希望杯 级 题

第十五届（2017年）小学“希望杯”全国数学邀请赛
四年级培训题
1．计算 :2017×2071+2077×2017－2037×2017－2111×2017.
2．计算：9999×2222 +3333×3334.
3．比较大小：A =2016×2018，B =2017×2017，C =2015×2019.
4．定义新运算⊗：a ⊗b =a b b ...b ⨯⨯⨯个
，求（1⊗4）⊗（2⊗3）．
5．一个自然数，各个数位上的数字之和是74，这个数最小是多少？
6．一个三位数被3除余1，被5除余3，被7除余5，这个数最大是多少？
7．一个整除算式，被除数比商大126，除数是7，求被除数．
8．一个三位数，它的各位数字之和是20，十位数字比个位数字大1，如果将百位数字与个位数
字对调，得到的三位数比原三位数大198，求原数．
9．在从1开始的n个连续的自然数中，去掉其中的一个数，余下各数的和是2017，求去掉的数．10．若干个数的平均数是17，加入一个新数2017后，这组数的平均数变成21，原来共有多少个数？11．用2，0，1，7这四个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
12．已知a，b，c是三个质数，且a<b<c，a+b×c=93，求a，b，c.
13．a，b，c是彼此不同的非0自然数，若a+b+c=6，求四位奇数aabc中最小的那个.
14．a，b，c是彼此不同的非0自然数，若a+b+c=6，求四位数aabc中最大的那个．
15．三位数abc是质数，a，b，c也是质数，cba是偶数，ab是5的倍数，求三位数abc. 16．求被7除，余数是3的最小的三位数.
17．求被7除，余数是4的最大的四位数．
18．将分别写有数字3，7，8的三张卡片排成三位数abc，使它是43的倍数，求abc. 19．已知a，b，c是不同的质数，且三位数abc能同时可被3，7整除，求abc．
20．用写有2，3，5，7的四张纸片可以排成多少个小于1000的质数？
21．四位数abbc可被两位数ac整除，若a<c，a+c=5，求b．
22．在下面的算式里加上一对括号，使算式成立．
1×2×3+4×5+6+7+8+9=100.
23．在等号左边添上适当的运算符号、括号，使等式成立．
9 9 9 9=8．
24．从1至9的自然数中选择8个数填入下面的方框中，使得计算结果尽量大，那么这个结果最大是多少？
25.在图1的算式中，A，B，C，D代表0～9中四个各不相同的数字，且
A是最小的质数，求四位数ABCD.
26．在如图2的算式中，“希”、“望”、“杯”三个字分别代表0～9中三
个不同的数字，求“希望杯”代表的数．
27.a，b，c，d，e都是自然数，且0<c<b<a<d<e≤9，若如图3的算式成立，
求abc.
28．求20169
201692016999...999...9199...9⨯+个个个末尾有多少个0?
29．求22010+ 32011+ 42012+ 52013+ 62014+72015的末位数字．
30．根据下面一列数的规律，求第2017个数．
2，4，6，8，10，…．
31．找规律，填数：
1，1，2，3，5，8，13，21，（ ），（ ），（ ），…
32．把数字1～12填到图4的圆圈中，使每个圆上的数字之和相等.
图4
33．同一平面内的2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，10条直线最多有多少个 交点？
34.按照规律，写出上、下两条横线上应填的数．
35．如图5，观察前面两个正方形中数之间的关系，根据规律求第三个正方形中“？”代表的数．
36．正方体骰子上l和6相对．2和5相对.3和4相对，把它放在水平桌面上（如图6）．将骰子向
右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换（如图7），若骰子的初始位置为图6．那么完成23次变换后，朝上一面的数字是什么？
37．有一串数字，任何相邻的4个数之和都是22，若从左边起第2，5，12个数分别是3，7，8，求第11个数．
38．小伟和小明交流暑假中的活动情况，小伟说：“我参加了夏令营，外出一个星期，这七天的日期数之和是84.”小明说：“我假期到舅舅家住了七天，日期数的和再加月份数也是84.”那么，小伟出发的日期和小明回家的日期分别是几号？
39．某个月中星期一多于星期二，而星期日多于星期六，那么这个月有多少天，这个月的5号是星期几？
40．6位同学数学考试的平均成绩是93分，他们的成绩是互不相同的整数，且最高分是99分，最低分是75分，求按分数从高到低居第三位的同学的得分．
41．为了表扬好人好事，需核实一件事，厂方找了A，B，C，D四人．
A说：“是B做的．”
B说：“是D做的，”
C说：“不是我做的．”
D说：“B说的不对．”
若这四人中只有一人说了实话.问：这件事是谁做的．
42．晶晶家门牌号码满足：
（1）若是4的倍数，则它就是60～69中的数；
（2）若不是5的倍数，则它就是70～79中的数；
（3）若不是8的倍数，则它就是80～89中的数．
求晶晶家的门牌号码？
43.数一数，图8中有多少个三角形？
44.数一数，图9中包含“☆”的长方形（包含正方形）有多少个？
45.数一数，图10中有多少个三角形？
46．数一数，图11中有多少个长方形（包含正方形）？
47.数一数，在图12中的不同位置可以画出多少个图13所示的图
形？（方向可以旋转）
48．图14由10个相同的小正方形组成，请用三种方法把它分割成两个大小相等、形状相同的部分（沿图中的线分割）．
49.将图15中的O分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻O
涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？
50．小聪学玩魔方，向小笨拜师学艺，小笨首先出了一道题考他，从图16的四个图形中，每个小
正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么下列4个展开图有几个是正确的？
51．从图17中任意选择四个点，可组成多少个不同的正方形？（不同的点组成的正
方形视为不同的正方形）
52．有5根小木棒的长度分别为1cm，1cm，2cm，3cm，5cm.从中任取3根，不同的长度和有几种？
53．一个长方形的长和宽都是整数，且它的面积和周长恰好在数值上相等，那么长方形的长和
宽分别是多少？（不需写过程）
54．如图18，已知AD=100，BD=65，AC=75．求BC.
55.如图19，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图甲中
的正方形面积为48平方厘米，求图乙中的正方形面积.
56.两个边长为8厘米的正方形如图20重叠，若图中阴影部分的面积为24厘
米，那么所拼成的大长方形周长是多少厘米？
57．图21中的正六边形被分为12个相同的小三角形，每个小三角形的面积为1．问：图中面积
等于3的梯形有多少个？
58．图22中有20个相同的小三角形，它们的面积都是l，问图中面积为3的梯形有多少个？
59．图23的3个图中，网格小正方形的边长都是1，求各图中阴影部分的面积.
60.如图24，从边长是8的正方形上裁掉两个边长是2的正方形和两个腰长是4
的等腰直角三角形，求余下部分的面积．
61．一张长方形纸片，长是10厘米，宽是7厘米．把它的右上角往下折叠，如图25所示，再把左下角往上折叠如图26所示，求未盖住部分（阴影部分）的面积．
62．一个长方形，若长增加3，宽增加2，则面积增加33;若长增加1，宽增加3，则面积增加26，求原长方形的周长．
63.如图27，在长是12的线段上画两个正方形，已知两个正方形的面积的差是
48，求其中大正方形的面积．
64.如图28，长方形边长是12，宽是6．把长分成三等份，宽分成两等份，再将
长方形内某点与分割点连接，求阴影部分面积．
65．在一条直路的一侧等距离地植了128棵树，路的两端都有树．若第3棵树和第7棵树相距20
米，求这条路的长．
66．有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续2秒且每两次敲响的时间间隔相同，如果敲响5下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要26秒．现在敲响10下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多少秒？
67．楠楠6岁时，爸爸36岁，再过多少年，爸爸的年龄是楠楠年龄的4倍？
68．今年父亲的年龄是兄弟年龄和的2倍，是兄弟年龄差的8倍．父子三人年龄和是48岁，长兄
和弟弟今年各几岁？
69．今年，李林和爸爸的年龄的和是50岁，5年后，爸爸的年龄比李林年龄的3倍小4岁，爸爸比
李林大几岁？
70．妈妈像女儿这样大时，女儿才两岁，当女儿长到妈妈现在这样大时，妈妈86岁，求妈妈现在
的年龄．
71．两棵树上一共有25只鸟，先是左边树上的鸟有一半飞到了右边树上，然后右边树上的8只
鸟又飞到了左边树上，这时左边树上的鸟比右边树上多3只．请问最开始左边树上有几只鸟？
72．有甲、乙、丙、丁四个书库，共有图书24000本．从甲书库调运1500本书到乙书库，然后从乙
书库调运1800本书到丙书库，再从丙书库调运2200本书到丁书库，最后从丁书库调运1700本书到
甲书库．此时，甲、乙、丙、丁书库的图书数量相等，求甲书库原来有图书多少本？
73．小肯同学去肯德基用餐，先买了一份“豪华午餐”，吃完后又买了一个“脆皮甜筒”，一共花了
180角，若以角计费，“豪华午餐”的价格末尾有个0，如果把0去掉，正好是“脆皮甜筒”价格的一半，两样各花了多少元？
74．一桶油连桶重19千克，用了一半油以后，再连桶一称，共重12千克．求原来油和桶各重多少？
75．小笨和小聪练习打字．两分钟内．小笨比小聪多打l9个字，又比小聪的3倍多7个字．问：两
分钟内，小聪和小笨分别打了多少字？
76．小笨和小聪买了60包方便面，小聪比小笨每周少吃4包，二人恰好用了6周吃完了所有的
方便面．求小笨每周吃多少包方便面？
77．甲、乙、丙三数之和为177，乙比丙的两倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数．
78．某单位请小王临时帮忙，规定12天报酬是人民币660元和一个MP4播放器．可是小王工作了七天后，因有急事不能继续，结果这个单位根据每天平均值给小王一个MP4播放器和人民币150元．问：一个MP4播放器价值多少元？
79．小明今年得压岁钱1650元，比小亮的2倍少150元，求小亮今年得压岁钱多少元？
80．麦当劳餐厅推出“夏日冰饮第二杯半价”活动．贝贝同学买了2杯“麦旋风”，共花了18元．
那么一杯“麦旋风”原价多少元？
81．小王对小李说：“你给我100元，我的钱是你的2倍．”小李对小王说：“你给我20元，我的钱
是你的5倍．”原来两人各有多少钱？
82．小明、小刚和小丽为灾区儿童捐书，小明比小刚多捐了7本，小刚比小丽多捐了13本，小明
捐的本数是小丽的3倍，求三人一共捐了多少本书？
83．A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余下的三个数求平均数，这样计算了4次，得到下面四个数：23，26，30，33求A，B，C，D的平均数．
84．有一群小朋友分一堆苹果，如果减少1人，每人可分得8个；如果增加2人，每人可分得6 个，求实际有多少个小朋友？
85．有一群小朋友分一堆苹果，如果每人分5个，就会剩下4个苹果，这时离开了3个小朋友，那么每人分6个还会剩4个．那么原来一共有多少个苹果？
86．张丽正在读一本181页的故事书，可是她不小心把书合上了，只记得刚读完的连续两页页
码之和为81，如果张丽每天读30页，那么剩下的几天能读完7
87．小华有8个练习本，小明有7个练习本，小强没有，他付了10元从小华和小明购买了一些
后，三人有相同数量的练习本，若每个练习本的价格都相同，则小华应得几元钱？
88．甲、乙、丙3人手机都使用了“畅聊卡”，并获得了赠送一个月基础话费的优惠，一个月后三
人均超过了基础话费，甲付了70元，乙付了50元，丙付了30元.3人通话时长共计90小时，如果一个人通话90小时，要付350元，那么丙通话了多少小时？
89．运1200吨水泥，甲、乙两个车队共同运输需要运30次，若甲车队每次可比乙车队多运10
吨，则甲车队独立运输需要运几次？
90．一个牧民年初买了一头母羊，每年能生2只公羊，4只母羊，每只小母羊两年后，每年又可以
生6只羊，其中2只公羊，4只母羊，这样从今年开始到第3年底，一共有多少只羊？
91．小明家2013年初买了一头母羊，每年春天生2只公羊和3只母羊，每只小母羊从第三年头
起，每年春天生2只公羊和3只母羊．那么从2013年开始到2017年夏天，小明家共有只羊？
92．有一根木棍上有两种刻度，第一种刻度将木棍分成10等份，第二种刻度将木棍分成12等
份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，请问木棍共被锯成多少段？
93．和尚分馒头：100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个，小和尚每3个人分1个，刚好分完，大、小和尚各有多少人？
94．3名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3个同学都回答了所有的问题，小笨得了87分，小聪得了74分，香香得了9分，问，他们一共答对了几道题？
95．今有鸡兔同笼，有33个头，有108只脚，求鸡和兔各多少只？
96．两列火车同时从北京和沈阳相对开出，从北京开出的火车每小时行59千米，从沈阳开出的
火车每小时行64千米，6小时后两车相遇．北京到沈阳的铁路线长多少千米？
97．南京长江大桥是新中国第一座自己设计，建造的铁路、公路两用桥，清晨，一列长228米的
火车，以每秒20米的速度通过南京长江大桥，共用了350秒．那么桥的全长是多少米？
98．甲、乙两人分别从A、B两地同时以30千米／时、20千米／时速度相向而行，相遇后继续前行各自到达B、A两地后立即返回，到第二次相遇时相遇点，该点离第一次相遇点40千米，求A、B两地相距多少千米？
99．红红和明明的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，红红每分钟走65米，明明每分钟走55米，3分钟后两人相距多少米？
100.甲、乙两地是一条电车线路两端的发车站，每隔一定时间两站同时发出一辆电车，每辆电车每隔4分钟都会遇到一辆迎面开来的电车，上午10点时，小明、小强两人分别从甲、乙车站同时出发，相向而行，小明每5分钟遇到一辆迎面开来的电车，小强每6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需42分钟，求小明和小强相遇的时刻？
答·提示
1．原式=2017×（2071+ 2077－2037－2111）
=2017×（2071+ 2077－2037－2111）
=0.
2．9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222 +3333×3334
=3333×（3×2222）+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
=3333×（6666+3334）
=33330000.
3．A=2016×（2017 +1）=2016×2017+2016；
B=2017×（2016 +1）=2016×2017+2017；
C=2015×2019=（2016－1）×2019
=2016×2019－2019
=2016×（2017+2）－2019
=2016×2017+2016×2－2019
=2016×2017+2013；
可知A=2016×2017+2016，B=2016×2017+2017 ，C=2016×2017+2013，
故B>A>C．
4．1⊗4=4，
2⊗3=3×3=9，
（1⊗4）⊗（4⊗3）=4⊗9=9×9×9×9=6561.
5．要使这个数最小，就要使它的数位尽可能少，即每个数位上的数尽量大. 因为每个数位上的数最大是9，且
74÷9=8……2，
所以最多有8个数位上是9，这时应有一个数位上的数是2，
要使这个数最小，2应该在最高位，
即这个数最小是299999999.
6．由题意可知，这个数加上2以后能同时被3，5，7整除．
因为105×9=945 ，105×10=1050，
945－2=943，1050－2=1048，
所以这个数最大是943.
7．因为被除数÷7=商，
所以被除数是商的7倍，于是126（被除数－商）是商的（7－1）倍，
所以商=126÷（7－1）=21．
可得被除数是7×21=147.
8．设原数的个位数字是a，则十位数字是a+l，百位数字是19－2a.
根据题意
100a +10（a+1）+19－2a－100（19－2a）－10（a +1）－a=198，
所以a=7，
则a+l=8，
19－a=5，
所以原来的三位数是587.
9．因为去掉一个数后，余下各数的和是2017，
所以从1开始的n个连续的自然数的和要大于2017，
从1开始的连续若干个自然数的和等于（1+最大数）×个数÷2，
验算可知，当n=63时，（1+63）×63÷2=2016<2017，（不符合）
当n=64时，（1+64）×64÷2=2080，（符合）
2080－2017=63，
所以去掉的数是63.
10.根据平均数的定义，若增加的数是17，那么这组数的平均数不变，
2017－17=2000，
2000使这组数（包括增加的数）的平均数增加（21－17），则这组数的个数是
2000÷（21－17）=500，
500－1=499．
所以原来共有499个数，
另解设原有x个数，则17x2017
21
x1
+
=
+
，
解得x=499，即原来共有499个数．
个位为2的有4个：1702，7102，1072，7012.
故可以组成10个没有重复数字的四位偶数．
12.因为a+b×c=93，所以a和b×c是一个奇数和一个偶数，
而b和c是大于2的质数，所以b×c是奇数，a为偶数，
因此a=2．
所以b×c =93－2=91=7×13，
于是b=7，c=13.
13.因为a，b，c是彼此不同的非0自然数，且a+b+c=6，
所以这三个数只能是1，2，3，由1，2，3构成的aabc型的奇数有：
1123 ，2213，2231，3321，
比较可知最小aabc=1123.
14.同第13题，可得aabc的最大值=3321.
15.因为cba是偶数，a是质数，所以a=2．
因为ab是5的倍数，b是质数，所以b=5．
因为c也是质数，所以abc=257或253.
但是253=11×23，不是质数，
所以abc=257.
16.由100÷7=14……2，知（100 +1）÷7=14……3，
故被7除余数是3的最小的三位数是101.
17.由9999÷7=1428……3，知（9999－6）÷7=1427……4，
故被7除，余数是4的最大的四位数是9993.
18.用写有3，7，8的三张卡片可排成6个不同的三位数：
783，873，387，837，378，738.
验算知仅有387是43的倍数．
19.由abc是3的倍数，且a，b，c是不同的质数，知a，b，c可能是
（1）2，3，7；或（2）3，5，7
当（1）成立时，可能是237，273，327，372，732，723，经验算，均不合条件，
当（2）成立时，可能是357，375，537，573，735，753，经验算，知道abc=357或735.
20.1位的有：2，3，5，7，4个；
2位的有：23，37，53，73，4个；
3位的有：257，523，2个．
共 4+4+2=10（个）．
21.依题意，知a =l ，c =4或a =2，c =3．
若a =l ，c =4，则abbc =1bbc 1004110b,ac =+=14，
1004110b 56b abbc ac 717b 147
++÷==++， 5+6b 应是7的倍数，可知b =5，
此时 abbc ac 155414÷=÷=111.（成立）
若a =2，c =3，则218b abbc ac 2bb32323
+÷=÷=（87+4b ）+. 2 +18b 应是23的倍数，可知b =5．
此时 abbc ac 255323÷=÷=111.（成立）
综上可知，b =5．
22.1×2×（3+4）×5+6+7+8+9=100.
23.（9×9－9）÷9=8．
24.要使运算结果最大，除号和减号后的数应尽量小，试算可得
9÷1×（8+7）－2×3－4+6=131，
结果最大是131.
25.因为A 是最小的质数，所以A =2，乘积的千位是2，
因此C 只能是1且D 不能为0，
在1～9中与自己相乘个位不变的数字只有1，5，6，
而A ，B ，C ，D 各不相同，
因此D 不能为1．
分别试5和6可以发现D 只能为6，B =0， 四位数ABCD 为2016.
26.若“希”表示的数比1大，则希望杯>200，希望>20，
于是 希望杯×希望> 4000，
与竖式矛盾，所以 “希”=1.
于是竖式可以写成
因为 c +“杯”=“杯”，
所以 c =0，
因为 b + “望”=“望”，
所以 b =0，
故 a =1，，
由且159×5=795<1000，170×7=1190>1002，
可知“望”表示的数只能是6，
由末位数字是2，可知“杯”表示的数可能是2或7，
验算可知，7符合题意，所以“希望杯”表示的数是167.
27.由算式结果的百位和千位都是1，可知a =5，
因为 0<c <b <a <d <e ≤q ，
所以要使题设的算式成立只能是 c +e =11，b +d =10，
若c =3，则b =4，d =6，e =8；
若c =2，则b =4（或3）．
综上可知abc =543或542或532.
28．原式=2016020160
100...01100...01200...01-⨯-+-个个（）
=2016020160
020160100...0100...0100...0200...011--++-个个4302个个，
因此原式末尾有4032个0．
29.22010=（24）502×22=l 6502×4，末位数字是4；
32011=（34）502×33=81502×27，末位数字是7；
42012=（42）1006，末位数字是6；
52013，末位数字是5；
62014，末位数字是6；
72015=（74）503×73，末位数字是3；
4+7+6+5+6+3=31，
故求22010+ 32011+ 42012+ 52013+ 62014+72015的末位数字是1．
30.观察这一列数发现：第一个数是1的2倍，
第2个数是2的2倍，
第3个数是3的3倍，
…
由此规律，第2017个数为2017×2=4034．
·31.观察发现，从第3个数起，每个数都等于它前面两个数的和．
2=1+1，3=1+2，5=2+3，…，
由此可知13+21=34，21+34=55，34+55=89，
所以21后面的三个数分别是34，55，89.
32.本题答案不唯一，最容易想到的方式便是将1～12分成6组：
（1，12），（2，11），（3，10），（4，9），（5，8），（6，7），
然后依次填人圆圈中，如图29．
图29
33.每增加一条直线，这条直线最多和前面的直线分别有一个交点，所以10条直线的交点最多有1+2+3+4+…+8+9=45（个）．
34.观察发现每个数都等于所在的行数×在这一行的序号，
两个数分别是第5行的第4个和第6行的第4个，
5×4=20，6×4=24，
所以两条横线上的数分别是20和24.
35．观察发现，2×7=5+9，3×4=3+9，
即右上×左下=左上十右下，
因此问号处应该填3×5－6=9．
36.由图知，第1次变换后朝上一面的数字是5，根据第一次变换，得第二次变换后朝上一面的数字是6，如图30，
第三次变换后朝上一面的数字是3，如图31，
此时骰子又回到起初的位置，继续变换，每3欢变换后，骰子都会回到起始位置，
23÷3=3……2，
所以23次变换后，朝上一面的数字和第2次变换后朝上一面的数字相同，即朝上一面的数字是6．
37.因为任何相邻的4个数之和都相等，所以4个数字是一个循环．
又因为从左边起第2，5，12个数分别是3，7，8，
所以从左边起第9，10，12个数分别是3，7，8，
则第11个数是22－3－7－8=4.
38.连续的7天代表7个连续自然数，
84÷7=12，12－3=9，
所以小伟出发的日期为9号，
因为是暑假里的活动，所以只能是7或者8月，经试验，7月份合理，
第四天的日期为（84－7）÷7=11，11+3=14.
所以小亮是14号回家的．
39.星期一多于星期二，说明最后一天是星期一；
星期日多于星期六，说明第一天（也就是1号）是星期日，
那么这个月的5号是从星期日向后推4天，是星期四；
因为这个月除了整个星期外，还多出一个星期日和一个星期一，因此总天数除以7余2，因此只能是30天．
40.6位同学的总分为93×6=558（分），
所以去掉最高分和最低分后，其余四位同学的成绩之和是
558－99－75=384（分），
因为384÷4=96（分），
结合最高分是99分且6位同学的成绩是互不相同的整数，可知余下四人的成绩只能是：98，97，95，94，所以按分数从高到低居第三名的同学得分为97分．
41.通过四个人的回答可知，B和D的说法互相矛盾，这两个人必定有一人说了实话，一人说了
谎话，而四人中只有一人说了实话，所以A和C说的都是谎话，则好事是C做的．
42.由（1）知，若这个教是4的倍数，则符合要求的数是60或64或68，但60和条件3矛盾，64，68和条件2矛盾，所以这个数不是4的倍数，进而也不是8的倍数，由条件（3）知，这个数在80～89 中，再结合条件（2）这个数是5的倍数，故所求的数是85.
43.图中共有大小三种三角形．
（1）最小的三角形有8个；
（2）两块区域拼成的三角形有4个；
（3）面积为总面积一半的三角形有4个；
所以三角形的总数为8+4+4=16（个）．
44.“☆”的上面3条线，“☆”的下面4条线，“☆”的左边3条线，“☆”的右边4条线．
包含“☆”的长方形有3×4×3×4=144（个）．
45.独立的小三角形有5个，由2部分组成的三角形有8个，由3部分组成的三角形有6个，由4
部分组成的三角形有3个，由6部分组成的三角形有4个，由9部分组成的三角形有1个．
所以三角形的数数为5+8+6+3+4+1=27（个）．
46.这个图形中，不仅有由横、竖线段构成的长方形，还有由斜线段构成的长方形，所以，长方形
可分为两类．
（1）由横、竖线段构成的正着的长方形共有：
（1+2）×（1+2+3）+（1+2+3+4）－（1+2）=25（个）．
（2）由斜线段构成的斜着的长方形其有：
（1+2+3）×（1+2+3）=36（个）．
所以共有长方形25+36=61（个）．
47.每个2×2的正方形可以画出4个，共有5个这样的正方形，中间图形的拐角处也可以画一
个，所以一共可以画4×5 +1=21（个）．
·25·
48．如图32.
49.如图33，当A，B，C，D的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色
就确定了，所以只需求A，B，C，D有多少种不同涂法，按先A，再B，C，后D的顺序
涂色，
按A-B-C-D的顺序涂颜色．
A有3种颜色可选；
当B，C取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D也有2种颜色可选，不同的涂法有
3×2×2=12（种）；
当B，C取不同的颜色时，B有2种颜色可选，C仅剩1种颜色可选，此时D也只有1种颜色可选（与A相同）．
所以不同的涂法有3×2×1×1=6（种）．
12+6=18．
所以共有18种涂色方法．
50.我们帮小聪思考一下究竟哪些基本图形可以形成对面．
经观察我们很容易发现，这些基本图形如图34.
于是我们可以发现，第三幅图红色和绿色成了对面，是错误的．所以正确的图形一共有3个．
51.这个问题可分类讨论：
由43×3=9个；
由5个格点组成的正形共有2×2=4个；
由9个格点组成的正方形共有2×2=4个；
由8个格点组成的正方形共有2个；
由16个格点组成的正方形只有1个．
所以任取四个点可组成正方形9+4+4+2+1= 20（个）．
52.以5根小木棒中每次取3根，有10种取法，由于有两个lcm，实际上只有7种结果，木棒的长度分别为：1，1，2;1，1，3;1，1，5;1，2，3;1，2，5;1，3，5;2，3，5．（单位：cm）
其长度和依次为4，5，7，6，8，9，10共有7种不同的长度值-
53.3×6=2×（3+6）或4×4=2×（4十4），
长方形的长和宽可以是3，6或4，4．
54.BC=AC–AB=AC–（AD–BD）
=75–（100–65）= 40．
55.很明显两图中的正方形大小不等．如图35：
把图甲分割成9个完全相同的小三角形，把图乙分割成4个完全相
同的小三角形．
因为图甲中面积为48平方厘米的正方形中的正方形由4个小三角
形构成，
所以大三角形的面积是48÷4×9=108（平方厘米），
图乙中的正方形面积是108÷2=54（平方厘米）．
56.重叠部分长方形的宽为24÷8=3（厘米），
大长方形的周长为（8×2－3+8）×2=42（厘米）．
57.以正六边形每边中点为1个顶点，并且面积为3的梯形有2个（如图36阴影部
分），因为中点有6个，所以面积等于3的梯形有
6×2=12（个）．
58．结合57题，知有12 +4=16（个）．
59.每个，小方格的面积是1，可以用数方格的方法求面积：
图1中阴影部分的面积为8－3－1－1=3；
图2中阴影部分的面积为6－1－1.5－0.5=3；
图3中阴影部分的面积为6－1－1－1=3．
60.两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形，其面积是
4×4=16．
所以余下图形的面积是8×8-2×2×2－16=40.
61.解法1 阴影部分是一个长方形，它的长是7－（10－7）厘米，宽是（10－7）厘米，
所以阴影部分的面积是[7－（10－7）]×（10－7）=12（平方厘米）．
解法2 阴影部分的面积是从大长方形中去掉两个正方形，正方形的边长分别是7厘米和（10 －7）厘米，所以阴影部分的面积是
7×10－7×7－（10－7）×（10－7）=12（平方厘米）．
62.由已知，可列以下等式
（长+3）×（宽+2）－长×宽=33，
（长+1）×（宽+3）－长×宽=26，
可得长×2+宽×3=27，①
长×3+宽=23，②
①×2+②，得7（长十宽）=77，
所以长方形的周长为2（长十宽）=22.
63.按图37方式割补，两个正方形的面积差就是左侧长方形的面积，于是小正方形的边长是（12－48÷12）÷2=4，
大正方形的边长是12－4 = 8，
于是大正方形的面积是8×8 = 64.
64.如图38，可沿OA，OB，OC，OD将图形分成四个区域．
不难知道其中上下两个区域的面积和为总面积的一半，左右两个区域的面
积和也是总面积的一半，
长方形的面积为12×6÷2=36.
上下两个区域中，阴影面积占三分之一；左右两个区域中，阴影面积占二分之一.
因此阴影部分的总面积为36÷3+36÷2=30.
65.从第3棵树到第7棵树，中间有4个间距，所以相邻两棵树之间的距离是
20÷4=5（米）．
因为路的两端都有树，所以128棵树之间有127个间距，
于是路的长是127×5=635（米）．
66.如果敲5下，则中间的间隔数为5－1=4（次），
间隔的时长为（26－2×5）÷4=4（秒），
现在敲10下，有间隔10－1=9（次），
一共需要10×2+9×4=56（秒）．
67.楠楠和爸爸的年龄差是36－6=30，
这个差不随年龄的增长发生变化，所以当爸爸的年龄是楠楠年龄的4倍时，
楠楠的年龄是30÷（4－1）=10（岁），
10－6=4，
所以再过4年，爸爸的年龄是楠楠年龄的4倍．
68.兄、弟年龄和=48÷（2+1）=16（岁），
兄、弟年龄差=16×2÷8=4（岁），。