北师大版版高考数学一轮复习计数原理概率随机变量及其分布二项式定理教学案理解析版

[考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
１．二项式定理
（１）二项式定理：（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n—１b＋…＋C错误!a n—r b r＋…＋C错误!b n （n∈N*）；
（２）通项公式：T r＋１＝C错误!a n—r b r，它表示第r＋１项；
（３）二项式系数：二项展开式中各项的系数C错误!，C错误!，…，C错误!.
２．二项式系数的性质
（１）0≤r≤n时，C错误!与C错误!的关系是错误!.
（２）二项式系数先增大后减中间项最大
当n为偶数时，第错误!—１项的二项式系数最大，最大值为C错误!n；当n为奇数时，第错误!项
和错误!项的二项式系数最大，最大值为
错误!
１．C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝２n.
２．C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝２n—１.
[基础自测]
１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（１）C错误!a n—k b k是（a＋b）n的展开式中的第k项．（）
（２）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（）
（３）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（）
（４）通项T k＋１＝C错误!a n—k b k中的a和b不能互换．（）
[答案] （１）×（２）×（３）√（４）√
２．（教材改编）（１—２x）４展开式中第３项的二项式系数为（）
Ａ．6 Ｂ．—6
Ｃ．２４Ｄ．—２４
A[（１—２x）４展开式中第３项的二项式系数为C错误!＝6．故选Ａ．]
３．（教材改编）二项式错误!５
的展开式中x ３y ２的系数是（ ） Ａ．５ Ｂ．—２0 Ｃ．２0 Ｄ．—５
A [二项式错误!５
的通项为T r ＋１＝C 错误!错误!
５—r
（—２y ）r .根据题意，得错误!解得r ＝２．所
以x ３y ２的系数是C 错误!错误!３
×（—２）２＝５．故选Ａ．]
４．（教材改编）错误!的值为（ ） Ａ．１ Ｂ．２
Ｃ．２ 0１9
Ｄ．２ 0１9×２ 0２0
B [原式＝错误!＝错误!＝１．故选Ａ．]
５．（１＋x ）n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________. １0 [∵T 6＝C 错误!x ５，又仅有第6项的系数最大，∴n ＝１0．]
二项展开式的有关问题
【例１】 （１）（x ２＋２）错误!５
的展开式的常数项是（ ） Ａ．—３ Ｂ．—２ Ｃ．２
Ｄ．３
（２）（２0１8·广州二模）错误!6
的展开式中，x ３y ３的系数是________．（用数字作答）
（１）D （２）—１２0 [（１）能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x ２项，第二个因式取错误!项得x ２×错误!×C 错误!（—１）４＝５；第一个因式取２，第二个因式取（—１）５得２×（—１）５×C 错误!＝—２，故展开式的常数项是５＋（—２）＝３，故选Ｄ．
（２）错误!6
表示6个因式x ２—错误!＋y 的乘积，在这6个因式中，有３个因式选y ，其余的３个
因式中有２个选x ２，剩下一个选—错误!，即可得到x ３y ３的系数．即x ３y ３的系数是C 错误!C 错误!×（—２）＝２0×３×（—２）＝—１２0．]
[律方规法] 求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋１＝C 错误!a n —k b k 的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围（k ＝0,１,２，…，n ）．
（１）第m 项：此时k ＋１＝m ，直接代入通项；
（２）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； （３）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
（４）求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦．
6Ａ．±２ Ｂ．错误! Ｃ．—２
Ｄ．±错误!
（２）已知在错误!n
的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________．
（１）A （２）错误!x ２，—错误!，错误!x —２ [（１）错误!6
的展开式的通项为T r ＋１＝C 错误!（x
２）6—r 错误!r
＝C 错误!错误!r x １２—３r ，令１２—３r ＝0，得r ＝４．故C 错误!·错误!４
＝错误!，即错误!
４
＝错误!，解得a ＝±２．故选Ａ．
（２）由T r ＋１＝C 错误!·（错误!）n —r ·错误! r
＝错误!r
C 错误!·x 错误!.
∵第6项为常数项，∴r ＝５时有错误!＝0，即n ＝１0．
当错误!时，即r ＝２,５,8时错误!∈Z ，
所以展开式中的有理项分别为错误!x ２，—错误!，错误!x —２.] 二项式系数的性质及应用
►考法１ 二项式系数的和
【例２】 （１）在错误!n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为３２∶１，则x ２的系数为（ ）
Ａ．５0 Ｂ．70 Ｃ．90
Ｄ．１２0
（２）（２0１9·汕头质检）若（x ＋２＋m ）9＝a 0＋a １（x ＋１）＋a ２（x ＋１）２＋…＋a 9（x ＋１）
9，且（a
0＋a ２＋…＋a 8）２—（a １＋a ３＋…＋a 9）２＝３9
，则实数
m 的值为________．
（１）C （２）—３或１ [（１）令x ＝１，则错误!n
＝４n ，所以错误!n
的展开式中，各项系数和为４n ，又二项式系数和为２n ，所以错误!＝２n ＝３２，解得n ＝５．二项展开式的通项T r ＋１＝C 错误!
x ５—r 错误!r
＝C 错误!３r x ５—错误!r ，令５—错误!r ＝２，得r ＝２，所以x ２的系数为C 错误!３２＝90，
故选Ｃ．
（２）令x ＝0，则（２＋m ）9＝a 0＋a １＋a ２＋…＋a 9， 令x ＝—２，则m 9＝a 0—a １＋a ２—a ３＋…—a 9，
又（a 0＋a ２＋…＋a 8）２—（a １＋a ３＋…＋a 9）２＝（a 0＋a １＋a ２＋…＋a 9）（a 0—a １＋a ２—a ３＋…＋a 8—a 9）＝３9，
∴（２＋m ）9·m 9＝３9，∴m （２＋m ）＝３， ∴m ＝—３或m ＝１．] ►考法２ 二项式系数的性质
【例３】 设m 为正整数，（x ＋y ）２m 展开式的二项式系数的最大值为a ，（x ＋y ）２m ＋１展开式的二项式系数的最大值为b ，若１３a ＝7b ，则m ＝（ ）
Ａ．５ Ｂ．6 Ｃ．7
Ｄ．8
B [根据二项式系数的性质知，（x ＋y ）２m 的二项式系数最大的项有一项，即
C 错误!＝a ，（x ＋y ）
２m ＋１的二项式系数最大的项有两项，即C 错误!＝C 错误!＝Ｂ．又１３a ＝7b ，所以１３C 错误!＝7C 错误!，
将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．]
[规律方法] （１）“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如（ax ＋b ）n ，（ax ２＋bx ＋c ）m （a ，b ，c ∈R ）
的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．
（２）若f （x ）＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…＋a n x n ，则f （x ）展开式中各项系数之和为f （１），奇数项系数之和为a 0＋a ２＋a ４＋…＝错误!，偶数项系数之和为a １＋a ３＋a ５＋…＝错误!.
（１）若错误!n
的展开式中含x 的项为第6项，设（１—３x ）n ＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…
＋a n x n ，则a １＋a ２＋…＋a n 的值为________．
（２）已知错误!n
的展开式中的二项式系数和为３２，错误!错误!n
的展开式中的各项系数的和为２，则该展开式中的常数项为________．
（１）２５５ （２）４0 [（１）错误!n
展开式的第k ＋１项为T k ＋１＝C 错误!（x ２）n —k ·错误!k
＝C 错误!（—１）k x ２n —３k ， 当k ＝５时，２n —３k ＝１，∴n ＝8． 对（１—３x ）8＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…＋a 8x 8， 令x ＝１，得a 0＋a １＋…＋a 8＝２8＝２５6． 又当x ＝0时，a 0＝１， ∴a １＋a ２＋…＋a 8＝２５５．
（２）错误!n
的展开式中的二项式系数和为３２，所以２n ＝３２，所以n ＝５．令x ＝１，得错误!
错误!n
的展开式中的各项系数的和为（１＋a ）（２—１）５＝２，所以a ＝１，所以错误!错误!５
的展开式
中的常数项为C错误!·（—１）３·２５—３＋C错误!·（—１）２·２５—２＝４0．]
１．（２0１7·全国卷Ⅰ）错误!（１＋x）6展开式中x２的系数为（）
Ａ．１５Ｂ．２0
Ｃ．３0 Ｄ．３５
C[因为（１＋x）6的通项为C错误!x r，所以错误!（１＋x）6展开式中含x２的项为１·C错误!x２和错误!·C错误!x４.
因为C错误!＋C错误!＝２C错误!＝２×错误!＝３0，
所以错误!（１＋x）6展开式中x２的系数为３0．
故选Ｃ．]
２．（２0１５·全国卷Ⅰ）（x２＋x＋y）５的展开式中，x５y２项的系数为（）
Ａ．１0 Ｂ．２0
Ｃ．３0 Ｄ．60
C[法一：利用二项展开式的通项公式求解．
（x２＋x＋y）５＝[（x２＋x）＋y]５，
含y２的项为T３＝C错误!（x２＋x）３·y２.
其中（x２＋x）３中含x５的项为C错误!x４·x＝C错误!x５.
所以x５y２项的系数为C错误!C错误!＝３0．故选Ｃ．
法二：利用组合知识求解．
（x２＋x＋y）５为５个x２＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x２，一个取x即可，所以x５y２的系数为C错误!C错误!C错误!＝３0．故选Ｃ．]。