CH1 函数.ppt
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聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 华罗庚 由薄到厚 , 由厚到薄 .
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第一章 函 数
§1 实数 §2 函数的定义及其表示法 §3 函数的几种特性 §4 反函数和复合函数 §5 初等函数 §6 本章小结
CH.1 函数
§1.1 实 数
y
1
o
x
1
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x2 , 1 x 0
例5. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2(0,1] ,
2e
则 x y , y (0,1]
当0 x 1 时, y ln x ( , 0] ,
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性
若
x1, x,2 f (x1) ,
f (Ix,)当x1
M
,x2称时为, 有上界
f( M
x2
), 称 f (x) 为 I 上的 f (单x)调, 称增函为数有下; 界
y
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x
则称 f ( x ) 无界单. 调减函数 .
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x o x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
三、绝对值
习题1.1 2双, 3单, 4
CH.1 函数
§1.2 函数的定义及其表示法
一、常量与变量
二、函数的定义
二、函数的定义
y f (x), x D
因变量
自变量
f ( D ) 称为值域
函数图形:
定义域
y y
C (x , y) y f (x) , x D
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
习题1.3 1单, 2单, 3双, 4单, 5, 6
CH.1 函数
§1.4 反函数和复合函数
一、反函数
二、复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1为 f 的反函数 . 习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2,)
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
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CH.1 函数
2. 微积分学: 一元微积分（CH.3-5）
3. 线性代数初步（CH.6）
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
0 x 1 x 1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域
.
解:
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义ຫໍສະໝຸດ 值 域 f (D) [0, )
CH.1 函数
§1.2 函数的定义及其表示法
三、常用的函数表示法
(1) 公式法 (2) 图像法 (3) 表格法
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
备用题
1. 设
且
时
a, b, c 为常数, 且
证明 为奇函数 .
证:
令
t
1 x
,
则
x
1 t
,
a
f
(1t )
b
f
(t)
ct
其中
由
消去 f (1x), 得
a
f
(
1 x
)
b
f
(
x)
c
x
为奇函数 .
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2 . 设函数 y f (x) , x ( , ) 的图形与 x a , y b (a b) 均对称, 求证 y f (x) 是周期函数.
一、实数与数轴
实数系（实数集）
二、区间与邻域
集合定义及表示法 定义 . 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
注: M 为数集 R Q Z N
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u D1
①
且 g(D) D1 ②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1不可少.
例如, 函数链 : y arcsinu ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
恩格斯
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续（CH.1-2） 函数 — 研究对象
分析基础 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
实数集合 R x x 为有理数或无理数
开区间 ( a , b ) x a x b
闭区间 [ a , b ] x a x b
半开区间
无限区间
点a的 邻域
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
CH.1 函数
§1.1 实 数
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x) f a (x a)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
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记 ch x 双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
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又如, y f (x) ex ex 2
y
ex
ex
奇函数
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y sh x ch x
ex ex
ex ex
奇函数
记
th x 双曲正切
y
1 y th x
o
x
1
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则 x ey , y(, 0]
当 1 x 2 时, y 2ex1( 2, 2e] ,
则
x
1
ln
y 2
,
y(2, 2e]
2 1
1 o 1 2 x
反函数 y
定义域为
( ,1] ( 2, 2e]
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内容小结
1. 集合的概念 2. 函数的定义及函数的二要素
定义域 对应规律
x D f y f (D) y y f (x), x D
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
例4. 已知函数
y
f
(x)
2 x, 1 x ,
习题1.2 1(2),(6),(7) 2双 3双 4
CH.1 函数
§1.3 函数的几种特性
一、有界性
§1.3 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x)为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 ,
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
o
x
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
例如ch1函数15一基本初等函数二初等函数三非初等函数的例子四初等函数定义域的求法五建立函数关系举例基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
否则称为非初等函数 .
例如
,
y
x, x
,
x 0 可表为 y x0
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数
取整函数 当 y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
2 1o 1 2 3 4 x
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A
a1
,
a2
,,
an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
§1.5 初等函数
一、基本初等函数 二、初等函数 三、非初等函数的例子 四、初等函数定义域的求法 五、建立函数关系举例
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). y
2 o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
1, x 为有理数
狄里克雷函数
0 , x 为无理数
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第一章 函 数
§1 实数 §2 函数的定义及其表示法 §3 函数的几种特性 §4 反函数和复合函数 §5 初等函数 §6 本章小结
CH.1 函数
§1.1 实 数
y
1
o
x
1
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x2 , 1 x 0
例5. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2(0,1] ,
2e
则 x y , y (0,1]
当0 x 1 时, y ln x ( , 0] ,
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性
若
x1, x,2 f (x1) ,
f (Ix,)当x1
M
,x2称时为, 有上界
f( M
x2
), 称 f (x) 为 I 上的 f (单x)调, 称增函为数有下; 界
y
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x
则称 f ( x ) 无界单. 调减函数 .
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x o x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
三、绝对值
习题1.1 2双, 3单, 4
CH.1 函数
§1.2 函数的定义及其表示法
一、常量与变量
二、函数的定义
二、函数的定义
y f (x), x D
因变量
自变量
f ( D ) 称为值域
函数图形:
定义域
y y
C (x , y) y f (x) , x D
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
习题1.3 1单, 2单, 3双, 4单, 5, 6
CH.1 函数
§1.4 反函数和复合函数
一、反函数
二、复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1为 f 的反函数 . 习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2,)
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
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CH.1 函数
2. 微积分学: 一元微积分（CH.3-5）
3. 线性代数初步（CH.6）
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
0 x 1 x 1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域
.
解:
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义ຫໍສະໝຸດ 值 域 f (D) [0, )
CH.1 函数
§1.2 函数的定义及其表示法
三、常用的函数表示法
(1) 公式法 (2) 图像法 (3) 表格法
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
备用题
1. 设
且
时
a, b, c 为常数, 且
证明 为奇函数 .
证:
令
t
1 x
,
则
x
1 t
,
a
f
(1t )
b
f
(t)
ct
其中
由
消去 f (1x), 得
a
f
(
1 x
)
b
f
(
x)
c
x
为奇函数 .
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2 . 设函数 y f (x) , x ( , ) 的图形与 x a , y b (a b) 均对称, 求证 y f (x) 是周期函数.
一、实数与数轴
实数系（实数集）
二、区间与邻域
集合定义及表示法 定义 . 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
注: M 为数集 R Q Z N
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u D1
①
且 g(D) D1 ②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1不可少.
例如, 函数链 : y arcsinu ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
恩格斯
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
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主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续（CH.1-2） 函数 — 研究对象
分析基础 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
实数集合 R x x 为有理数或无理数
开区间 ( a , b ) x a x b
闭区间 [ a , b ] x a x b
半开区间
无限区间
点a的 邻域
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
CH.1 函数
§1.1 实 数
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x) f a (x a)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
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记 ch x 双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
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又如, y f (x) ex ex 2
y
ex
ex
奇函数
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y sh x ch x
ex ex
ex ex
奇函数
记
th x 双曲正切
y
1 y th x
o
x
1
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则 x ey , y(, 0]
当 1 x 2 时, y 2ex1( 2, 2e] ,
则
x
1
ln
y 2
,
y(2, 2e]
2 1
1 o 1 2 x
反函数 y
定义域为
( ,1] ( 2, 2e]
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内容小结
1. 集合的概念 2. 函数的定义及函数的二要素
定义域 对应规律
x D f y f (D) y y f (x), x D
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
例4. 已知函数
y
f
(x)
2 x, 1 x ,
习题1.2 1(2),(6),(7) 2双 3双 4
CH.1 函数
§1.3 函数的几种特性
一、有界性
§1.3 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x)为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 ,
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
o
x
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
例如ch1函数15一基本初等函数二初等函数三非初等函数的例子四初等函数定义域的求法五建立函数关系举例基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
否则称为非初等函数 .
例如
,
y
x, x
,
x 0 可表为 y x0
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数
取整函数 当 y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
2 1o 1 2 3 4 x
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A
a1
,
a2
,,
an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
§1.5 初等函数
一、基本初等函数 二、初等函数 三、非初等函数的例子 四、初等函数定义域的求法 五、建立函数关系举例
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). y
2 o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
1, x 为有理数
狄里克雷函数
0 , x 为无理数