甘肃省兰州市第一中学高二上学期12月月考数学试题Word版含答案

兰州一中2017-2018-1学期12月月考试题 数 学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题
为则p ,2,:2⌝>∈∃n
n N n p A.n n N n 2,2>∈∀ B.n
n N n 2,2≤∈∃
C.n n N n 2,2≤∈∀
D.n
n N n 2,2=∈∃
2.椭圆
2226x y +=的焦点坐标是
A. (0,
B. (
C. (3,0)±
D. (0,3)± 3.设a ，b 为实数，命题甲：a ＜b ＜0，命题乙：ab ＞b2，则命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.双曲线22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，则它的渐近线方程是
A ．y=±3x
B
．
y x =
C
．y =
D ．
32y x =±
5.已知椭圆过点（0，3）且与双曲线22
197x y -=有相同的焦点，则椭圆的标准方程为 A ．22
179x y +=
B ．22
197x y +=
C ．22
1
167x y +=
D ．22
1
259x y +=
6.动圆M 与圆
()2
21:11
C x y ++=外切，与圆
()2
22:125
C x y -+=内切，则动圆圆心
M 的轨迹方程是
A. 22189x y +=
B. 221
98x y += C. 2219x y += D. 22
19y x +=
7.已知双曲线)
0,0(122
2>>=-b a b y a x 的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离
心率e 为
A ． 2
B ． 3
C ． 53
D ． 54
8.设F1、F2是椭圆22
152x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，当△F1PF2的面积为2时，
12PF PF ⋅ = A
．
B ．0
C ．1
D
．
9.设函数f(x)＝|log2x|，则f (x)在区间(m ，2m ＋1) (m>0)内不是单调函数的充要条件是 A. 0<m<12 B. 0<m<1 C. 1
2<m<1 D. m>1
10.设双曲线x2a2－y2
b2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝2，右焦点F(c ，0)．方程ax2－bx －c ＝0 的
两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系是
A ．点P 在圆外
B ．点P 在圆上
C ．点P 在圆内
D ．不确定
11.已知F1、F2为双曲线：22
11620x y -=的左、右焦点，过F2的直线交双曲线于A ，B 两点，
则△F1AB 周长的最小值为
A ．8
B ．16
C ．20
D ．36
12．已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线3:+=x y l 上移动，椭圆c 以,A B 为 焦点且经过点p ，则椭圆c 的离心率的最大值为
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.命题“若a2＋b2＝0(a ，b ∈R)，则a ＝b ＝0”的逆否命题是__ ______.
14 .点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________. 15.下列命题中，正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上） ①已知集合
{}{}
1,,1,2,3A a B ==，则“3=a ”是“B A ⊆”的必要不充分条件；
[KS5UKS5UKS5U] ②如果命题“ p”与命题“p ∨q”都是真命题，那么命题q 一定是真命题； ③∀x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0；
④若逆命题是假命题则否命题一定是假命题.
16.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
321π
=
∠PF F ，
椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+2
22131e e ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x 轴上，且过点A(－4，3).若F1 A ⊥F2 A ，求椭圆的标准方程.
18. (本题满分12分)设F(1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且2MN MP = ,PM PF ⊥ ，当
点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程.
19. (本题满分12分)已知命题
:p x m >是250x ->的必要而不充分条件；
命题:q 实数m 满足方程22
1
12x y m m +=--表示双曲线.
若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.
20. (本题满分12分)已知直线y ＝－12 x ＋2和椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，
且a ＝2b ，若|AB|＝25，求椭圆的方程.
21. (本题满分12分)已知双曲线 22
221(0,0)y x a b a b -=>>的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，且顶
.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限， 若AP →＝PB →
，求△AOB 的面积．
22. (本题满分12分)已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲
线2
212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求OA OB ⋅
的取值范围.
[KS5UKS5U]
兰州一中2017-2018-1学期高二年级12月月考试试题 数 学 答 案
第I 卷（选择题）
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 若a ≠0或b ≠0 ，则a2＋b2≠0 ; 14． 2x －y －15＝0 ; 15. ② ④ ; 16． 4 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x 轴上，且过点A(－4，3).若F1 A ⊥F2 A ，求椭圆的标准方程.
解：设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2
b2＝1(a>b>0),焦点F1(
－c ，0)，F2(c ，0)(c>0).
∵F1A ⊥F2A ， ∴F1A →·F2A →
＝0，
而F1A →＝(－4＋c ，3)，F2A →
＝(－4－c ，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0， ∴c2＝25，即c ＝5. ∴F1(－5，0)，F2 (5，0).
∴2a ＝|AF1|＋|AF2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410. 即:a ＝210，b =
∴椭圆的标准方程为22
14015x y +=
[KS5UKS5UKS5U]
[KS5UKS5U]
18. (本题满分12分)设F(1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且2MN MP = ,PM PF ⊥ ，当
点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程.
解： 设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x ，y)，
∵PM →⊥PF →，PM →＝(x0，－y0)，PF →
＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1, －y0)＝0， ∴x0＋y20＝0.
由MN →＝2MP →
得(x －x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x0＝－2x0，y ＝2y0，即⎩
⎪
⎨⎪
⎧x0＝－x ，
y0＝12
y ， ∴－x ＋y2
4
＝0，即y2＝4x.
故所求的点N 的轨迹方程是y2＝4x. 19. (本题满分12分)已知命题
:p x m >是250x ->的必要而不充分条件；
命题:q 实数m 满足方程22
1
12x y m m +=--表示双曲线.
若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.
解：由250x ->，得
5
2x >
命题p 真时，则()5,,2m ⎛⎫+∞⊂+∞ ⎪⎝⎭，得
52m ≤∴命题p 假时，52m >， 命题q 真时，得
()()120m m --<，解得1m <或2m >，命题q 假时，12m ≤≤
∵p q ∧为假，p q ∨为真，∴p q 、一真一假.
当p 真q 假时，则5212
m m <≤≤⎧⎨⎩
，所以12m ≤≤；
当p 假q 真时，则5
2
12
m m m ≥<>⎧⎨⎩
或，所以
52m >
.
综上可知，实数m 的取值范围为：[]5
1,2(
,)2m ∈+∞ .
20. (本题满分12分)已知直线y ＝－12 x ＋2和椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，
且a ＝2b ，若|AB|＝25，求椭圆的方程. 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⎩⎨⎧
y ＝－1
2x ＋2，x24b2＋y2
b2＝1
消去y 并整理得x2－4x ＋8－2b2＝0.
则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝25，∴1＋1
4
·(x1＋x2)2－4x1x2＝25，
即
5
2
·16－4(8－2b2)＝25，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16. ∴所求椭圆的方程为x216＋y2
4
＝1.
21. (本题满分12分)已知双曲线 22
221(0,0)y x a b a b -=>>的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，且顶
.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限， 若AP →＝PB →
，求△AOB 的面积．
解:
(1)依题意得
:
a b
=⎧⎪⎨⎪⎩解得3a b ==
故双曲线的方程为
229y x -= (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，设A(m ，m)，B(－n ，n)，其中m ＞0，n ＞0，由AP
→
＝PB →
得点P 的坐标为(
,)22m n m n
-+.
将点P 的坐标代入
22
9y x -=，整理得mn ＝9. 02A B π
∠=
∴S △AOB ＝1
2
|OA||OB|＝mn ＝9.
22. (本题满分12分)已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲
线2
212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求OA OB ⋅
的取值范围.
解：（1）由题意知
222222
11,24c c a b e e a a a -==∴===，2
243a b =.
又∵双曲线的焦点坐标为(0,b =2
2
4,3a b ∴==，
∴椭圆的方程为22143x y +=.
（2）若直线l 的倾斜角为0
，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-
，
当直线l 的倾斜角不为0
时，直线l 可设为4x my =+，
2222
4
(34)243603412x my m y my x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，由
2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>
设
1122(4,),(4,)A my y B my y ++，
1212
222436
,3434
m y y y y m m +=-
=++，
21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++
2116
4
34m =
-+
2
134,(4,)
4m OA OB >∴⋅∈- ， 综上所述：范围为13[4,
)4-。