摆球的拉力最大．故正确答案为A 、B 、D.]
4．若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1
2
,则单摆摆动的
频率________,振幅变________．
[解析] 单摆的周期和频率由摆长和当地的重力加速度决定,与摆球的质量和速度无关；另外由机械能守恒定律可知,摆球经过平衡位置的速度减小了,则摆动的最大高度减小,振幅减小．
[答案] 不变 小
5．[思维拓展]如图所示,ACB 为光滑弧形槽,弧形槽半径为R ,R ≫AB .甲球从弧形槽的球心处自由落下,乙球从A 点由静止释放．
问题：(1)两球第1次到达C 点的时间之比．
(2)若在圆弧的最低点C 的正上方h 处由静止释放小球甲,让其自由下落,同时乙球从圆弧左侧由静止释放,欲使甲、乙两球在圆弧最低点C 处相遇,则甲球下落的高度h 是多少？
[解析] (1)甲球做自由落体运动
R ＝12
gt 21,所以t 1＝
2R g
.
乙球沿圆弧做简谐运动(由于≪R ,可认为摆角θ＜5°)．
此振动与一个摆长为R 的单摆振动模型相同,故此等效摆长为R ,因此乙球第1次到达C 处的时间t 2＝14T ＝1
4
×2π
R g ＝π2R g ,所以t 1∶t 2＝22π
. (2)甲球从离弧形槽最低点h 高处开始自由下落,到达C 点的时间t 甲＝2h
g
.
由于乙球运动的周期性,所以乙球到达C 点的时间t 乙
＝T 4＋n T 2＝π2R
g
(2n ＋1)(n ＝0,1,2,…)
由于甲、乙在C 处相遇,故t 甲＝t 乙 解得h ＝
2n ＋1
2
π2
R
8
(n ＝0,1,2,…)．
[答案] (1)22π (2)
2n ＋1
2
π2
R
8
(n ＝0,1,2,…)。