3.8圆内接正多边形

边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的 中心就是对称中心。
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正正 多边形。这个圆叫做该正多边形的外接圆。 正多边形和圆的关系非常密切,把一个圆n等分 （n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一 个圆内接正多边形。
如图，五边形ABCDE 是⊙O的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的 半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC， 垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距。在其他 的正多边形中也有同样的定义。
.O
如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到 一个正六边形DFHKGE,求这个正六边形的面积.
6 3
求半径为6cm的圆内接正四边形的边长、边心距和 面积. A D 6 2cm,3 2cm,72cm2 . 各边相等的圆内接四边形是正 ·O 方形吗？各角相等的圆内接四 边形呢？如果是，请说明理由； 如果不是，请举出反例. B C 各边相等的圆内接四边形是正方形。因为同圆中等 弦对等弧，所以四边形的四个顶点把圆四等分，因 此相邻两边所组成的圆周角（即四边形的内角）都 相等；各角相等的圆内接四边形不一定是正方形， 如可以是长方形.
2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2BE 2 R 2R 2 2 2 S正方形ABCD ABBC 2R 2R
2 OB OE 2 2
D
·
O
B
E
C


读一读 利用尺规作正五边形 1.作⊙C. 2.作直径AB. 3.过点C作AB的垂线交 ⊙C于点P. 4.取BC中点D. 5.以点D为圆心，以DP 为半径作弧交AB于点E. 6.以点P为圆心，以PE 为半径作弧交⊙C于点F. 7.在⊙C上依次截取等 于PF的弦，就可以作出 圆内接正五边形.
圆内接正n边形 中心角 边心距把△OBC分成2个全
等的直角三角形
360
n
BOM COM
180
n
设正多边形的边长为a, 边数为n，圆的半径为R, 它的周长为L=na.
边心距r
a ， ） R（ 2
2
2
1 1 面积S L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边 长，边心距和面积. 解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D. 连接OB，则OB=R. A 在Rt△OBD中 ， ∠OBD=30°, 1 边心距＝OD= R. 2 ·O 在Rt△ABD中 ， ∠BAD=30°,
1 3 AD OA OD R R R， 2 2
B
D
C
由勾股定理，求得AB= 3R
S ABC 1 1 3 3 3 2 BC AD 3R R R . 2 2 2 4
解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC垂足为E.则 ∠OEB=90°，∠OBE=∠BOE=45°. Rt△OBE为等腰直角三角形.则有 BE 2 OE 2 OB2 A 2OE 2 OB 2
第三章
圆
3.8 圆内接正多边形
图片欣赏
正多边形形状的物体或照片.
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正多边形形状的物体或照片.
正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正n边形： 如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么这个正多 边形叫做正n边形。 菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢?为什么？
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条 对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长 3:4 ，面积比为_____ 9:16 ，外接圆周长比是 比为_____ 3:4 ，中心角度数比是______. ______ 1:1
将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋 转 72 度,才能与原来的图形位置重合.
有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求 地基的周长和面积(精确到0.1m2). 解: 如图，由于ABCDEF是正六边形,所以它的中 心角等于600，△OBC是等边三角形，从而正六边形 的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长l =4×6=24(m). 1 1 在Rt△OPC中,OC=4, PC 2 BC 2 4 2 利用勾股定理,可得边心距 F E 2 2 r 4 2 2 3 O 亭子地基的面积 A D R 1 1 2 r S lr 24 2 3 41.6(m ). 2 2 B P C
（1）以圆周上任意一点为 圆心，以圆的半径为半径 作弧，与圆周交于一点； . （2）以得到的交点为圆心， 以圆的半径为半径作弧与圆 周交于另一点，依次下去， 在圆周上等到六个点； （3）依次连接这六个点， 就得到了这个圆的内接正六 边形
.O
做一做 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形 为了减少累积误差， 通常像如图所示那样， 作⊙O的任意一条直 径FC,分别以F,C为圆 心，以⊙O的半径R为 半径作弧，与⊙O相 交于点E,A和D,B,则 A,B,C,D,E,F是⊙O的 六等分点，顺次连接 AB,BC,CD,DE,EF,FA, 便得到正六边形 ABCDEF.
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相 等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不 是,举出反例.
⊙O的半径为r,其内接正三角形、正四边形、正六 边形的边长分别为a,b,c. （1）求a,b,c; （2）以a,b,c为边可否构成三角形？如果能，构 成的是什么三角形？如果不能，请说明理由.
(2)能构成三角形，是直角 三角形.可利用勾股定理的 逆定理进行判定 .
（ 1） 3r , 2r , r;
画一个正五边形，再画出它的对角线，那么你会 得到一个什么图案？ 五角星
下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正 八边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平 ①②③④ 是中心 行四边形.是轴对称图形的有__________, ③④⑤ 既是中心对称图形，又 对称图形的有_________, 是轴对称图形的有_________. ③④
D
B
练习 分别求出半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边 心距。 A cm,3cm.
·

O
C
B
D
（n 2） 180 n 正n边形的一个内角的度数是_________________;
360
n 中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等 ________.
小结：学完本课后你有哪些收获？ 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心， 正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边形 的边心距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长， 正多边形的边心距之间的等量关系． 3.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、 半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比， 面积比等于相似比的平方. 4.作正多边形的方法 （1）用量角器等分圆 （2）尺规作图等分圆 作业： 习题3.10 1、2、3、4、5题。
接各分点，即可得出正六边形． 利用这种方法 可以画出任意 的正n边形.
O
·
60°
做一做 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形 由于正六边形的中心角为600，因此它的边长就是 其外接圆的半径R.所以，在半径为R的圆上，依次 截取等于R的弦，就可以六等分圆,进而作出圆内接 正六边形.
做一做 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形 作法如下：
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径 OC=4，OG⊥BC ，垂足为G，求这个正六边形的中 心角、边长和边心距。
F
O
E
A
∟ G
D B C
做一做 作一个已知圆的内接正六边形
360 作一个⊙O，用量角器画一个等于 6 60
的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与
这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连
想一想 你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？ 你是怎么做的？与同伴进行交流. 由于正四边形的中心角为900，因此作圆的内接正 四边形时，只需作互相垂直的两条直径即可. A 1.作⊙O. 2.作直径AB,CD,使AB⊥CD. 3.顺次连接 C AC,CB,BD,DA,便得到正 四边形ACBD. .O