江苏省清江中学2015年高三数学 25.平面向量的基本定理与坐标运算专项训练 理

平面向量的基本定理与坐标运算
考纲要求：平面向量的坐标表示;平面向量的平行(理解）
基础训练
1．已知向量(1,0),(0,1)AB AC ==，则BC =
2．已知平行四边形ABCD 中，点),2,1(-A ),1,5(),0,3(C B 则点D 的坐标是 .
3.已知点(2,3),(1,1)A B --，则与向量AB 平行的单位向量的坐标为 .
4．已知向量21,e e 不共线，1212,2e b e e a =+=,2e λ+要使b a ,能成为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是 .
5.已知向量a u x b a ===),1,(),2,1(b a v b -=+2,2,且,//v u 则x 的值为
6.在直角三角形ABC 中，),1(),3,2(k AC AB ==,则实数k 的值为 ． 知识点：
1.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e
2.
2．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+ x2，y1+ y2），a －b= 已知a=(x,y)和实数λ，那么λa=
3．向量的坐标公式 A （x1，y1）、B （x2，y2），AB = |AB |= 若a=(x,y),则|a|=
4．//a b (0)b ≠且设11(,)a x y =，22(,)b x y =⇔ （1212,,,x x y y R ∈）
5．与a 平行的单位向量e=
例题精讲
例1：已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时：
(1)ka ＋b 与a －3b 垂直；
(2)ka ＋b 与a －3b 平行，且平行时它们是同向还是反向？
例2：已知点=OP B A O ),5,4(),2,1(),0,0().(R t AB t OA ∈+
(1)要使点P 分别在x 轴上、y 轴上、第二象限内，则t 分别应取什么值?
(2)四边形OABP 是否有可能是平行四边形?如可能，求出相应的t 的值；如不可能，说明理由．
例 3 在△OAB 的边OB OA ,上分别取点N M ,，使,3:1||:||=OA OM ,4:1||:||=OB ON 设线段AN 与BM 交于点P ，记,,b OB a OA ==用b a ,表示向量OP .
巩固练习
1．设O 为坐标原点，向量),2,5(-=OA 将向量OA 向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到向量CD ，则向量CD 的坐标为 ．
2．已知点),1,8(),3,1(--B A 若点,12(-a C )2+a 在直线AB 上，则=a .
3．已知),(,2||,1||R b a b a ∈===λλ则||b a -= .
4.已知向量),1,3(),sin ,(cos -==b a θθ则|2|b a -的最大值是 ． 平面向量的基本定理与坐标运算
1．若三点)4,0(),0,(),2,2(C a B A 共线，则=a
2．已知点),2,1(-A 若向量AB 与)3,2(=a 132=AB 则点B 的坐标为
3.ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,．设向量
q b c a p ),,(+=),,(a c a b --=若q p //则角C 的大小为
4．已知向量),1,1(),1,1(-=-=→→
x b x x a 则||b a +的最小值是 ． 5．已知两点)7,12(),4,3(Q P ，点R 在直线PQ 上，且 =||PR 31
|,|PQ 则点R 的坐标是
6．如图，已知点G 是ABO ∆的重心．
(1)求GO GB GA ++;
(2)若PQ 过ABO ∆的重心G ，且b n OQ a m OP b OB a OA ====,,,， 求证：311=+n m .
7．已知).1,2(),0,1(==b a
(1)求|;3|b a +
(2)当k 为何值时，b a k -与b a 3+平行，平行时它们是同向还是反向?
8.如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的点，若,AE mAB AF nAC ==，,(0,1)m n ∈．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N ．
⑴若,,A M N 三点共线，求证m n =；
⑵若1m n +=，求||MN 的最小值．
A B C
E F M N 第8题
⑴由,,A M N 三点共线，得//AM AN ， …………………………2分
设()AM AN λλ=∈R ，即11()()22AE AF AB AC λ+=+， …………………………4分
所以()mAB nAC AB AC λ+=+，所以m n =． …………………………6分
⑵因为MN AN AM =-＝11()()22AB AC AE AF +-+11(1)(1)22m AB n AC =-+-，
又1m n +=，所以11(1)22MN m AB mAC =-+， …………………………10分 所以22222111||(1)(1)442MN m AB m AC m mAB AC =-++-
＝222111113(1)(1)()4
444216m m m m m -++-=-+
故当
12m =时，min ||MN =． …………………………14分。