初中八年级数学下册第十九章一次函数单元复习试题二(含答案) (110)

初中八年级数学下册第十九章一次函数单元复习试题二（含
答案）
如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C 两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB和抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD＝S△OBC？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点D的坐标．
【答案】（1）a＝1，y＝x
2；（2）点D坐标为(或(
【解析】
【分析】
（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=ax+b，可求直线解析式；将B（1，1）代入抛物线y=ax2可求抛物线解析式；
（2）已知A，B，C三点坐标，根据作差法可求△OBC的面积，在△DOA 中，已知面积和底OA，可求OA上的高，即D点纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标，得出D点坐标．
【详解】
解：（1）设直线AB关系式为y＝kx+b△A（2，0），B（1，1）都在直线y ＝kx+b的图象上，
△02k b 1k b =+⎧⎨=+⎩
解得12k b =-⎧⎨=⎩
， △直线AB 关系式为y ＝﹣x +2，
△点B （1，1）在y ＝ax 2的图象上，
△a ＝1，其关系式为y ＝x 2；
（2）如图，存在点D ，设D （x ，x 2），
△2211||222
OAD D S OA y x x =⋅=⨯⋅= 由题意得22y x y x
=-+⎧⎨=⎩， 解得1111x y =⎧⎨=⎩或22
24x y =-⎧⎨=⎩， △C （﹣2，4）， △112421322
BOC AOC OAB S S S =-=⨯⨯-⨯⨯
=， △S △BOC ＝S △OAD ，
△x
2＝3，
解得x =
△点D 坐标为(或．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法，一次函数与二次函数的交点，坐标与图形的性质，要求会用点的坐标表示三角形的面积，从而求出符合条件的点坐标．
102．如图，直线l：y1＝﹣5
4x﹣1与y轴交于点A，一次函数y2＝3
4
x+3
图象与y轴交于点B，与直线l交于点C，
(1)画出一次函数y2＝3
4
x+3的图象；
(2)求点C坐标；
(3)如果y1＞y2，那么x的取值范围是______．
【答案】(1)画图见解析；(2)点C坐标为(﹣2，3
2
)；(3)x＜﹣2．【解析】
【分析】
（1）分别求出一次函数y2＝3
4
x+3与两坐标轴的交点，再过这两个交点画直线即可；
（2）将两个一次函数的解析式联立得到方程组
5
1
4
3
3
4
y x
y x
⎧
=--
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，解方程组即
可求出点C坐标；
（3）根据图象，找出y1落在y2上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】
解：(1)∵y2＝3
4
x+3，
∴当y2＝0时，3
4
x+3＝0，解得x＝﹣4，
当x＝0时，y2＝3，
∴直线y2＝3
4
x+3与x轴的交点为(﹣4，0)，与y轴的交点B的坐标为
(0，3)．
图象如下所示：
(2)解方程组
5
1
4
3
3
4
y x
y x
⎧
=--
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，得
2
3
2
x
y
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
则点C坐标为(﹣2，3
2
)；
(3)如果y1＞y2，那么x的取值范围是x＜﹣2．
故答案为(1)画图见解析；(2)点C坐标为(﹣2，3
2
)；(3)x＜﹣2．【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质，两直线交点坐标的求法，一次函数与一元一次不等式，需熟练掌握．
103．一次函数的图象经过点A（3，7）和B（0，﹣2）两点．
（1）求出该一次函数的解析式；
（2）判断点（1
3
，﹣1）是否在这个函数的图象上？
【答案】（1）y＝3x﹣2；（2）（1
3
，﹣1）在这个函数的图象上．【解析】
【分析】
（1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b，再把点A （3，7）和B （0，−2）代入，可得关于k、b的方程组，解方程组可得k、b的值，进而可得函数解析式；
（2）把x的值代入函数解析式，算出y＝1，则在此函数图象上．
【详解】
（1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
∵过点A （3，7）和B （0，−2）两点，
∴
73
2
k b
b
=+
⎧
⎨
-=
⎩
，解得：
3
2
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴此一次函数解析式为y＝3x−2；
（2）当x＝1
3时，y＝3×1
3
−2＝−1，
∴点（1
3
，−1）在这个函数的图象上．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
104．如图，已知()3, 3P ,点B A 、
分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，90APB ︒∠=，试求OA OB +的值.
【答案】6
【解析】
【分析】
过P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥x 轴于N ，得出四边形PMON 是正方形，推出OM ＝OM ＝ON ＝PN ＝3，证△APM ≌△BPN ，推出AM ＝BN ，求出OA ＋OB ＝ON ＋OM ，代入求出即可．
【详解】
解:过P 作PM y ⊥轴于,M PN x ⊥轴于,
()3,3P ,
3PN PM ∴==, x 轴y ⊥轴,
90MON PNO PMO ︒∴∠=∠=∠=,
36090909090MPN ︒︒︒∴∠=---=,
则四边形PMON 是正方形，
3,OM ON PN PM ∴====
90APB ︒∠=,
APB MON ∴∠=∠,
90,90MPA APN BPN APN ︒︒∴∠=-∠∠=-∠,
APM BPN ∴∠=∠,
在APM ∆和BPN ∆中
APM BPN PM PN
PMA PNB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ()APM BPN ASA ∴∆∆≌,
AM BN ∴=,
OA OB ∴+
OA ON BN =++
OA ON AM =++
ON OM =+
33=+
6=,
故答案为: 6.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，解题的关键是推出AM ＝BN 和推出OA ＋OB ＝OM ＋ON ．
105．如图，直线AB ：y=-x-b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且OB ：OC=3：1．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交ｙ轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）y＝3x＋6（2）K点的位置不发生变化，K（0，−6），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设BC的解析式是y＝ax＋c，由直线AB：y＝−x−b过A（6，0），可以求出b，因此可以求出B点的坐标，再由已知条件可求出C点的坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；
（2）过Q作QH⊥x轴于H，首先证明△BOP≌△PHQ，再分别证明△AHQ 和△AOK为等腰直角三角形，问题得解．
【详解】
（1）由已知：0＝−6−b，
∴b＝−6，
∴AB：y＝−x＋6．
∴B（0，6），
∴OB＝6，
∵OB：OC＝3：1，OC＝
3
OB＝2，
∴C（−2，0），
设BC的解析式是y＝ax＋c，代入得
60
02
a c
a c
=⨯+
⎧
⎨
=-+
⎩
，
解得：
3
6
a
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC的解析式是：y＝3x＋6；（2）K点的位置不发生变化，K（0，−6）．过Q作QH⊥x轴于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ＝90°，PB＝PQ，
∵∠BOA＝∠QHA＝90°，
∴∠BPO＝∠PQH，
∴△BOP≌△PHQ，
∴PH＝BO，OP＝QH，
∴PH＋PO＝BO＋QH，
即OA＋AH＝BO＋QH，
又OA＝OB，
∴AH＝QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH＝45°，
∴∠OAK＝45°，
∴△AOK为等腰直角三角形，
∴OK＝OA＝6，
∴K（0，−6）．
【点睛】
此题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和全等三角形的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确求解析式以及借助于函数图象全面的分析问题．
106．已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24 ），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）.
(1)求直线l1，l2的表达式；
(2)点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF.
①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；
②若矩形CDEF的面积为60，请直接写出此时点C的坐
标．
【答案】（1）l 1的表达式为y=13
x ，l 2的表达式为=－x+24，(2)①D （3a ， －3a ＋24）②C （3， 1） 或C(15， 5)
【解析】
解：（1）设直线l 1的表达式为y=k 1x ，∵直线l 1过B （18， 6），
∵18k 1=6 ，即k 1=13
． ∵直线l 1的表达式为y=13
x ． 设直线l 2的表达式为y=k 2x+b ，∵直线l 2过A （0， 24）， B(18， 6)，
∵2b 24{18k b 6
=+=解得2k 1{b 2=-= y ∵直线l 2的表达式为=－x+24．
（2） ①∵点C 在直线l 1上， 且点C 的纵坐标为a ，
∵a=x ，得x=3a ． ∵点C 的坐标为 （3a ， a ）．
∵CD ∵y 轴，∵点D 的横坐标为3a ．
∵点D 在直线l 2上 ，∵y=－3a+24．∵D （3a ， －3a ＋24）．
②C（3，1）或C(15，5)．
（1）设直线l1的表达式为y=k1x，它过（18，6）可求出k1的值，从而得出其解析式；设直线l2的表达式为y=k2+b，由于它过点A（0，24），B（18，6），故把此两点坐标代入即可求出k2，b的值，从而得出其解析式．（2）①因为点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a，故把y=a代入直线l1的表达式即可得出x的值，从而得出C点坐标；由于CD∵y轴，所以点D的横坐标为3a，再根据点D在直线l2上即可得出点D的纵坐标，从而得出结论．
②先根据C、D两点的坐标用a表示出CF及CD的值，由矩形的面积为60即可求出a的值，得出C点坐标：
∵C（3a，a），D（3a，－3a＋24），∵CF=3a，CD=－3a＋24－a=－4a＋24．
∵矩形CDEF的面积为60，∵S矩形CDEF=CF•CD=3a×（－4a+24）=60，解得a=1或a=5
当a=1是，3a=3，故C（3，1）；当a=5时，3a=15，故C（15，5）．综上所述C点坐标为：C（3，1）或C（15，5）．
107．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点．求该图象与x轴交点的坐标.
【答案】（-2，0）
【解析】
【分析】
用待定系数法求出一次函数的函数解析式，令0
y ，代入函数解析式，解一元一次方程，即可.
【详解】
∵一次函数y =kx +b 的图象经过M （0，2），（1，3）两点，
把M （0，2），（1，3）代入y =kx +b ，得：23b k b =⎧⎨=+⎩
，解得：12k b =⎧⎨=⎩ ， ∴2y x =+，
把0y =，代入2y x =+，得：02x =+，解得：2x =-
∴该图象与x 轴交点的坐标.是（-2，0）
【点睛】
主要考查待定系数法；一元一次函数的图象是一条直线，直线与坐标轴的交点是直线上的两个特殊点，是考试的重点.
108．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数3233
y x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处，折痕交x 轴于点E ．
（1）求直线BE 的解析式；
（2）求点D 的坐标；
【答案】(1)直线BE 的解析式为(2)D(-3
【解析】
【分析】
(1)先求出点A、B的坐标，继而根据勾股定理求出AB的长，根据折叠可得BD=BO，DE=OE，从而可得AD的长，设DE=OE=m，则AE=OA-m，在直角三角形AED中利用勾股定理求出m，从而得点E坐标，继而利用待定系数法进行求解即可；
(2)过点D作DM⊥AO，垂足为M，根据三角形的面积可求得DM的长，继而可求得点D的坐标.
【详解】
(1)3
23
y x，令x=0，则，
3
令y=0，则3
023
x，解得：x=-6，
∴A(-6，0)，B(0，2)，
∴OA=6，
∴
∵折叠，
∴∠BDE=∠BOA=90°，DE=EO，，
∴∠ADE=90°，
设DE=EO=m，则AE=AO-OE=6-m，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
即(6-m)
2=m22，
解得：m=2，
∴OE=2，
∴E(-2，0)，
设直线BE的解析式为：y=kx+b，
把B、E
坐标分别代入得：
20
b
k b
⎧=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
，
解得：
k b ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
∴直线BE的解析式为
(2)过点D作DM⊥AO，垂足为M，由(1)DE=2，AE=AO-OE=4，
∵S△ADE=11
22
AD DE AE DM
=
，
即11
24
22
DM
⨯=⨯
，
∴
∴点D
把323
y
x，得
3
23
x，
解得：x=-3
，
∴D(-3
).
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，点的坐标等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键.注意
数形结合思想的运用.
109．小明同学骑自行车去郊外春游，下图是表示他离家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答小明到达离家最远的地方需_____ 小时，此时离家____ 千米；
（2）求小明出发2.5小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？
【答案】（1）3，30；（2）出发2.5小时，小明离家22.5千米；（3）小明
出发26
5小时或4
5
小时距离家12千米.
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的图象上点的坐标的意义可知：小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米；
（2）因为C（2，15）、D（3，30）在直线上，运用待定系数法求出解析式后，把x=2.5代入解析式即可；
（3）分别利用待定系数法求得过E、F两点的直线解析式，以及A、B两点的直线解析式．分别令y=12，求解x即可．
【详解】（1）观察图象可知小明到达离家最远的地方需3小时，此时离家30千米，
故答案为：3，30；
（2）设直线CD 的解析式为11y k x b =+
把()()C 2,15,D 3,30 分别代入得1111215330k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：11
1515k b =⎧⎨=-⎩， 所以，()y 15x 152x 15=-≤≤，
当x 2.5=时，y 22.5=，
∴出发2.5小时，小明离家22.5千米；
（3）设过E F 、两点的直线的解析式为22y k x b =+ ，
将()()E 4,30,F 6,0分别代入得222243060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：22
1590k b =-⎧⎨=⎩， 所以，()y 15x 904x 60=-+≤≤，
令y 12= ，15x 9012-+=，解得：26x 5
=； 设过A 、B 两点的直线解析式为3y k x = ，
把()B 1,15代入得：15=1×k 3，解得：k 3=15， ∴()y 15x 0x 1=≤≤，
令y 12= ，即5x 12=，解得：4 x 5
= ， ∴小明出发265小时或45
小时距离家12千米. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，需要有一定的建模能力以及
读图能力，解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
110．小钉从某超市获得关于销售甲，乙两种品牌洗手液的信息如下：①甲洗手液的进价为12元/瓶，每瓶利润不得高于进价的40%．②乙洗手液每瓶的利润保持不变．③当甲、乙两种洗手液每瓶的利润相同时，销售甲可获利150元．④甲洗手液的日均销售量y 瓶与每瓶售价x 元的关系如下：
请根据以上信息，解决以下问题：
（1）利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式．
（2）求乙洗手液每瓶的利润为多少元？
（3）据了解，该超市销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和不少于380元，请问该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共多少瓶？
【答案】（1）y= -10x+200（12≤x≤16.8）；（2）3元；（3）114瓶．
【解析】
【分析】
（1）设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）设日均利润为w元，销售乙洗手液m瓶．得到w=-10（x-16）2+160+3m，当x=16时，取得日均利润和为最大值，于是得到结论．
【详解】
解：：（1）∵x，y的关系是y随x的增大线性减小，描点可知为直线，
设y=kx+b，过点（13，70），（14，60），
13701460k b k b +=⎧⎨+=⎩
解得10k =-，b=200
y= -10x+200 （12≤x ≤16.8）
经验证（13.5，65），（15.5，45）也符合该解析式
(2)由题意可得：()()1210200150x x --+=
解得x 1=15，x 2=17(不合题意，舍去)
答：乙每瓶得利润为3元．
(3)设日均利润为w 元，销售乙洗手液m 瓶．
w =(﹣10x+200)(x-12) +3m
=﹣10x 2+320x-2400+3m
=﹣10(x-16)2+160+3m
∵ ﹣10<0，12≤x ≤16.8，
当x=16时，取得日均利润和为最大值，380≤160+3m ， 2203
m ≥
m 是整数，m=74，
当x=16时，﹣10x+200=40
答：甲，乙两种洗手液至少销售114瓶．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。