物理海洋学概论- 运动方程式

d 0 dt dS 0 dt
for mass for salt

以上，我們有五組方程式(三個運動方程、質量守恆及鹽 度守恆)，但有六個變數(u, v, w, p, , S)要解，故仍需一 組方程式求解。 狀態方程式，描述壓力與溫度、鹽度之間的關係： =(S,T,P) 除了質量與鹽度守恆外，運動亦要求能量及渦度守恆。

其可以向量形式，較簡短表示：
du ut (V )u dt dv vt (V )v dt dw wt (V ) w dt

du u (u )u 或更簡短： dt t

簡單介紹各種不同的力： 水平壓力梯度力 (horizontal pressure gradient) - body force，整個水體能夠立即感受到的力。 - 水往低處流，由高壓流向低壓。 - du 1 p others dt x
2007.10.15

海水運動的能量來自於太陽的熱。 海水的運動：紊流、波浪引起的流、潮流、風吹流、 溫鹽環流、湧升/下沉流…等。 海流觀測：航海者回報、浮標追蹤、錨碇式觀測、 移動式觀測、水文推算、衛星推測…等。 數學是簡單用來描述海水運動的工具。




運動方程式 (Equations of Motion) 守恆方程式 (Conservation Equations) 質量守恆 (Conservation of mass) 鹽度守恆 (Conservation of salt) 渦度守恆 (Conservation of potential vorticity) 連續方程式 (Continuity Equation)

剛體與流體? 古典物理考慮單一質點，其形狀在運動過程中不會改變(剛體)，故質點運動的加速度， 簡單的可以速度對時間的變化表示： d u ຫໍສະໝຸດ u dt t表示
u u (t )
u u ( x, y, z, t )
然而，海水是個流體，在其運動過程中除了速度的變化外，還會有形狀的改變，這種 因形變所產生的加速度，必須被包括：
dv 1 p others dt y
dw 1 p others dt z
Adapted from Stewart (2005)

科氏力 - 因地球自轉而衍生的力 - 科氏力與particle相對於地球的速度成正比，若無速度則無科氏力。 - 科氏力隨緯度增加而增加，於南北兩極最大，在赤道為零。 - 科氏力作用的方向與物體運動方向垂直。在北半球，作用在運動方向的右手邊；在 南半球則相反。 - 同樣屬於body force。 du 1 p fv others dt x dv 1 p fu others dt y



位渦守恆方程式 (Conservation of Potential Vorticity)： - 渦度是只一個粒子相對於其軸旋轉的程度。 - 渦度正比於粒子的角動量。 - 順時針方向旋轉，定義為負的渦度；逆時針方向旋轉，則為正的渦度。 - 垂直方向(z)的渦度分量：

v u y x


假設海水受某種力推動後，外力突然消失，海水承受慣性力而繼續運動，此時慣性力 必須與另一例平衡，此力即柯氏力。 慣性流即為慣性力與柯氏力相互平衡作用下所產生的海流。 基本方程式：

du fv dt dv fu dt
其解的型式為：
(1) (2)



慣性流的特性 Adapted from Cushman-Roisin and Beckers (2007) - 慣性流的速率是一常數。 - 慣性流是一圓周運動，在北半球為順時針運動，在南半球則為逆時針運動。 - 此圓周運動，其運動半徑為r=c/f，半徑隨緯度增加而減少，在赤道上其半徑無限大。 - 運動週期T=2/f=12h/sin，故週期隨緯度增加而減少，在赤道上其週期無限大，在台 灣附近週期約為30小時左右，常與全日、半日潮流相混不易分別。於南海海域則清晰可見。 U2 - Rossby number： U L
6 S Bi Si ui t i 1

當流進量等於流出量 (Steady state)
Bi i ui 0
6
Bi Si ui 0
i 1
i 1 6
Adapted from Stewart (2005)

non-conservative properties (e.g. radioactive materials)
du u u u u u v w dt t x y z
現在

加速度於三個座標軸的分量，表示為：
du u u u u u v w dt t x y z dv v v v v u v w dt t x y z dw w w w w u v w dt t x y z



牛頓運動定律： - 第一運動定律 (慣性定律)：不受外力或淨力為零，物體靜者恆靜，動者衡 做等速直線運動。 - 第二運動定律：物體受力後所得的加速度，和淨力成正比，但與物體質量 呈反比。 i.e. F ma - 第三運動定律：作用力與反作用力 海洋運動最常用的定律即是牛頓第二定律。用來描述海水受力狀態，及其所 衍生運動的特性。

在上式中， - : 相對渦度 (relative vorticity)。 - +f：絕對渦度 (absolute vorticity)。 - f ：位渦度 (potential vorticity)。
H

若無摩擦力，則位渦必定守恆，i.e.
d f ( )0 dt H

在數學上，我們有六組方程式，理論上可以解六個變數。然而，實際上是無 解，主要原因有二： 一、數學非線性項 (non-linear terms) 無解； 二、對大自然，我們仍有許多未知 (如 wind stress 等)。

For homogeneous flow (=constant, s=constant)
S ( Su) ( Sv) ( Sw) [ ] t x y z
u v w 0 x y z
Adapted from Stewart (2005)

For incompressible flow ( u 0)

du 1 Fx dt
驅動海水運動的力有哪些? 重力(gravity)、壓力梯度力(pressure gradient)、科氏力 (Coriolis)、摩擦力(friction)…,以及任何你想的到的，但主要以這些力為主。

密度 x parcel 加速度 = 重力 + 壓力梯度力 + 科氏力 + 摩擦力
2 2 2 h 2 2 z 2 2 2 2 h 2 2 z 2 2 2 2 h 2 2 z 2
x 2u Az 2 z z
y z
Az
2v z 2

質量守恆 (conservation of mass)
6 Bi i ui t i 1

鹽度守恆 (conservation of salt)

若我們重寫水平方向的運動方程式，(將y方向運動方程式對x微分)減去(將x 方向分量對y微分)，則可得到一組渦度方程式： i.e.
du 1 p ( fv X ) y dt x dv 1 p ( fu Y ) x dt y


f u v Y X u v w v ( f )( ) t x y z y x y x y
Adapted from Cushman-Roisin and Beckers (2007)

摩擦力： - 屬於surface force。 - 風吹拂海面，產生波浪(waves)與海流(currents) - 摩擦力是對於波浪、海流的形成，以及帶動下層海水流動的一個重要的機制。 - 摩擦力會消耗海洋的動能並將之轉化為熱能。



摩擦力最簡單的形式可以下列表示： friction (x) = -Ju friction (y) = -Jv friction (z) = -Jw Molecular viscosity v - 牛頓流體： z :dynamic viscosity coefficient ~ 10-3 (kg m-1 s-1)。 /：kinematic viscosity coefficient ~ 10-6 (m2 s-1)。 - 分子間的摩擦係數，太小對於驅動海洋需花很長的時間，與實際的海洋狀況不符。 Eddy viscosity u u u friction (x) = A [ x y ] A z v v v A[ ] A friction (y) = x y z friction (z) = A [ w w ] A w where Ah=102 ~ 105 (m2 s-1) x y z Az=10-4 ~ 10-2 (m2 s-1) - Wind stress：
dw 1 p others dt z
where f = 2sin()，:latitude，
2 2 7.29x105 ( s 1 ) 24hrs. 1year
Adapted from Cushman-Roisin and Beckers (2007)

重力： - 重力的作用，僅對垂直方向的運動有影響。 - 重力的變化對大多數物理海洋學而言並不重要。


du F 牛頓第二運動定律：ma m dt du 1 對單一體積的fluid parcel而言： dt F

流速與力皆為向量，若考慮其在三個座標軸(x,y,z)的分量，則其對應的方程式為：
dv 1 Fy dt dw 1 Fz dt
Ro fU FL
Rossby number是慣性力與柯氏力的比值。當Rossby number小於1時，代表慣性項遠 較科氏力小，故慣性向可以省略。 因慣性項包含非線性項，省略後非線性項消失，方程式因線性化而有機會求算理論值。


艾克曼海流為摩擦力與柯氏力互相作用平衡下所產生的海流。 最典型的例子即是表層海水受風吹拂所引起的海流，亦是上層海洋最主要的海流。 極表層海水其流速大約為風速的3%，此極表層海流因水分子間磨擦力，因而帶動其下 層海水流動，但摩擦力隨深度遞減，故純由風引起的海流僅限於海洋上層數十公尺。 海水受風吹動，最初沿風向而流，但漸漸的感受到科氏力，方向因而有所偏轉。 其運動方程式及解為

為解決這個問題，常需做一些必要的假設，以便求解。


慣性流 (Inertial current) 艾克曼海流 (Ekman current) 地衡流 (Geostrophic current) 正壓與斜壓運動 (Barotrophic and Baroclinic motions) 西方邊界較強流 (Western Boundary current)
fv fu A 2u ( ) z 2 A 2v ( ) z 2
,A is eddy viscosity coefficient，constant.
6 H Bi H i ui Q t i 1

, Q is source or sink term

連續方程式 (Continuity equation)： For mass ( u ) ( v) ( w) [ ] t x y z

For salt