安徽省全椒中学2017-2018学年高一第一学期期中考试数学试题 答案和解析

安徽省全椒中学2017－2018学年高一第一学期期中考试数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．三条直线两两相交，可确定的平面个数是( )
A ．1
B ．1或3
C ．1或2
D ．3
2．已知直线0(,,ax by c a b c ++=都是正数）与圆221x y +=相切，则以,,a b c 为三边长的三角形是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不存在 3．若M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）上一点，则直线x 0x+y 0y=r 2与该圆的位置关系为（ ）
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．相切或相交 4．命题：（1）夹在两平行平面间的两个几何体，被一个平行于这两个平面的平面所截，若截面积相等，则这两个几何体的体积相等；（2）直棱柱和圆柱侧面展开图都是矩形；（3）斜棱柱的体积等于与它的一条侧棱垂直的截面面积乘以它的任一条侧棱；（4）平行六面体的对角线交于一点，且互相平分；其中正确的个数是( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．在ABC ∆中，若()()3a b c b c a bc +++-=，则A =（ ）
A ．90︒
B ．60︒
C ．135︒
D ．150︒ 6．与直线2x+y －1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（ ）
A ．2x+y －3=0
B ．2x+y +3=0
C ．x +2y +3=0
D ．x+2y －3=0 7．设地球半径为R ，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（ ）
A B C ．πR D ．2πR
8．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．ABC ∆中，若sin cos A B <，则ABC ∆形状必为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案均有
10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 ( )
A ．27
B ．30
C ．33
D ．36
11．关于“斜二测”直观图的画法，下列说法中正确的是（ ）
A ．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；
B ．圆的直观图仍为圆；
C ．正方形的直观图为平行四边形；
D ．梯形的直观图不是梯形.
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．2
二、填空题
13．空间两点P 1（4，1，9）、P 2（2，4，3）的距离|P 1P 2|=______________.
14．有一块直角三角板,30,90,ABC A C BC ∠=︒∠=︒边贴于桌面上，当三角板和桌面成45°角时，AB 边与桌面所成的角的正弦值是________________.
15．如图所示，在单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值为________.
16．已知点(0,1)A ，点B 在直线:0l x y +=上运动则当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为__________．
三、解答题
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且sin 2
2
A ＝2c b c -. (1)试判断△ABC 的形状并加以证明；
(2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值.
18．已知圆22240x y x y m +--+=.
（1）此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M .N 两点，且OM ON ⊥ (O 为坐标原点)，求的值；
19．如图，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且
PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。

20．自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程.
21．如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中，∠ABC=60°
，PA=AC=a ，，点E 是PD 的中点.
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求二面角E —AC —D 的大小；
（Ⅲ）求点P 到平面EAC 的距离.
22．如图，多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.
（I）求证：EF∥平面PAD；
（II）求证：平面PDC⊥平面PAD．
参考答案
1．B
【解析】
空间两两相交的三条直线，
如果交于一点，可以确定的平面个数是1个或3个，
如果交于不共线的三点，可以确定的平面个数是1个．
∴空间两两相交的三条直线，可以确定的平面个数是1或3．
故选B ．
2．B
【分析】
根据直线与圆相切，圆心到直线的距离为半径，得a ，b 和c 的关系，从而可判断出三角形为直角三角形．
【详解】
∵直线与圆相切
∴圆心到直线的距离d
＝1，得a 2+b 2＝c 2，
∴以,,a b c 为三边长的三角形是直角三角形．
故选B ．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系．常用数形结合的方法，根据圆心到直线的距离和半径的大小，判断直线与圆的位置关系．
3．A
【分析】
先求圆心到直线距离，再与半径比较大小作判断.
【详解】
因为M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）上一点，所以22200=x y r +
因此圆心O 到直线x 0x+y 0y=r 22
r ，即直线x 0x+y 0y=r 2与该圆相切，选
A.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．A
【解析】对于（1），根据祖暅原理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，正确；
对于（2），直棱柱和圆柱的侧面展开图都是矩形，正确；
对于（3），斜棱柱的体积等于与它的一条侧棱垂直的截面面积乘以它的一条侧棱，正确； 对于（4），平行六面体的任意两条对角线所在的四边形是平行四边形，
所以这两条对角线交于一点，且互相平分，正确；
综上，正确命题是（1）（2）（3）（4），共4个．
故选：A ．
5．B
【解析】
()()3a b c b c a bc +++-=,22()3b c a bc +-= ,222b c a bc +-= ,
2221cos 22
b c a A bc +-== ,则060A = ，选B . 6．A
【解析】
在所求直线上取点（x ，y ），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a ，b ），则
1202
x a y b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∴a=2-x ，b=-y ，∵（a ，b ）在直线2x+y-1=0上 ∴2a+b-1=0∴2（2-x ）-y-1=0∴2x+y-3=0
故选A
7．A
【解析】
如图所示，设球心为O ，北纬30°圈所在的小圆圆心为Q ，甲、乙两地分别对应A 、
B 两点，
连接QO 、QA 、QB 、OA 、OB ，则OQ ⊥平面QAB ，∠OAQ=30°，∠AQB=120°=23
π在Rt △OAQ
中，OA=R ，可得AQ=OAcos ∠OAQ=Rcos30°
在圆Q 中，A 、B 的经度差为120°，∴弧AB 的长为
23π×2R =3πR 故选A
8．C
【分析】
求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
【详解】
圆222430x x y y +++-=可变为()()22
128x y +++=， ∴
圆心为()1,2--，半径为
∴圆心到直线10x y ++=的距离d ==
∴
的点共有3个.
故选：C.
【点睛】
本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.
9．C
【解析】
∵sinA ＜cosB ，∴sinA ＜sin 2B π⎛⎫- ⎪⎝⎭
∵0＜A ＜2π ，2π-<2B π-<2π∴0＜A ＜2B π-
∴0＜A+B ＜
2π∴C ＞2
π∴△ABC 为钝角三角形 故选C ． 点睛：本题考查三角形形状的判定，考查了诱导公式，考查正弦函数的单调性，属于基础题．
10．B
【解析】解：根据已知中的三视图可知
该几何体由一个正方体和一个正四棱锥组成
其中正方体的棱长为3，故V 正方体=3×3×3=27
下四棱锥的底面棱长为3，高为1，故V 正四棱锥=
13
×3×3×1=3故这个几何体的体积V=27+3=30 故选B ．
11．C
【解析】根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，可得：
等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，圆的直观图不为圆；
正方形的直观图是平行四边形，梯形的直观图还是梯形，
故选：C
点睛：本题考查的知识点是斜二侧画法，熟练掌握斜二侧画法的作图步骤及实质是解答的关键．
12．C
【解析】试题分析：设两圆的圆心分别为
、，球心为，公共弦为，其中点为，则
为矩形，于是对角线，而，∴，故选C ．
考点：球的表面积和体积. 视频
13．7
【解析】 ()(12122,3,627PP PP =--∴=
-= 故答案为7
146 【详解】
过A 作AO 垂直桌面于O ，连接OC ,OB ，
三角板所在平面与桌面成45°角，即45ACO ∠=︒，
设AO =1，则AC =AB =， ∵AB 边与桌面所成角等于∠A0B ，
∴sin ∠AOB =AO AB =
15【解析】
如图所示，
把对角面A 1C 绕A 1B 旋转至A 1BC′D 1′，
使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1′，
则AD 1=
16．10x y -+=
【分析】
当AB l ⊥时，线段AB 最短，从而可得1AB k =，进而可求出直线AB 的方程
【详解】
当线段AB 最短时，AB l ⊥，所以1AB k =，所以直线AB 的方程为1y x =+，
化为一般式方程为10x y -+=．
故答案为：10x y -+=，
【点睛】
此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，属于基础题
17．(1)详见解析(2) 4A π=
时，L 最大且最大值为1+【解析】
试题分析：（1）由已知条件求出222c b a =+，∴ABC ∆为直角三角形；（2）当1c =时，
ABC ∆周长)4L A π+，4
A π=时，L 最大且最大值为1 试题解析：（1）∵1cos 1222A b c -=-，即cos b A c
=，故cos b c A =， 又222
2b c a b c bc
+-=，即222c b a =+， ∴ABC ∆为直角三角形.
（2）∵c 为直角ABC ∆的斜边，当1c =时，
1sin cos 14L A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭. ∵02A π
<<，
∴sin 14A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，即4A π
=时，L 最大且最大值为1点睛：本题主要考查解三角形，有余弦定理、勾股定理等，属于中档题．解答本题的关键是灵活掌握三角函数中的公式．
18．(1) 5m < (2) 85m =
【解析】
试题分析：（1）由二元二次方程表示圆的条件D 2+E 2-4F 大于0列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围；（2）设出曲线与直线的交点M 和N 的坐标，联立曲线C 与直线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后由OM 与ON 垂直得到M 和N 横坐标之积与纵坐标之积的和为0，由直线方程化为横坐标的关系式，把表示出的两根之和与两根之积代入即可求出m 的值． 试题解析：
（1）由D 2+E 2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5
（2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由OM⊥ON 得x 1x 2+ y 1y 2=0.
将直线方程x+2y-4=0与曲线C ：x 2+y 2
-2x-4y+m=0联立并消去y 得
5x 2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x 1+x 2=85①,x 1x 2=4165
m -②， ∆=64-20（4m-16）=384-80m ﹥0﹥所以m ﹤44
5
又由x+2y-4=0得y=1
2 (4-x),
∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+12(4-x 1)·12 (4-x 2)=5
4 x 1x 2-( x 1+x 2)+4=0.
将①、②代入得m=8
5
,满足∆﹥ 0.
19．S 球=4πR 2=3πa 2
【解析】如题图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d ，在三棱锥PABC 中，
∵PA 、PB 、PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ＝a ，∴AB ＝AC ＝BC
a ，
且点P 在△ABC 内的射影是△ABC 的中心O′
＝2r ，∴r
a.
又根据球的截面圆性质，有OO′⊥平面ABC ，而PO′⊥平面ABC ，
∴P 、O 、O′三点共线，球的半径R
.又PO′
， ∴OO′＝R
＝d
，∴2R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝R 2
－2
⎫⎪⎪⎝⎭，解得R
∴S 球＝4πR 2＝3πa 2.
20．3x+4y+3=0或4x+3y+3=0． 【解析】 【分析】
将圆的方程转化为标准方程，求出关于x 轴对称的圆的方程，再设直线l 的方程
()33y k x -=+，则直线与对称所得圆相切，进而可求直线的方程.
【详解】
圆2
2
4470x y x y +--+=可化为标准式()()22
221x y -+-=，其关于x 轴对称的圆为
()()
22
221x y -++=.
已知反射光线所在的直线与圆()()2
2
221x y -+-=相切，则入射光线与对称所得圆相切, 设光线所在直线l 的方程为()33y k x -=+，即330kx y k -++=.
1=，化简为()222511k k +=+，解得43k =-或3
4
k =-.
故所求直线l 的方程为3430x y +-=或4330x y ++=. 【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，考查了对称的性质，考查了过圆外一点求圆的切线方程；求过圆外一点的切线方程，一般先设直线的方程，然后可联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程；也可利用圆心到切线的距离等于圆的半径求解. 21．（1）见解析；（2
）arccos 7；（3
. 【解析】
试题分析：（I ）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB 、AD 是平面ABCD 内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD ；（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A —xyz,
()()(
)131A 0,0,0,0,0,,0,,0,,,0,,,02222P a D a C a a AC a a ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则,
11
110,,,0,,2222PD E a a AE a a ⎛⎫⎛⎫
∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
中点 求出平面EAC
的法向量为(1,3,n =-，
平面ACD 的法向量为()0,0,AP a =，3cos ,7n AP a =
=即得二面角大小（Ⅲ）由（II ）问得，点P 平面EAC 的距离n AP d n
⋅=代入计算即得解.
试题解析：
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60° 所以AB=AD=AC=a ，
在△PAB 中，可证PA 2+AB 2=2a 2 = PB 2 ∴PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
（II ）如图，建立空间直角坐标系A —xyz
()(
)()0,0,0,0,0,,0,,0,131,,0,,,022A P a D a C a a AC a 则⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11110,,,0,,2222PD E a a AE a a ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
中点
设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =
，
31
11
0,02222
n AC ax ay n AE ay az ∴⋅=
+=⋅=+=，(
,1,3,?y y z n ∴==-=-取，又平面ACD 的法向量为()0,0,?
AP a =∴
3,7cosn AP =
=
，即二面角E —AC —D 的大小为arccos 7； （III ）点P 平面EAC 的距离377
n AP a d
n
⋅==
= ．
22．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由多面体PABCD 的三视图知，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰三角形，，且平面PAD ⊥平面ABCD ．先证明EF ∥PA ，由线面平行的判定定理证明EF ∥平面PAD ；
（Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA 又可得△PAD 是等腰直角三角形，所以PA ⊥AD ，根据线面垂直的判定定理得PA ⊥平面PDC ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PDC ． 试题解析： （I ）证明：由多面体的三视图知，四棱锥
的底面
是边长为的正方形，侧面
是等腰三角形，
，且平面平面. 连结
，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，，且
⊂平面，
⊄平面
，
∴
∥平面
(2) 因为平面⊥平面
， 平面
∩平面， 又⊥，所
以，⊥平面，∴⊥ 又，,所以△是
等腰直角三角形，且2
APD π
∠=
，即 又CD∩PD=D ， ∴PA ⊥平面PDC ，又PA ⊂
平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PDC ．
点睛：本题考查了三视图还原几何体，线面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．。