2020-2021学年安徽师大附中高二(下)期中数学复习卷(含答案解析)

2020-2021学年安徽师大附中高二(下)期中数学复习卷
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）
1.若复数满足，则复数等于
A. 1+
B. 1−
C.
D. 2
2.“有些指数函数是减函数，y=2x是指数函数，所以y=2x是减函数”上述推理()
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 以上都不是
3.非空集合G关于运算⊕满足：(1)对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，都有a⊕e=
e⊕a=a；(3)对任意的a，b，c∈G，都有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)，则称G关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，⊕为整数的加法．
②G={奇数}，⊕为整数的乘法．
③G={平面向量}，⊕为平面向量的数量积．
④G={二次三项式}，⊕为多项式加法．
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是()
A. ①④⑤
B. ①②
C. ①②③⑤
D. ②③⑤
4.用反证法证明命题：“已知，若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”时，
反设正确的是()
A. 都不能被5整除
B. 都能被5整除
C. 中有一个不能被5整除
D. 中有一个能被5整除
5.对于函数f(x)，若∀a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)都是某一三角形的三边长，则称f(x)为“保
三角形函数”.以下说法正确的是()
A. f(x)=1(x∈R)不是“保三角形函数”
B. 若定义在R上的函数f(x)的值域是[√e,e](e为自然对数的底数)，则f(x)一定是“保三角形函
数”
C. f(x)=1
x 2+1(x ∈R)是“保三角形函数” D. “保三角形函数”一定是单调函数
6. 十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n >2时，关于x 、y 、z 的方程x n +y n =z n 没有
正整数解．”历经三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁⋅怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理．则有( )
A. 存在至少一组正整数组渊(x 、y 、z)使方程x 3+y 3=z 3 有解
B. 关于x 、y 的方程x 3+y 3=1 有正有理数解
C. 关于x 与y 的方程 x 3+y 3=1没有正有理数解
D. 当整数n >3 时，关于 x 、y 、z 的方程 x n +y n =z n 没有正实数解．
7. 下列命题正确的是( )
A. 向量a ⃗ 与b ⃗ 共线，向量b ⃗ 与c ⃗ 共线，则向量a ⃗ 与c ⃗ 共线
B. 向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，向量b ⃗ 与c ⃗ 不共线，则向量a ⃗ 与c ⃗ 不共线
C. 向量AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点一定共线 D. 向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，则向量a ⃗ 与b ⃗ 都是非零向量
8. 已知函数f(x)=e x −ax 有两个零点x 1，x 2，则下列判断：①a <e ；②x 1+x 2<2；③x 1⋅x 2>1；
④有极小值点x 0，且x 1+x 2<2x 0.则正确判断的个数是( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
9. 执行右边的程序框图，输出S 的值为( )
A. 14
B. 20
C. 30
D. 55
10. 已知函数f(x)=x 2−cosx ，对于[−π2,π
2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①|x 1|>|x 2|；②x 12>x 22；
③cosx 1>cosx 2；④sinx 1>sinx 2.其中能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是( )
A. ①②③
B. ①②
C. ①②④
D. ②③
11. 若∀x >0，ax
x 2+1≤x −lnx 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,0]
B. (−∞,2]
C. [−1,1]
D. [−2,2]
12. 定义在上的函数
及其导函数
的图象都是连续不断的曲线，且对于实数
，
有。

现给出如下4个结论：
(1)；(2)
；
(3)
(4)
其中结论正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 若z =2i
1−i ，则复数z = ______ ，|z|= ______ ． 14. 曲线y =lnx 上的点到直线y =x +1的最短距离是______ ．
15. 将全体正偶数排成一个三角数阵：
按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为______．
16. 函数f(x)=2x 3−3x 2+a 的极大值为2，则a = ______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）
17. 假设某种设备使用的年限x(年)与所支出的维修费用y(元)有以下统计资料：
使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(已知回归直线方程是：y ̂=bx +a ，其中b =∑x i n i=1y i −nx⋅y
∑x i 2n i=1−nx
2
)由资料知y 对x 呈线性相关关系．试
求：
(1)求x,y 及线性回归方程y
̂=bx +a ； (2)估计使用10年时，维修费用是多少？
18.已知函数u(x)=xlnx−lnx，v(x)=x−a，w(x)=a
，三个函数的定义域均为集合A={x|x>1}．
x
(1)若u(x)≥v(x)恒成立，满足条件的实数a组成的集合为B，试判断集合A与B的关系，并说
明理由；
]，是否存在m∈N∗，使得对任意的实数a∈(m,+∞)，
(2)记G(x)=[u(x)−w(x)][v(x)−w(x)
2
函数G(x)有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m；若不存在，说明理由．(以下数据供参考：e≈2.7183，ln(√2+1)≈0.8814)
19.2019年春节期间，各种手机红包成了亲友间互动的重要手段，因此占据了人们大量的时间，对
人们的眼睛造成较坏的影响．大学生小王随机调查了班内20位同学每人在春节期间抢到的红包金额x(元)，得到下面的频数分布表：
(1)将这20位同学的红包金额与眼睛近视的人数填入下面的列联表，并根据列联表判断是否有
90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；
(2)若从红包金额在[80,160)的同学中任取2位，求这2位同学的红包金额都在[120,160)的概率．
，n=a+b+c+d．
附：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
20.(1)已知i是虚数单位，求复数z=1+2i
的虚部．
1+i
ax3+2ax2+(1−2a)x，a，b∈R，a≠0，求f(x)的单调递增区间．
(2)设函数f(x)=1
3
21.已知函数f(x)=x+1
．
x
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明；
(2)求f(x)的定义域、值域．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解析：本题考查复数的运算
由得
则正确答案为A
2.答案：C
解析：解：∵大前提的形式：“有些指数函数是减函数”，不是全称命题，
∴不符合三段论推理形式，
∴推理形式错误，
故选C．
本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．
3.答案：B
解析：解：∵对任意两个非负整数，和仍为非负整数，满足(1)，
且对于非负整数0，任何非负整数加0等于0加这个数，等于这个数，满足(2)，
∴①是“融洽集”．
∵对任意两个奇数，积仍为奇数，满足(1)，
且对于奇数1，任何奇数乘1等于1乘这个数，等于这个数，满足(2)，
∴②是“融洽集”．
∵对任意两个平面向量，数量积为数量，不满足(1)，
∴③不是“融洽集”．
∵对任意两个二次项系数相反的二次三项式，和可能不是二次三项式，不满足(1)，
∴④不是“融洽集”．
∵对于虚数i，i×i=−1，不是虚数，不满足(1)，
∴⑤不是“融洽集”．
故G关于运算⊕为“融洽集”的是：①②，
故选：B
逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件，若两个条件都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”．
本题主要给出新定义，考查学生对集合新定义的理解．
4.答案：A
解析：试题分析：根据肯定题设而否定结论，用反证法证明命题：“已知，若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是“都不能被5整除”，选A。

考点：反证法
点评：简单题，反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。

5.答案：B
解析：解：对于A选项，由题设所给的定义知，∀a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)都是某一正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故A选项错误；
对于B选项，由于√e+√e>e，可知，定义在R上的函数f(x)的值域是[√e,e](e为自然对数的底数)，则f(x)一定是“可构造三角形函数”，故B正确
对于C选项，当a=0，b=3，c=3时，f(a)=1>f(b)+f(c)=1
，不构成三角形，故C错误；
5
对于D选项，由A选项判断过程知，D选项错误；
故选：B．
由题，根据“可构造三角形函数”的定义对四个选项进行判断即可得出正确选项
本题考查综合法推理及函数的值域，三角形的性质，理解新定义是解答的关键
6.答案：C
解析：解：：“当整数n>2时，关于x、y、z的方程x n+y n=z n没有正整数解．”
3>2，故p3+q3=z3，无正整数解，
即(p z )3+(q
z )3=1无正整数解，
即关于x 与y 的方程 x 3+y 3=1没有正有理数解， 故选：C ．
根据已知中费马大定理可得：故p 3+q 3=z 3，无正整数解，即(p
z )3+(q
z )3=1无正整数解，进而利用整体代换思想，得到答案．
本题考查的知识点是转化思想，演绎推理，难度不大，属于中档题．
7.答案：D
解析：解：对于A ，如果b ⃗ =0
⃗ ，则选项A 不正确； 对于B ，向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，向量b ⃗ 与c ⃗ 不共线，则向量a ⃗ 与c ⃗ 可能共线也可能不共线，所以B 不正确； 对于C ，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点一定共线，显然不正确，可能AB//CD ，所以C 不正确．
对于D ，若向量a ⃗ 与b ⃗ 不都是非零向量，即至少有一个为零向量时，向量a ⃗ 与b ⃗ 共线，根据逆否命题的等价性可知，D 正确． 故选：D ．
直接利用向量共线的充要条件以及反例判断即可．
本题考查向量基本知识的应用，考查向量概念以及共线向量的理解与应用．
8.答案：D
解析：
本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，是难题． 利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论 解：对于①，∵f(x)=e x −ax ， ∴f′(x)=e x −a ，令f′(x)=e x −a >0， 当a ≤0时，f′(x)=e x −a >0在x ∈R 上恒成立， ∴f(x)在R 上单调递增．
当a >0时，由e x −a >0，解得x >lna ，
∴f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增． ∵函数f(x)=e x −ax 有两个零点x 1、x 2，
∴a>0，f(lna)<0，
∴e lna−alna<0，
∴a>e，所以①错误；
对于②，x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x1x2)，
取a=e2
2
，f(2)=e2−2a=0，∴x2=2，f(0)=1>0，∴0<x1<1，∴x1+x2>2，所以②错误；
对于③，由题意，e x1=ax1,e x2=ax2，
所以e x2−x1=x2x
1，设t=x2x
1
，则t>1，
所以e(t−1)x1=t，所以，
所以
，令，t>1，
则ℎ′(t)=1
t −
2t√t
=−√t−1)
2
2t√t
<0，
所以ℎ(t)<ℎ(1)=0，
所以，
又，
所以x1x2−1<0，
所以x1x2<1，所以③不正确；
对于④，f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，∴有极小值点x0=lna，
因为x1x2<1，
所以x1+x2=2lna+ln(x1x2)<2lna=2x0，所以④正确．综上，正确的命题序号是④．
故选D．
9.答案：C
解析：试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是
考点：本小题主要考查程序框图的执行．
点评：程序框图的执行离不开循环结构和条件结构，解决与循环结构有关的问题时，要看清楚控制条件，避免多执行或少执行一步．
10.答案：B
解析：
根据函数f(x)为偶函数，且其导数在[0,π
2]上大于0恒成立，可知f(x)在[−π2,π
2]上的单调性，然后结合给出的四个条件逐一进行判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题． 解：函数f(x)=x 2−cosx 为偶函数，f′(x)=2x +sinx ， 当0<x ≤π
2时，0<sinx ≤1，0<2x ≤π， ∴f′(x)>0，函数f(x)在[0,π
2]上为单调增函数， 由偶函数性质知函数在[−π2,0]上为减函数．
当x 12>x 2
2时，得|x 1|>|x 2|≥0， ∴f(|x 1|)>f(|x 2|)，由函数f(x)在[−π2,π
2]上为偶函数得f(x 1)>f(x 2)，故①②成立； 当x 1,x 2∈[−π
2,0]时，由cosx 1>cosx 2，得x 1>x 2，此时f(x 1)<f(x 2)，③不正确； 当x 1,x 2∈[−π2,0]时，由sinx 1>sinx 2，得x 1>x 2，此时f(x 1)<f(x 2)，④不正确． ∴能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是①②． 故选：B ．
11.答案：B
解析：解法一：解：∵x >0，ax
x 2+1≤x −lnx 化为a ≤x 2+1−(x +1
x )lnx =f(x)， f′(x)=2x −1−1
x 2+(1
x 2−1)lnx =
2x 3−x 2−1+(1−x 2)lnx
x 2，
①令g(x)=2x 3−x 2−1，
g′(x)=6x(x −1
3)，可得x ∈(0,1
3)单调递减，x ∈(1
3,1)时单调递增，g(0)=
−1<0，g(1)=0．
又x∈(0,1)时，(1−x2)lnx<0，因此当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．②由①可得：x>1时，分子=(x−1)[2x2+x+1−(x+1)lnx]，
令ℎ(x)=2x2+x+1−(x+1)lnx，
ℎ′(x)=4x+1−lnx−(1+1
x )=4x2−1−xlnx
x
，
令u(x)=4x2−1−xlnx，
u′(x)=8x−1−1
x
>0，
∴u(x)>3，
∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)>ℎ(1)=4>0，
∴f′(x)>0，因此当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．
可知：当x=1时，f′(1)=0，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．
∴当x=1时，函数f(x)取得最小值，f(1)=2，
∴a≤2，
解法二：令ℎ(x)=x−lnx，ℎ′(x)=1−1
x =x−1
x
.可得x=1时，可得ℎ(x)在x=1处取得最小值ℎ(1)=1．
令g(x)=ax
x2+1
，则当a≤0时，g(x)≤0，原不等式成立．
当a>0时，g(x)=
ax
x2+1
=a
x+1
x
≤a
2，当x=1时取等号，故
a
2
≤1，a≤2．
综上可得：a≤2．故选：B．
解法一：x>0，ax
x2+1≤x−lnx化为a≤x2+1−(x+1
x
)lnx=f(x)，f′(x)=2x3−x2−1+(1−x2)lnx
x2
，
①令g(x)=2x3−x2−1，g′(x)=6x(x−1
3
)，可得x∈(0,1)时，(1−x2)lnx<0，于是当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．
②由①可得：x>1时，分子=(x−1)[2x2+x+1−(x+1)lnx]，令ℎ(x)=2x2+x+1−(x+
1)lnx，可得ℎ′(x)=4x2−1−xlnx
x
，
令u(x)=4x2−1−xlnx，可得u′(x)>0，u(x)>3，可得ℎ′(x)>0，ℎ(x)>ℎ(1)>0，可得f′(x)>0，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．即可得出．
解法二：令ℎ(x)=x−lnx，ℎ′(x)=1−1
x =x−1
x
.可得x=1时，可得ℎ(x)在x=1处取得最小值ℎ(1)=
1.令g(x)=ax
x2+1
，则当a≤0时，g(x)≤0，原不等式成立．当a>0时，利用基本不等式的性质可得
g(x)=ax
x2+1=a
x+1
x
≤a
2，当x=1时取等号，故
a
2
≤1，解得a范围．即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12.答案：B
解析：
本题主要考查了学生对题中所给的导数的理解，要求学生应用所学的导数判断函数的单调性、导数的几何意义及零点存在定理进行对题中所给的4个结论进行判断，得出相应的答案即可．
解：①中，由于，所以导函数在区间上至少有一个零点，但是函数
不一定存在零点，故①不正确;
②中，由于，则存在，使得当时，有，即函数
在区间上是减函数，所以，故②正确;
③中，由于函数在区间上不一定是增函数，所以函数在区间上的最小值不一定是，故③不正确;
④中，由于，则，设，则，又
，且函数及其导函数的图象都是连续不断的曲线，切线是割线的趋近位置，所以的趋近值是在区间内的一个对应的导函数值，有成立，即，又，所以成立，故④正确．故选B．
13.答案：−1−i；√2
解析：解：∵z=2i
1−i =2i(1+i)
(1−i)(1+i)
=−1+i，
∴z=−1−i，
|z|=√(−1)2+12=√2．
故答案为：−1−i；√2．
利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步得到z，代入复数模的公式求模．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模的求法，是基础题．
14.答案：√2
解析：解：设与y=x+1平行的直线与y=lnx相切，
则切线斜率k=1，
∵y=lnx，∴y′=1
x
，
由y′=1
x
=1，得x=1．
当x=1时，y=ln1=0，即切点坐标为P(1,0)，
则点(1,0)到直线的距离就是线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离，
∴点(1,0)到直线的距离为：d=
22
=√2，
∴曲线y=lnx上的点到直线l：y=x+1的距离的最小值为√2．
故答案为：√2．
求出和y=x+1平行的直线和y=lnx相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论．
本题主要考查导数的几何意义，利用平移切线法结合导数的几何意义是解决本题的关键，是中档题．15.答案：n2−n+6
解析：解：观察三角形数阵知第n行有n个正偶数，
则第n行(n≥3)前共有1+2+3+⋯+(n−1)=(n−1)n
2
个数，
所以第n行(n≥3)从左向右的第3个数为2[(n−1)n
2
+3]=n2−n+6，
故答案为：n 2−n +6．
首先找出三角形数阵的规律，求出前n −1行正偶数的个数，然后由偶数的特点求出第n 行第3个偶数．
本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．
16.答案：2
解析：解：∵函数f(x)=2x 3−3x 2+a ， ∴导数f′(x)=6x 2−6x ， 令f′(x)=0，可得x =0或x =1，
导数在x =0的左侧大于0，右侧小于0，故f(0)为极大值，导数在x =1的左侧小于0，右侧大于0，故f(1)为极小值． ∴f(0)=a =2． 故答案为：2．
令f′(x)=0，可得x =0或x =1，根据导数在x =0和x =1两侧的符号，判断故f(0)为极大值，从而得到f(0)=a =2．
本题考查函数在某点取得极值的条件，判断f(0)为极大值，f(1)为极小值，是解题的关键． 17.答案：解：(1)x =4，y =5，∑x i 5i=1y iii =ii 2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3，
∑x i 2
5i=1=90
∴b =
112.3−5×4×590−5×42
=1.23，∴a =5−1.23×4=0.08．
∴线性回归方程y ̂=bx +a =1.23x +0.08；
(2)当x =10时，y =1.23×10+0.08=12.38，即维修费用为12.38万元．
解析：(1)先计算x =4，y =5，∑x i 5i=1y iii =ii 2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3，
∑x i 25i=1=90，根据公式可写出线性回归方程；
(2)代入x =10求出预报值．
本题考查线性回归方程的求解和应用，是一个基础题，解题的关键是正确应用最小二乘法来求线性回归方程的系数．
18.答案：
解：(1)u(x)≥v(x)恒成立⇔a ≥x −xlnx +lnx =m(x)，则m′(x)=1
x −lnx ，x ∈(1,+∞)． 易知m′(x)=1
x −lnx 在(1,+∞)上递减，
∴m′(x)<m′(1)=1，
存在x 0∈(1,+∞)，使得m′(x 0)=0，函数m(x)在x ∈(1,x 0)递增，在x ∈(x 0,+∞)递减． a ≥m(x 0).
由m′(x 0)=0得lnx 0=1
x 0
，
m(x 0)=x 0−x 0⋅1x 0
+1x 0
=x 0+1
x 0
−1>1，
∴B ⊆A ．
(2)令f(x)=u(x)−w(x)=xlnx −lnx −a
x ,g(x)=v(x)−
w(x)2
=x −a −
a 2x
,x ∈(1,+∞)．
f ′(x)=lnx +1−1x
+a x 2
>0,x ∈(1,+∞)，
由于a ∈(m,+∞)⇒a >1，f(1)=−a <0，x →+∞，f(x)→+∞，
由零点存在性定理可知：∀a ∈(1,+∞)，函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点．
g ′(x)=1+a 2x
2>0,x ∈(1,+∞)，
g(1)=1−3a 2
<0，x →+∞，g(x)→+∞，同理可知∀a ∈(1,+∞)，
函数g(x)在定义域内有且仅有一个零点． 假设存在x 0使得f(x 0)=g(x 0)=0，
{a =x 02lnx 0−x 0lnx 0
x 0−a =a 2x
，
消a 得lnx 0−2x
2x 0
2−x 0
−1=0，
令ℎ(x)=lnx −2x
2x 2−x−1， ℎ′(x)=1
x +
4x 2+2(2x −x−1)>0．
∴ℎ(x)递增． ∵ℎ(2)=ln2−4
5
=1
5ln
32e 4
<0 ℎ(√2+1)=0.8814−
√23
>0，
∴x 0∈(2,√2+1)， 此时a =x 02x
0+12
=x 0+12+
1
4(x 0+1
2
)
−1∈(8
5,2)，
所以满足条件的最小整数m =2．
解析：(1)u(x)≥v(x)恒成立⇔a ≥x −xlnx +lnx =m(x)，则m′(x)=1
x −lnx ，x ∈(1,+∞).易知m′(x)=1
x −lnx 在(1,+∞)上递减，m′(x)<m′(1)=1，研究其单调性即可得出最大值．
(2)令f(x)=u(x)−w(x)，g(x)=v(x)−1
2
w(x)x∈(1,+∞).由零点存在性定理可知：∀a∈(1,+∞)，函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点．同理可知∀a∈(1,+∞)，函数g(x)在定义域内有且仅有一
个零点． 假设存在x0使得f(x0)=g(x0)=0，{a=x02lnx0−x0lnx0
x0−a=a
2x0
，消a得lnx0−2x0
2x02−x0−1
=0，令
ℎ(x)=lnx−2x
2x2−x−1
，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了对于极值存在但是求不出来的情况的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19.答案：解：(1)根据题意填写列联表如下，
计算K2=20×(2×4−7×7)2
9×11×9×11
≈3.430>2.706，
所以有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；
(2)由题意，红包金额在[80,120)的同学有4位，设为a、b、c、d，
红包金额在[120,160)的同学有3位，记为E、F、G，
从中任取2个，基本事件为：
ab、ac、ad、aE、aF、aG、bc、bd、bE、bF、bG、
cd、cE、cF、cG、dE、dF、dG、EF、EG、FG共21种，
其中满足这2位同学的红包金额都在[120,160)内的基本事件为EF、EG、FG共3种，
故所求的概率为P=3
21=1
7
．
解析：(1)根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；
(2)由题意知红包金额在[80,120)和[120,160)内的人数，
用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题和阅读与计算能力，是中档题．
20.答案：解：(1)复数z=1+2i
1+i =(1+2i)(1−i)
(1+i)(1−i)
=3+i
2
=3
2
+1
2
i的虚部为1
2
．
(2)f′(x)=ax 2+4ax +(1−2a).(a ≠0)
△=16a 2−4a(1−2a)=24a(a −1
6)，
当△≤0时，即0<a ≤1
6，f′(x)≥0，∴f(x)在R 上单调递增，因此其单调递增区间为R ． 当△>0时，即a >1
6或a <0，令f′(x)=0，解得x 1=−2a−√6a
2−a
a
，x 2=−2a+√6a
2−a
a
．
f′(x)=a(x −x 1)(x −x 2).
当a >1
6时，x 2>x 1，令f′(x)>0，解得x >x 2或x <x 1， ∴f(x)的单调递增区间为(−∞,x 1)，(x 2,+∞)．
当a <0时，x 1>x 2，令f′(x)>0，解得x >x 1或x <x 2， ∴f(x)的单调递增区间为(−∞,x 2)，(x 1,+∞)． 综上可得：
当0<a ≤16，函数f(x0单调递增区间为R ．
当a >1
6时，f(x)的单调递增区间为(−∞,x 1)，(x 2,+∞)． 当a <0时，f(x)的单调递增区间为(−∞,x 2)，(x 1,+∞)．
解析：(1)利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
(2)f′(x)=ax 2+4ax +(1−2a).(a ≠0).△=24a(a −1
6)，对△分类讨论：当△≤0时，即0<a ≤1
6，f′(x)≥0，即可得出f(x)在R 上单调性．当△>0时，即a >1
6或a <0，令f′(x)=0，解得x 1=
−2a−√6a 2−a
a
，x 2=−2a+√6a
2−a
a
.f′(x)=a(x −x 1)(x −x 2).分类讨论即可得出单调性．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、复数的运算法则及虚部的定义、一元二次方程的解法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于难题．
21.答案：解：(1)∵f(x)=x +1
x ．
∴f′(x)=1−1
x 2．
当x ∈(0,1)时，f′(x)<0恒成立 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0恒成立
故函数f(x)在(0,1]单调递减，在区间[1,+∞)上的单调递增； (2)要使函数的解析式有意义，自变量x 须满足x ≠0
故函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)
当x∈(0,+∞)时，由(1)知函数有最小值2
又∵函数为奇函数，
∴当x∈(−∞,0)时，函数有最大值2
综上函数的值域为：(−∞,−2)∪(2,+∞)
解析：(1)由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，令导函数等0，我们易出函数的极值点，将区间分割后，分别讨论各子区间上导函数的符号，即可判断函数的单调性；
(2)让函数的解析式有意义，可以求出函数的定义域；根据(1)的结论，先求出f(x)在(0,+∞)上的值域，再根据函数的奇偶性，易得到f(x)的值域．
本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，函数的值域，利用导数求函数的单调性是导数应用的重要类型，望大家熟练掌握．。