专题52 数列通项结构的应用-高考数学压轴题(选择、填空题)(新高考地区专用)

专题52数列通项结构的应用
【方法点拨】
1.数列{a n }是等差数列⇔a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数).
2.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).
3.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1，公差为{a n }公差的12
.4.两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和S n 、T n 之间的关系为1
212--=n n n n T S b a .5.两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若D Cn B An T S n n ++=，则D m C B n A b a m n +-+-=)12()12(.【典型题示例】
例1n S 是公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列也是等差数列，则1a =________.
【答案】1-或3
【分析】用特殊值法，也可直接抓住等差数列的结构特征解题.
【解析一】（特殊值法）由题意211(1)2(1)2n n n S na n a n -=+
⨯=+-，
∵数列是等差数列
∴=，=，
解得11a =-或13a =，
11a =-1n ==-，13a =1n ==+，均为n 的一次函
数，数列是等差数列，
故1a 的值为－1或3.
【解析一】（特殊值法）由题意211(1)2(1)2n n n S na n a n -=+
⨯=+-，
∵数列是等差数列
=
必为关于n 的一次式，即21(1)+1n a n +-是完全平方式∴21(1)40
a --=解之得11a =-或13a =（下同解法一）．
例2已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S
等比数列，则q =．
【答案】2
【解析】因为{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列．
所以()
1122221111n n n n a q q q S q q q q
---===+----．222112n n q q S q
=++-+-
-{}2n S +也为等比数列．所以2201q
+=-，即2q =．点评：等比数列通项的结构特征是：(0)n n a Aq A q =≠、.
例3已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是
.【答案】5
【解析】根据等差数列前n 项和的公式不难得到：2121(21)7(21)45719(21)(21)31
n n n n n n a n a A n n b n b B n n ----++====--++（﹡）
（﹡）式是一个关于n 的一次齐次分式，遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”——即将该分式逆用通分，将它转化为分子为常数，只有分母中含有变量n 因为7197(1)12127111
n n n n n +++==++++所以，要求使得
n n a b 为整数的正整数n ，只需1n +为12的不小于2的正约数所以12,3,4,6,12
n +=例4已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2014，S 20142014－S 20082008
＝6，则S 2020等于________.
【答案】2020
d ，
则S 20142014
－S 20082008＝6d ＝6，∴d ＝1，且首项为S 11＝－2014.故S 20162016＝S 11＋2015d ＝－2014＋2015＝1，∴S 2020＝1×2020＝2020.
【巩固训练】
1.记等差数列{a n }的前
n 项和为n S ，已知12a =，且数列也为等差数列，则13a =.
2.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22，数列{b n }满足b n ＝
S n
n ＋c （其中c ≠0），若{b n }为等差数列，则c 的值等于________.
3.设等比数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有314
n n n S T +=，则33a b 的值为________.
4.设n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，已知2142
n n S n T n +=-，*n N ∈，则1011318615a a b b b b +=++．。