广东揭阳第一中学第一学期高三阶段考试数学试题参考答案

2012-2013学年度广东揭阳第一中学第一学期高三阶段考试
数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
D
A
A
C
B
B
C
D
二、填空题
9．3- 10．10 11．21y x =- 12．[
,]64
ππ
13．3(,)2-∞ 14．1
14m ≤<
15．解：（1）由已知得1231327(3)(4)6a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即2
1112
1117
(76a a q a q a a q a q
⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，结合1q >解得11
2
a q =⎧⎨
=⎩
∴ 11
12n n n a a q --==…………………………………………………6分
（2）由（1）得，331ln ln 23ln 2n
n n b a n +===，∴13ln 2n n b b +-=，∴{}n b 是以13ln 2
b =为首项，公差3ln 2d =的等差数列，∴112()(3ln 23ln 2)
(22)
n n n n b b n n T b b b ++=+++==
即3(1)ln 2
2
n n n T +=
…………………………………12分
16．解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
π-π+π-=π+π-
=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(x ωx ωx ωx ωx f )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)3
2sin(π
-=x ω． ……………4分
∵)(x f 的最小正周期为π，ω为正常数，∴π=π
ω22，∴1=ω． …………6分 （2）由（1）可知)3
2sin()(π
-=x x f ．设x 是三角形的内角，则∵π<<x 0，
∴3
5323π<π-<π-x ．
令2
1)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解得4π=x 或127π
=x ．
由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且2
1
)()(==B f A f ，
∴4π=
A ，127π=
B ，∴6
π=--π=B A C ． ……………10分 由正弦定理，得22
1226sin 4sin
sin sin ==ππ=
=C A AB BC ． ………………………12分 17．解：（1）()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，证明如下：设任意12,x x ∈(,)-∞+∞，且12x x <，则
∵120x x -<，
∴12()0f x x -<，∴1122()[()]f x f x x x =-+122()()f x x f x =-+2()f x < 即12()()f x f x <，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增． ………………6分
（2）在()()()f x y f x f y +=+中，令1x y ==，得(2)(1)(1)2f f f =+=．令0x y ==， 得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =．令y x =-，得()()0f x f x -+=，即()()f x f x -=- ∴
11112(2)2(2)()22()()n n n n n n n n a f a a f f a a f a a f a ++++-=-⇔-=+-⇔-=-⇔=
下面用数学归纳法证明：………………………………………9分 ①当1n =时，101a <<，不等式成立；
②假设当()n k k N *
=∈时，不等式成立，即01k a <<，则∵()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，
∴1(0)()(1)k k f a f a f +<=<，∴101k a +<<，即当1n k =+时不等式也成立．
综上①②，由数学归纳法原理可知对任意的n N *
∈，01n a <<………………14分
18．解：（1）33cos
cos sin sin cos 22222
x x x x
a b x ⋅=-=………………2分 22233||(cos
cos )(sin sin )22cos 2cos 2222
x x x x
a b x x +=++-=+=∵[0,
]2
x π
∈，∴2||2cos 2cos a b x x +== ………………6分
（2）由（1）可得2
2
2
()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---
∵[0,
]2
x π
∈，∴0cos 1x ≤≤ ………………8分
①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值-1，不合题意；
②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值2
12λ--，由已知
23
122λ--=-，
解得1
2
λ=
③当1λ>时，当且仅当cos 1x =，()f x 取得最小值14λ-，由已知3
142
λ-=-
，解得58
λ=，这与1λ>矛盾。

………………………………………………13分
综上所述，1
2
λ=
即为所求． ………………14分 19．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()211
1ax x f x ax x x
--'=-+=-．…2分
① 当0a =时，()1x
f x x
+'=，∵0,x > ∴()'0f x >，∴ 函数()f x 单调递增区间为()0,+∞
② 当0a ≠时，令()0f x '=得21
0ax x x
---
=，即210ax x --=，14a ∆=+． （ⅰ）当0∆≤，即1
4
a ≤-
时，得210ax x --≤，故()0f x '≥， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞． （ⅱ）当0∆>，即14
a >-
时，方程210ax x --=的两个实根分别为11142a
x a -+=，
2114a
x ++=
．
若1
04
a -
<<，则120,0x x <<，此时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>． ∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，
若0a >，则120,0x x <>，此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，
()0,f x '<
∴函数()f x 的单调递增区间为1140,
a ⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为114,a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
． 综上所述，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为1140,2a a ⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1142a a ⎛⎫
++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
；当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间． …8分
（2）由（1）得当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故函数()f x 无极值； 当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为1140,
2a a ⎛+ ⎝⎭
， 单调递减区间为114a ⎫
+++∞⎪⎪⎝⎭
， ∴()f x 有极大值，其值为2
22221()ln 2
f x x ax x =-
+，其中2114a x ++=
． ∵22210ax x --=，即2
221ax x =+， ∴2221
()ln 2
x f x x -=+
． 设函数1()ln (0)2x h x x x -=+>，则'11
()02h x x =+>， ∴1
()ln 2x h x x -=+在()0,+∞上为增函数，又(1)0h =，则()0h x >⇔1x >，
∴2()f x =221
ln 2
x x -+0>⇔21x >．
即
11412a
a
+>，结合0a >解得02a <<，
∴实数a 的取值范围为()0,2． ………14分 20．解（1）设点(),P x y ，则2
2
1x y -=，
∴()
2
2
2
2
2||222n n n n a a PA x y a y +⎛
⎫=
+-=-+ ⎪⎝
⎭
∵y R ∈， ∴ 当2n a y =时，||n PA 取得最小值n d ，且2
22
n
n a d +=
又12n n a d -=，∴12n n a d +=，即12n n d a +=，将12n n d a +=代入2
22n n a d +=得
2
1222
n n a a ++=
两边平方，得22
12n n a a +-=，又00a =，212a =，
∴数列{}
2
n a 是首项为212a =，公差为2d =的等差数列， ∴221(1)2n a a n d n =+-=，
∵ 12n n a d -0>，∴2n a n =………………………………………6分
（2）∵()()()222122120n n n n +--+=-<，∴()()()2221221n n n n +-<+
()()()2221221n n n n +-+，∴2221212n n n n a a a a +-+< ∴
2122122
n n n n a a
a a -++<， ∴
3212124
3456
2122
,,,
n n n n a a a
a a a a a a a a a -++<<< 将以上n 个不等式相加，得
3
212124
35
2146
22
n n
n n a a a a a a a a a a a a -+++++
<+++
．……10分 （3）由（1）得
33122k a k
=⋅，当2k ≥时，()()()
()()
3
2
11111k
k k k k k k k
k
<
=
=
-+-+-， 11211
k k k k k k =<=+--++， ()()
()()
(1111
1111k k k
k k k k k k <+-=
-+-+-+， 3
11
k k k <
-+， ∴
3
221111212n
n
k k k k k k k
==<=<-++∑∴33
12112
142222222222n
n i i
a k ===<+=+∑．
∴存在常数
12
42
M=+，对*
n
∀∈N，都有不等式：
333
12
111
n
M
a a a
+++<成立。

（M取
值不唯一）……14分。