三体问题详解及其历史

三体问题详解及其历史
三体问题详解及其历史
【导读】
这一阵在看刘慈欣的《三体》，的确是好科幻小说。

不过，再好的科幻小说也仍然是科幻，更何况“硬度”不一，科学背景上总归能找出不合事实的地方来。

当然，这些不能说就是Bug，毕竟，总得让写书的有些自由发挥的余地，反正这又不是写物理论文。

而且，好的科幻容易把人拉入梦境中，比如看《球状闪电》的时候，我时常会有出冷汗的感觉。

这个时候，科学知识可以把人从小说营造的意境中拉出来，象我逃离量子玫瑰等充满鬼气的情节的法子就是念叨“我相信系综解释”。

多了解些背景，兴许可以少做些噩梦。

三体问题
不消说，光从书名上看，三体问题就是《三体》最大的背景之一。

三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。

先说一下什么叫三体。

用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。

参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。

在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。

用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。

在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。

每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。

要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。

N=2，就是二体问题。

N=3，也就是我们要说的三体问题了。

N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。

学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。

然而三体运动的情况就糟糕得多。

攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。

牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。

其实，三体运动已经是对物理实际简化得很厉害了。

比如说对质点，自转啦、形状啦我们统统不用考虑。

但是只要研究实际的地球运动，就已经比质点复杂得多。

比如说，地球别说不是点，连球形都不
是，粗略看来是个赤道上胖出来一圈的椭球体。

于是，在月球引力下，地球的自转轴方向就不固定，北极星也不会永远是那一颗。

而考虑潮汐作用时，地球都不能看成是“硬”的了，地球自转也因此越来越慢。

然而即使是极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个祭坛献上了无数脑汁也未能将它攻克。

当然，努力不会完全白费的，许多有效的近似方法被鼓捣了出来。

对于太阳系，摄动理论就是非常有效的解决问题的近似方法。

而对于地月系统，则可以先把地球和月球看作是二体系统，再考虑太阳引力的影响。

“月亮绕着地球转，地球绕着太阳转”的理论计算已经作得非常精确，上下几千年的日食月食都能很好地预测。

而对一颗受到行星引力干扰的彗星，人们也能算出一段时间内很精确的轨道，比如天文学家可以提前几年就预测出彗星撞木星。

而且，太阳系的稳定性也在很大程度上得到了证明，比如说大行星的轨道变化大体上是周期性的，不会始终单向变化下去直到行星系统解体。

从数学方法来说，解2体问题的方法是解微分方程组，通过求积分的方式可以圆满解决，得到解析解。

很自然的，物理学家和数学家们也用这种方法去对付三体问题。

1772年，拉格朗日就已经把三体问题的18个方程简化成了只有6个。

然而，进步到此为止了。

19世纪末期的研究更是给了数学家们一连串打击。

布伦斯（1887），庞加莱（1889）和潘勒斯（1898）年给出了一个比一个更严格的证明，堵死了求积分的许多途径。

1941年西格尔干脆证明了代数积分法的死刑，宣布找到足够的代数积分是不可能的。

当然，三体问题的数学研究不是除了失败外就一无所有，它还是带来了许多新发现，比如混沌理论就是从它的废墟中诞生的。

当然，我们还只是谈到了牛顿力学。

如果考虑到广义相对论的修正，那就更糟糕了，连二体问题都只有近似解。

而且，广义相对论的二体问题也不稳定，由于发射引力波损失能量，两个星体迟早会撞在一起，虽说要等的时间可能比宇宙寿命还长。

先说明一下天文学家是怎么得到三兄弟的这些数据的。

恒星目视星等是可以直接测量的。

南门二离我们很近，用三角视差方法就可以很精确地测出距离。

事实上，南门二是最早被测出距离的恒星（当然太阳除外），但是由于在南非
观测它的英国天文学家亨德森要等到回到英国后才能发表观测数据，结果1838年，德国天文学家贝塞耳在柯尼斯堡观测的天鹅座61号星抢到了第一的座次。

有了距离和目视亮度，就可以很容易地算出绝对亮度。

恒星的表面温度，则可以通过研究恒星的光谱来确定。

根据黑体辐射定律（比如斯忒藩定律或者普朗克公式），恒星亮度和表面温度的4次方成正比，而且亮度和恒星的表面积成正比（也就是和半径的平方成正比）。

所以，根据已经测到的数据，得出三兄弟的半径也不难。

测质量相比之下就要麻烦不少。

南门二的老大和老二是一对离得比较近的双星，平均距离23个天文单位（地球到太阳的平均距离），绕行的周期则是大约80年。

有了轨道数据（当然不止这两个数据），从牛顿力学就可以算出南门二A和B的质量的精确数值。

而比邻星的质量就难测多了。

比邻星这个小弟兄目前离两个哥哥太远了，大约有0.2光年，相当于A，B两星平均距离的500倍以上，而且其质量又小。

所以，靠测量比邻星的引力对南门二A，B的影响来确定其质量是不行的。

目前采用的比邻星质量是个推测值，按照理论模型和其他类似亮度和温度的恒星的质量来估计，得到了一个很小的质量，只比太阳的十分之一稍大些。

南门二的A，B两星以椭圆轨道在互相绕行，下面是它们轨道的图示（这里还加上了一个假想的地球）。

它们的轨道相当扁，偏心率大约0.5。

图中它们都在“近日点”。

当然不用担心它们会相撞，它们的运动周期一致，是同步的。

离得最近时候是11个天文单位（比太阳到土星稍远），相距最远时候则达到35个天文单位（比太阳到海王星稍远）。

因为它们的轨道平面不是正对着我们的，从地球上观测，以南门二A 为参考点，南门二B将描出下图所示的一个很扁的椭圆。

为了更好的领略南门二的风景，我们就发动时空传送机器（用《流浪地球》的那种变态的地球发动机？太土老冒了吧），把我们的地球传送过去实地旅游一番吧。

南门二A星是老大，和太阳非常相似，事实上，它是太阳周围三十光年内和太阳最相似的恒星了。

如果真的说“海内存知己，天涯若比邻”，那对它是非常合适的。

既然如此，那就给我们一个回家的感觉，把地球安置在离南门二A一个天文单位的圆形轨道上吧。

啊，这将是一场灾难。

不要忘了，南门二A的质量比太阳大10%，亮度则要大51%。

现在只不过多排放了一些温室气体，造成的全球变
暖就已经搞得人心惶惶了。

如果太阳增亮一半，那地球上简直就要寸草不生了。

“第XXX代文明在酷热中毁灭了，原因是时空穿越的位置设定错误。

”（真丢人）
不行，我们要补救一下，把地球挪远一些，离南门二A的距离增大到1.23个天文单位，这样，南门二A提供给地球的光照就和太阳一模一样了，我们仍然能有一个气候适宜，生命繁盛的地球。

轨道情况让我们相当满意，因为南门二B虽然离得相当近，但是最近时候的距离仍然比到南门二A的距离要大将近9倍，因此，对地球的轨道干扰也不大。

可以指望地球可以在圆轨道上过着相当稳定的生活。

现在是白天，先让我们赞美“万物生长靠太阳”。

抬头看去，南门二A和我们原来熟悉的那个太阳相比，看上去要稍微小了些（视直径小了大概2.5%），如果我们没有忘了把月亮也原封不动地拖过来，那么在这里就不会看到日环食了，只会是日全食或者日偏食。

但是因为南门二A的表面温度比太阳高了一点点（太阳的表面温度是5700 K），所以它的表面显得要更亮些。

粗心一点的话，你不会觉得太阳已经换了一个。

一年比我们现在长了三四个月，但区别也不算太大。

如果时辰凑巧的话，我们还可以在晴空中看到一个明亮的“飞星”，这就是南门二B。

它的亮度在南门二A这个“太阳”的1/300到1/3000的范围内变化，取决于当前它离我们有多远。

当然，老师们会向你强调不能用肉眼直接看太阳，同样他们还会强调也不要用肉眼直接看“飞星”。

因为南门二B的亮度仍然到了刺目的地步，相当于月亮亮度的1000~100倍，足以伤害你的眼睛了。

当“飞星”最亮的时候（也就是最近的时候），可以看到它并不
是“星”，而是一个小太阳，直径大约是太阳的十分之一，可以看出一个小小的圆面。

最暗的时候，肉眼就看不出什么结构了，看上去就是一颗非常亮的星星，但是在望远镜下，它的圆面依然可见，和真实世界中我们看木星差不多大。

但不论如何，它的亮度之大，都足以保证即使是在白天，我们也能很容易地看到它。

太阳下山了，让我们看看星空吧。

呃，怎么天还这么亮，什么星星都看不到？原来“飞星”还没下山呢。

“飞星”亮度达到月亮的10 00～100倍，在它的照耀下的“夜空”仍然非常明亮，如同我们常见的阴天，而地面的亮度和写字楼里面没什么两样，尽可以看书写字。

由于南门二B的表面温度要比太阳低不少，它的颜色是橙黄色的，在“飞星”的照耀下，天空和大地如同被城市街道旁的高压钠灯照亮，沐浴在一片温和的橙色光辉中。

如果对“飞星”的运行感兴趣，我们就得对它进行长时间观测。

它的运行有如太阳系里的外行星的运行规律，每80年（换算成南门二A的“地球年”当然只有大概60“年”）在天球上相对于恒星背景运行一圈，而且每“年”都会有两次“飞星不动”的现象。

当然，这并不是什么大灾难的前兆，只不过是地球的运行方向此时正好朝向或者背离南门二B而已。

持续时间也不过几天，和太阳系里外行星运动的“留”实际上是同一回事。

其实，南门二B也是不错的人类安身之所，虽然说亮度只有太阳的一半不到。

但是只要离得近些就好了。

金星的轨道就是个很不错的选择。

同样，这样一个轨道也是相当稳定的，在上面我们可以看到一个比较大的橙色太阳，还有一颗黄色的，更亮更大的“飞星”。

在牛顿的经典力学体系里面，对三体问题的简化可以用下面这张图大体表示一下（在这里把月球火箭的轨道计算作为一个三体运动的一个实际应用的例子，实际上比三体运动还要复杂）
二十世纪50年代后，数学家们多了一个新帮手：计算机。

于是，两个新办法出来了，一个是用级数表示积分（简单代数积分不指望了），另一个则干脆是使用数值方法求近似解。

级数解在理论上获得了很大成功，比如在限制性圆型三体问题中，已经证明了所需要的积分是存在的（但是另一方面早就证明了用代数公式是不能表达的）。

这些积分可以用幂级数表达，而且证明了幂级数是收敛的。

但是这些幂级数收敛得太慢了，比如对拉格朗日点，为了达到可以接受的精度，至少要取10^80000项！而整个宇宙中的粒子数也就10^80个的样子。

计算机的加盟使人们对三体问题不是那么无助了。

虽然没有代数公式，但用数值算法硬算的结果，精确性也不错。

比如，发射飞船去探测其他行星就是典型的三体问题，旅行者2号说去海王星就一定到得了。

再比如，太阳系大行星4000万年内的运动也算了出来，至少往后这段时间，太阳系的行星系统还不至于散架。

让我们看看三体问题的大致现状吧：
1．目前的研究主要集中在限制性三体问题，因为比较简化，而且有实用价值。

2．对于限制性三体问题，通过级数法证明了解的存在性（这已经是非常大的成果了）。

而且，天体力学的定性分析和天文观测（比如地球上繁衍了几十亿年的生命）都证明了限制性三体体系的稳定解的存在性。

3．用解决二体问题的方法，也就是代数积分的方法被确认不可能解决三体问题。

4．用计算机进行较长期的三体问题的数值计算是成功的。

5．三体问题的算法还大有可改进之处。

毕竟，10^80000项的计算是太过于可怕了。

回到《三体》小说，有了“秦始皇”的“人计算机系统” ，算个简化的三体问题还是可以的。

不过，如果是小说中那种三个太阳的质量差不多，而且相互距离也差不多的情况，他们面对的三体问题就不能简化为限制性三体问题，计算的难度要大很多。

不过，用计算机算出比较短时间的预测应该是可行的。

毕竟，天气预报不一定非得要知道明年今天的具体天气，能比较准确知道一周天气就不错了（通常我们还只听听明天是否下雨呢）。

三体人知道是不是该“脱水”或者“浸泡”就已经很有好处了。

用观测不断修正预测，至少对小的“乱世代”不用害怕了。

当然，如果三体文明只是在I/II类文明的层次，不能通过移走恒星来釜底抽薪地解决三体问题。

那么，“但重要的是改变世界”这句话就仍然是正确到了残酷的地步，预测出“三星凌空”也无助于逃脱毁灭。

到目前为止，我们一直在用纸、笔还有计算机讨论三体问题，用的都是演绎法。

但不要忘了，科学方法里还有另一件更重要的武器：归纳法。

我们可以用观察和实验，看看实际中的三体会是什么样子。

由于在我们日常的尺度上，万有引力弱得可以忽略，只有到了天文尺度上，引力才显出它的威力，比如地球把我们拉在地上不放。

所
以，在普通的实验室里面实现三体系统是不行的。

我们只能把视线转向天空，去考察大自然为我们安排了什么样的实例。

当然，象我们已经看到的，在太阳系里，已经充分表现了限制性三体问题是有稳定解的。

但是，就基本同量级的三体又如何呢？我们可以来看看恒星。

银河系里的恒星不下一千亿颗，象太阳这样独居的恒星其实是少数。

恒星们总的来说还是喜欢热闹的。

双星的数量非常多，而且很多都已经是几十亿年的老伴侣了（比如下面要谈到的南门二A/B），等于从实验上证明了二体系统的稳定性。

而三合星也不少见，但是一般都是一对双星再搭上一个远距离的单星。

同样，更多数量恒星组成的聚星，也多是由双星和单星组合而成的。

应该说这也强烈地暗示了，大自然也认为三体系统是不稳定的。

毕竟，银河系里的三体并不是理想的三体系统，一则恒星可以相撞而合并，二来，一旦一颗恒星被抛出太远，它就可能脱离体系而主要由银河系的整体引力而控制了。

通过这两种方式，三体系统就变成了稳定的二体系统了。

当然，还有“四边形聚星”这种系统，恒星彼此质量相近，距离也都差不多。

最著名的一个例子就是猎户座大星云M42中心的四边形聚星（用5厘米左右的望远镜，放大率50～100倍就可以分辨开）。

值得注意的是，这些四边形聚星都非常年轻，比如猎户座四边形聚星，年龄就只有几百万年，对于天文学来说，这完全是婴儿期。

没有发现年老的四边形聚星，说明大自然认为这种构型也不稳定，总归会瓦解掉。

猎户座大星云M42的中心区，图中央的4颗亮星就是猎户座四边形聚星
有意思的是，N值再增大，比如N＝100级别的疏散星团或者N ＝10万级别的球状星团，又是非常稳定的力学体系了，年龄超过几十亿年乃至百亿年的这些星团比比皆是。

当然，过于密集的结果就是碰撞很多，球状星团中央就有大量碰撞后合并而成的亮星。

昴星团（M45），年龄约5000万年，算是相当年轻的疏散星团，约有100颗成员星
球状星团M13，年龄超过100亿年，成员星约有30万
半人马座α（南门二）三合星系统
毫无疑问，《三体》里面的三体人所居住的行星所在的系统的“生活原型”就是半人马座α（南门二）三合星系统。

在地球的夜空中，南门二是全天第三亮星（仅次于天狼星和老人星），视亮度达到－0.27等。

不过，对于大部分中国人来说，看到南门二的机会不大。

南门二太靠南了（赤纬－60度），考虑到光污染，北回归线以北的人不要指望能在地平线上看到它。

（红岸那个地方应该是收不到南门二的信号的，当然小说总可以引入其它机制）用不大的望远镜就可以把南门二分解成两颗亮星，两颗星的角距离在2000年时候约为14”，是我们看到的太阳的视直径的1/120不到，大概是人眼分辨率的四分之一。

而南门二的第三个成员，有名的比邻星，就不是容易看到的了。

它的亮度很暗，相当于肉眼能看到最暗恒星的百分之一，必须用相当大的望远镜才能看到。

比邻星离开两颗主星的距离也很远，视距离有2.2度，比太阳视直径的4倍还要多。

我们先简单看一下这三颗恒星的物理数值，并且和我们的太阳比较一下。

到地球距离（光年）目视星等绝对星等表面温度总光度（太阳＝1）半径（太阳＝1）质量（太阳＝1）
A：4.35 0.01 4.38 5800K 1.51 1.2 1.10
B：4.35 1.34 5.72 5300K 0.47 0.84 0.91
C：4.22 11.05 15.49 2700K 0.0017 0.19 0.11
（光度和目视亮度其实还是很有区别的，在此马马虎虎混淆一下）
明显的，比邻星离我们比两个大哥哥要近不少。

南门二是已知离太阳最近的恒星系统（距离更近而且还不被发现的可能性不大，《超新星纪元》里面那样一颗巨星实际上是躲不过天文学家的），比邻星就成了除太阳以外离我们最近的恒星。

“海内存知己，天涯若比邻”，它就得到了这么一个富有诗意的中文名字。

当然我们下面将要看到，这个名字实在不适合它，它和太阳实在是一点也不像，和“知己”相
去太远了。

南门二的老大倒是和太阳非常相似。

扯远了，回到我们这个地球上来吧。

现在，“飞星”也下山了，这次，真正的夜晚终于来临了，点点繁星洒满了夜空。

假设你熟悉星空（现在城市的孩子真可怜，银河大概从来没见过），这里的星空将是相当熟悉的，没有特别大的变化。

这也是当然的，毕竟从太阳到南门二A，我们的位置只移动了4.35个光年，并不是很大的距离。

仔细观察，有几颗醒目的亮星的位置变化不小，比如天狼星。

那是因为这些恒星离太阳的距离也很近（天狼星是8.6光年），移动4光年带来的变化就不能忽视了。

不过，最大的变化是很明显的，这里的半人马座的最亮星不见了。

哦，还想找南门二么？那两个家伙都已经下山了。

另外，这里的仙后座多了一颗光辉灿烂的黄色亮星，能排到全天十大亮星内。

不要迷惑，这颗亮星就是我们所来之处：温和而伟大的太阳。

如果你是位天文学家，想考察太阳是否有行星的话，作为从那里过来的移民，我可以告诉你，太阳最大的行星叫木星，从南门二这里看，它离开太阳的角距离最大时候也不到4"，亮度只有21等，只有太阳亮度的一亿分之一左右。

直接观测可能有些困难，但是用天体测量的方法，你应该可以发现太阳的运行轨迹有点波浪形，从而推断行星的存在。

太阳是颗温和的恒星。

它已经维持目前的亮度50亿年了，还将维持50亿年。

其亮度在这100亿年里会缓慢增加，但是不会超过一倍。

在人类有关于太阳的天文观测记载以来，在可见光区域，它的亮度改变从未超过千分之一。

南门二A，B也是这样的温和的恒星，稳定而可靠，有着漫长的寿命。

等等，不是说南门二是个三合星系统么，老三哪里去了？比邻星——南门二C实在是太暗了。

即使是现在处于南门二A的地球上，南门二C离开我们的距离只有大约0.2光年（约12000个天文单位），仍然是亮不到哪里去。

在夜空的繁星中，比邻星不过是一颗很不起眼
的暗淡的红色恒星，肉眼勉强可以看到而已。

由于表面温度太低，它的颜色是红色的，实际上，它的绝大部分能量都是以我们看不见的红外线方式发出来的。

但是，偶尔它也会突然引人瞩目。

比邻星是一颗耀星，有时候在几分钟内亮度可以突然增加几倍，变成一颗相当明亮的星星，然后又在几分钟后迅速暗淡下去。

除此之外，普通人根本不会察觉到比邻星和其它恒星有什么区别。

而天文学家们会很快注意到它的距离很近，而且运行“相当”快――大约50万年到200万年就可以绕着南门二A和B转一圈。

（偷偷说一句，不要太信任天文学家了，看看，仅仅是要他们测一个简单的周期数据，误差就可以达到4倍。

而且，还有人认为比邻星只是个过路的，根本不是南门二的一部分。

）
现在回头来看，南门二虽然是个三合星系统，但是这个三体并不复杂，因为小弟弟离得实在太远了（是老大、老二之间距离的近600倍）。

这个体系实际上是由一对很近的双星加上一个很远的单星组成的。

单星对双星的运动没有多大影响，而在处理单星的运动时，双星完全可以当成一个天体来对待。

所以这个三体，用两次二体问题就可以解决得相当好。

我们假想的地球完全可以舒舒服服过日子。

这么看来，南门二应该是一个产生生命，甚至是智慧生命的好地方。

可惜，就目前我们所掌握的观测和理论来说，这个可能性都不存在。

原因很简单，按我们目前的认识，生命总归要产生于行星之上（那些更奇妙的生物，实在是完全出于想象，就不讨论了）。

而从观测上，还没有发现南门二A/B拥有行星的任何迹象。

从行星形成理论上，南门二A/B是比较近距的双星，在恒星形成阶段，它们的引力会彼此干扰，使得尘埃和气体没有机会凝聚起来形成行星，接下来再把这些物质清扫一空。

相应的太阳系里的例子是，木星内侧的小行星带里，就没能形成一颗大行星，而木星还时不时把一些倒霉的小家伙拉过来变成卫星或者干脆吃下去。