上海梅陇中学八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( )
A ．1，2，5
B ．3，5，4
C ．5，12，13
D ．1，3，7 2．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A ．10πcm
B ．20πcm
C ．102cm
D ．52cm 3．在ABC 中，10AB =，40AC =，BC 边上的高6AD =，则另一边BC 等于（ ）
A ．10
B ．8
C ．6或10
D ．8或10 4．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（ ）．
6．如图，90C D ∠=∠=︒，CAB DBA ∠=∠，若3AC =，4=AD ，则AB 是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 7．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足：23|4|10250a b c c -+-+-+=，则c 边上的高为（ ）
A ．1.2
B ．2
C ．2.4
D ．4.8
8．如图，设每个小方格的边长都为1，则图中以小方格顶点为端点且长度为13的线段有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )
A ．4
B ．3
C ．23
D ．3 10．以下列各数作为长度的线段，能构成直角三角形的是（ ） A ．1,2,3 B ．3,4,6 C ．1,2,3
D ．7,15,17 11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D
E 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
12．等腰三角形腰长10cm ，底边长16cm ，则等腰三角形面积是（ ）
二、填空题
13．如图，圆柱形玻璃杯的高为12cm ，底面圆的周长为10cm ，在杯内离底4cm 的点N 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上2cm 与蜂蜜相对的点M 处，则蚂蚁到达蜂蜜所爬行的最短路程为________cm ．
14．在直角坐标系中，点A (2，－2)与点B （－2，1)之间的距离AB =__________． 15．如图，已知OA OB =，若点A 对应的数是a ，则a 与52-的大小关系是a ____52
-．
16．如图，已知圆柱体底面圆的半径为
a π，高为2,AB CD 、分别是两底面的直径，,AD BC 是母线．若一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）
17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝10，AD ＝5，AC ＝4，则△ABD 的面积为 ____________．
18．如图，已知ABC ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，AC 的垂直平分线交AC 于F ，交BC 于G ，若3BE =，4EG =，12BC =，则ABC 的面积为______．
19．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．
20．已知一个三角形三边的长分别为5,10,15，则这个三角形的面积是
_________________．
三、解答题
21．在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC 的面积．
22．为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在ABC 中，AB AC =，E 是AC 上的一点，5CE =，13BC =，12BE =．
（1）判断ABE △的形状，并说明理由．
（2）求线段AB 的长．
23．在ABC 中，,90︒=∠=AB AC BAC ．
（1）如图1，点,P Q 在线段BC 上，,15AP AQ BAP ︒=∠=，求AQB ∠的度数；
（2）点,P Q 在线段BC 上（不与点,B C 重合），AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接,AM PM ．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段,,BP AP PC 之间的数量关系，并证明．
24．在等腰直角△ABC 中，AB ＝ AC ，∠BAC ＝90°，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90°交直线l 于点D ． （1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形；
①求证：∠BDP ＝∠PCB ；
②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．
（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．
25．如图，长方体的长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A 出发到点G 处．蚂蚁甲的行走路径S 甲为：翻过棱EH 后到达G 处（即A →P →G ），蚂蚁乙的行走路径S 乙为：翻过棱EF 后到达G 处（即A →M →G ），蚂蚁丙的行走路径S 丙为：翻过棱BF 后到达G 处（即A →N →G ）．
（1）求三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是多少？
（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？
26．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC；
（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG；
（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段1
H；
（4）在图4中画出一个周长为3210的格点直角三角形JKL．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用勾股定理的逆定理验证即可．
【详解】
A、∵
2
22
1255
+==，
∴以1、25为三边的三角形是直角三角形，A不符合题意；
B、∵222
34255
+==，
∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、∵222
51216913
+==，
∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C不符合题意；
D 、∵()22213107+=≠，
∴以1、3、7为三边的三角形不是直角三角形，D 符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】
解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC =A 'C ，且点C 为BB '的中点，
∵AB =5cm ，BC =
12×10=5cm ， ∴装饰带的长度=2AC =22222255102AB BC +=+=cm ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
分两种情况分类讨论，如图所示，分别在Rt ABD △与Rt ACD △中，利用勾股定理求出BD 与CD 的长，即可求出BC 的长．
【详解】
根据题意画出图形，如图所示，
AD 是ABC 的高，
∴90ADB ADC ∠=∠=︒，
如图1，10AB =，40AC ，6AD =，
在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=，
∴8BD ==，
在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，
∴2CD ===，
∴10BC BD CD =+=；
如图2，10AB =，AC 6AD =，
在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=，
∴8BD ==，
在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，
∴2CD ===，
∴6BC BD CD =-=，
∴BC 的长度为：6或10．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.
【详解】
设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0） 则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；
BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；
=，不需调整；
=<10m ，故D 需调整；
故选：B
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.
5．C
解析：C
【分析】
结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，即可得到小正方形的边长及其面积．
【详解】
结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长
∵直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm
∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm
∴小正方形的面积=222=4cm ⨯
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．
6．C
解析：C
【分析】
利用AAS 可证明△DAB ≌△CBA ，根据全等三角形的性质可得AC=BD ，利用勾股定理即可得答案．
【详解】
在DAB ∆和CBA ∆中90D C DBA CAB AB BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAB ≌△CBA ，
∴AC BD =，
∵3AC =，4=AD ，
∴3BD =，
∴5AB =
==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及勾股定理，全等三角形常用的判定方法有SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 等，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，利用SAS 判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 7．C
解析：C
【分析】
先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出a 、b 、c 的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c 边上的高，利用面积求解即可．
【详解】
2|4|10250b c c -+-+=
()2
|4|50b c -+-=，
()2|4|50b c -+-=，
30a ∴-=，40b -=，50c -=，
解得：3a =，4b =，5c =，
22222291653452a b c =+=+=+==，
ABC ∆∴是直角三角形，
设C 边上的高为h ，
由直角三角形ABC 的面积为：1122c h a b =， 整理得3412===2.455
a b h c ⨯=， c ∴边上的高为：2.4，
故选择：C ．
【点睛】
本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求a 、b 、c 的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为13的线段．
【详解】
解：∵
2232+=13， ∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，
如图所示，AB ，CD ，BE ，DF 的长都等于13；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．
【详解】
解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，
∴AD=BD=4， ∴22224223AC
AD CD ； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 10．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】 解：A 、222123+≠，∴不能构成直角三角形，故A 错误；
B 、222346+≠，∴不能构成直角三角形，故B 错误；
C 、(22212+=，∴能构成直角三角形，故C 正确；
D 、22271517+≠，∴不能构成直角三角形，故D 错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
11．C
解析：C
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DA DB =，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】
解：DE 是AB 的垂直平分线，
DA DB ∴=，
ACD ∆的周长为17，
17AC CD AD ∴++=， 17AC CD DB AC BC ∴++=+=，
5AC =，
17512BC ∴=-=，
由勾股定理得，13AB =
=，
故选：C ．
【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
如图：作AD⊥BC于D，先根据等腰三角形的性质求得BD，然后运用勾股定理求得AD，最后运用三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：如图：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=10，
∴BD=DC=1
BC=8cm，
2
∴AD=2222
-=-=
1086
AC CD
∴S△ABC=1
BC·AD=48cm2．
2
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．
二、填空题
13．【分析】过N作NQ⊥EF于Q作M关于EH的对称点M′连接M′N交EH于P连接MP则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出M′QNQ根据勾股定理求出M′N即可【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开得
解析：55．
【分析】
过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则
MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出M′Q，NQ，根据勾股定理求出M′N即可．【详解】
解：如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH 的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵ME=M′E ，M′P=MP ，
∴MP+PN=M′P+PN=M′N ，
∵NQ=12
×10cm=5cm ，M′Q=12cm -4cm+2cm=10cm ， 在Rt △M′QN 中，由勾股定理得：2251055+=． 故答案为：55
【点睛】
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．
14．【分析】直接运用两点间的距离公式求解即可【详解】解：∵(2－2)（－
21)∴AB=故答案为5【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式牢记两点间的距离公式是解答本题的关键
解析：【分析】
直接运用两点间的距离公式求解即可．
【详解】
解：∵A (2，－2)、B （－2，1)
∴()()()22222221435--+--=+-=⎡⎤⎣⎦
． 故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离公式，牢记两点间的距离公式是解答本题的关键． 15．＞【分析】根据勾股定理求出OB 长确定点A 表示的数再用估算法比较大小即可【详解】解：由图可知∴则点A 表示的数为∵∴∴故答案为：＞【点睛】本题考查了勾股定理实数在数轴上的表示和实数大小的比较熟练的运用勾 解析：＞
【分析】
根据勾股定理求出OB 长，确定点A 表示的数，再用估算法比较大小即可．
【详解】 解：由图可知，22125OB =+
∴5OA OB ==，则点A 表示的数为5-， ∵225(5)()2<，
∴552
<， ∴552->-
， 故答案为：＞．
【点睛】 本题考查了勾股定理、实数在数轴上的表示和实数大小的比较，熟练的运用勾股定理求出OB 长，确定A 点表示的数，能够利用算术平方根与被开方数大小之间的关系是解题关键．
16．【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发从侧面爬行到C 点蚂蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求在Rt △ABC 中AB=
解析：2+4a
【分析】
要求一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求．
【详解】
解：圆柱的展开图如下，
在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求，
在Rt △ABC 中，AB=π•a π
=a ，BC=2，则：2222=+=4AC AB BC a +，所以2+4a 2+4a
2+4a ．
【点睛】
本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图． 17．15【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=3然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵∠C=90°∴在Rt △ACD 中∵∠C=90°DE ⊥A
解析：15
【分析】
过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，
∵∠C=90°，
∴在Rt △ACD 中，2222543CD AD AC =
-=-=, ∵∠C=90°，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ， ∴DE=CD=3，
∴△ABD 的面积为111031522
AB DE ⨯⨯=⨯⨯=．
故答案为：15．
【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 18．18【分析】连接AEAG 根据中垂线的性质求出AEAG 的长结合勾股定理的逆定理推出进而即可求解【详解】连接AEAG ∵DE 垂直平分AB ∴∵FG 垂直平分AC ∴∵∴在中∴为直角三角形∴∴故答案是：18【点睛
解析：18
【分析】
连接AE 、AG ，根据中垂线的性质，求出AE ，AG 的长，结合勾股定理的逆定理，推出AE BC ⊥，进而即可求解．
【详解】
连接AE 、AG
∵DE 垂直平分AB ，
∴3AE BE ==，
∵FG 垂直平分AC ，
∴AG CG =，
∵3BE =，4EG =，12BC =，
∴5CG AG ==，
在AEG ∠中，29AE =，216EG =，225AG =，
∴AEG △为直角三角形，
∴AE BC ⊥， ∴111231822
ABC S BC AE =
⋅=⨯⨯=△． 故答案是：18
【点睛】 本题主要考查垂直平分线的性质定理以及勾股定理的逆定理，掌握中垂线的性质定理，添加合适的辅助线，是解题的关键．
19．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE 根据线段的和差关系可得CD 的长设CE=x 则DE=8-x 利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案【详解】∵∠ACB ＝90°BC ＝
解析：3
【分析】
利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB ，DE=AE ，根据线段的和差关系可得CD 的长，设CE=x ，则DE=8-x ，利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案．
【详解】
∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，
∴
，
∵BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，
∴BD=AB=10，DE=AE ，∠DCE=90°，
∴CD=BD-BC=10-6=4，
设CE=x ，则DE=AE=AC-CE=8-x ，
∴在Rt △DCE 中，DE 2=CE 2+CD 2，即（8-x ）2=x 2+42，
解得：x=3，
∴CE=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键． 20．【分析】根据勾股定理的逆定理判断这是一个直角三角形再结合面积公式求解【详解】解：∵∴∴该三角形为直角三角形∴其面积为故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则熟练掌握勾股定理
【分析】
根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．
【详解】
解：∵2215+=，215=， ∴
222+=，
∴该三角形为直角三角形，
∴其面积为
12=
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 三、解答题
21．△ABC 的面积为84．
【分析】
先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD 是直角三角形，再利用勾股定理求出CD 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
∵BD 2+AD 2=62+82=102=AB 2，
∴△ABD 是直角三角形，
∴AD ⊥BC ，
在Rt △ACD 中，，
∴BC=BD+CD=6+15=21，
∴S △ABC =
12BC•AD=12
×21×8=84． ∴△ABC 的面积为84．
【点睛】 此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD 是直角三角形．
22．（1）ABE △是直角三角形；理由见解析；（2）线段AB 的长为16.9．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（2）设AB AC x ==，则5AE x =-，由勾股定理列得222BE AE AB +=，代入数值得22212(5)x x +-=，计算即可．
【详解】
解：（1）ABE △是直角三角形．
理由：∵22222213169,12144,525BC BE CE ======，
∴222169BE CE BC +==，
∴90BEC ∠=︒，
∴BE AC ⊥，
∴ABE △是直角三角形．
（2）设AB AC x ==，则5AE x =-，
由（1）可知ABE △是直角三角形，
∴222BE AE AB +=，
∴22212(5)x x +-=，
解得16.9x =，
∴线段AB 的长为16.9．
【点睛】
此题考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键． 23．（1）60︒；（2）①见解析；②2222PC BP AP +=，证明见解析
【分析】
（1）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以得解；
（2）①根据轴对称的意义和性质可以作出图形；
②连结MC ，然后根据轴对称的性质和直角等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质可以得到解答．
【详解】
解：（1）∵在ABC 中，,90AB AC BAC ︒=∠=，
45B C ︒∴∠=∠=.
APQ ∠是ABP △的一个外角，
APQ B BAP ∴∠=∠+∠.
15BAP ︒∠=，
60APQ ︒∴∠=.
AP AQ =，
60AQB APQ ︒∴∠=∠=．
（2）①如图，由题意可得补全图如下：
②2222PC BP AP +=，理由如下：
如上图，连接MC .
,90AB AC BAC ︒=∠=，
45B ACB ︒∴∠=∠=.
AP AQ =，
APQ AQP ∴∠=∠.
BAP CAQ ∴∠=∠.
ABP ACQ ∴△≌△.
BP CQ ∴=.
∵点Q 关于直线AC 的对称点为M ，
,,,45AQ AM CQ CM CAM CAQ ACM ACQ ︒∴==∠=∠∠=∠=.
,45,AP AM B ACM BAP CAM ︒∴=∠=∠=∠=∠，
∴△ABP ≌△ACM ，
∴BP=CM ，
90BAC PAM ︒∴∠=∠=.
在Rt APM △中，,90AP AM PAM =∠=︒，
PM ∴=.
45ACQ ACM ︒∠=∠=，
90PCM ︒∴∠=.
在Rt PCM 中，90PCM ︒∠=，
222PC CM PM ∴+=，
2222PC BP AP ∴+=
【点睛】
本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握直角等腰三角形和三角形的性质、轴对称的意义和性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用是解题关键．
24．（1）见解析；①见解析；②BC -BD ；见解析；（2）BD -BC BP
【分析】
（1）根据题意补全图形即可：
①设PD 与BC 的交点为E ，根据三角形内角和定理可求解；
②过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ．证明△BPD ≌△FPC ，即可得到结论；
（2）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，证明△HPC ≌△BPD 即可．
【详解】
解：（1）补全图形，如图．
①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．
根据题意可知，∠CPD=90°．
∵BC⊥l，
∴∠DBC=90°．
∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．
∵∠BED=∠PEC
∴∠BDP=∠PCB．
②BC-BD=2BP．
证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．
∵AB= AC， A=90°，
∴∠ABC=45°．
∴BP=PF，∠PFB=45°．
∴∠PBD=∠PFC=135°．
∴△BPD≌△FPC．
∴BD=FC．
∵BF2BP，
∴BC -BD
=2BP ．
（3）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，如图③，
∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC
∴∠PDM=∠BCM
∵∠ABC=∠ACB=45°
∴∠HBP=45°
∴∠DBP=45°
∵∠BPH=90°
∴∠BHP=45°
∴HP=BP
∴2HB PB =
又∠DPC=90°
∴∠HPC=∠BPD ，
在△HPC 和△BPD 中，
HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
∴△HPC ≌△BPD
∴2BP BC +
∴BD -BC 2BP ．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的
应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
25．（1）三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是137cm ，55cm ，117cm ；（2）蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达
【分析】
（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，根据勾股定理分别求出S 甲，S 乙，S 丙的值即可；
（2）比较S 甲，S 乙，S 丙的值即可得到答案．
【详解】
解：（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，
∵长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，
∴EF =AB =5cm ，GF =BC =EH =4cm ，AE =BF =CG =6cm ，
∴图1：S 甲=2222()114137AE EF G F '''++=+=（cm ）
图2：S 乙=2222()10555AE EH G H '''++=+=（cm ），
图3：S 丙=2222()96117AB BC C G '''++=+=（cm ），
答：三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是137cm ，55cm ，117cm ；
（2）由（1）知，S 甲137cm ），S 乙5125cm ），S 丙117cm ）． ∵137125117
∴蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，立方体的平面展开图，正确理解题意，确定每只蚂蚁所走的路径构建直角三角形是解题的关键．
26．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；
（213
（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为2，22，10的三角形，即可．
【详解】
（1）∵2121ABC S
=⨯÷=，
∴ABC 即为所求；
（2）∵EF=FG=GD=DE=222313+=， ∴正方形DEFG 的面积为13；
（3）HI=22345+=；
（4）∵KL=22112+=，JL=222222+=，JK=221310+=， 且222(2)(22)(10)+=
∴JKL 是直角三角形，且周长为3210+．
【点睛】
本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．。