海水运动基本方程
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– 属于表面力，是运动派生的力 – 单位面积的切应力与界面（两层流体之间）法 向上的速度梯度成正比
v dV τ =µ dn
– 其中
µ 为动力的分子粘性系数 动力的分子粘性系数，单位N·s·m-2 动力的分子粘性系数
• 设海水只沿x方向运动， 且只在z方向上存在速度 梯度 • 立方体侧向四个面的切应 力为0，上下两面受到的 总应力为：
v v a = F /m
牛顿定律—经典力学 惯性坐标系 牛顿定律 经典力学—惯性坐标系 经典力学
二、描述海水运动的坐标系
• 1. 惯性坐标系 什么是惯性坐标系？ 固定在地球上的坐标系是惯性坐标 系吗？ • 符合惯性定律的参照系称为惯性参考 系。固定在惯性参考系上的坐标，即 惯性坐标系 • 固定在地球上的坐标系称为旋转坐标 系，是非惯性坐标系，牛顿定律不成 立。
第一节 海水的运动方程
• • • • • • 一、海水运动的出发点 二、描述海水运动的坐标系 三、作用在海水微团上的外力 四、运动方程的向量形式 五、秋坐标系下运动方程的标量形式 六、直角坐标系下的运动方程
一、海水运动方程的出发点
• 海水微团 • 质点运动学和动力学 • 牛顿定律
– 物质具有保持其速度不变的性质—惯性 — – 力是产生加速度的原因
L2
惯性离心力
地球绕地月 公共质点O 公共质点 平动公转
单位质量的 惯性离心力
v D 2v 2 N = ω 0 r0 = ω 0 r0 ( ) D
地球上各点所 受到的公转惯 性离心力大小 和方向都相同
在地球质心， 在地球质心，所 受月球引力与惯 性离心力大小相 等，方向相反
公转惯性离心力
•
在地-月系中，地球除了自转运动外，还绕地月公共质心公转，这种公转为 公转平动。地球绕地月公共质心公转平动的结果，使得地球(表面或内部)各质 点都受到大小相等、方向相同的公转惯性离心力的作用。此公转惯性离心力 的方向相同且与从月球中心至地球中心联线的方向相同(即方向都背离月球， 见图7—5中彼此平行的实矢量)，大小为 KM Fc = 2 D 式中M为月球的质量，K是万有引力常数，D为月地中心距离
（4-8）
v R=
v r v v v r cos ϕ r = r海表面 + z ( ) r
z<0
g (ϕ , z ) = g c + δg (ϕ , z ) = 9.80616 − 0.025928 cos 2ϕ + 0.00069 cos 2 2ϕ − 0.0000003086 z
（ms-2）
• 位势力：若某力对物体做的功与物体运动的路径 位势力 无关，只决定于物体的初始位置和终止位置。 v • 位势力 位势 位势力和位势 位势的关系： Fp = −∇φ
ϕ M = ϕ1 + ϕ 2 = − KM M ( −
1 L M 1 ) + K M r cos θ D D2
1 1 r = − KM M ( − − 2 cos θ ) L D D
（4-16）
对P点，单位质量所受太阳引潮势 太阳引潮势： 太阳引潮势
•
。
• 对任一点P： v v MM L K ( P) = − K 2 ( ) 引力： L v L MM D 离心力： v
N=Kv v v 引潮力： F 来自 N + K (P) M
( ) D D
2
对地球质心E： v v M D K (E) = −K M ( ) （4-14） 引力： D2 D v v 离心力： N = K M M ( D )（4-13）
• 性质 性质：
– 大小：
（4-10）
v v v F3 = 2 Ω ⋅ V ⋅ sin ϕ
– 科氏力的方向始终垂直于角速度和质点的运动方向。 – 在北半球，科氏力的水平分量总是指向运动右方。
3.压强梯度力 压强梯度力 • 定义 定义：单位质量水体所受的静压力的合力
– 在x方向上压力的合力
∂p 1 p + ∂x (− 2 δx) ⋅ δyδz ∂p 1 − p + ( δx) ⋅ δyδz ∂x 2
温度盐度密度压强第一节海水运动方程第二节海水层流运动基本方程组第三节边界条件第四节时间平均的基本方程和边界条件第五节铅直向平均的基本方程第六节基本方程的尺度分析和简化力是产生加速度的原因牛顿定律经典力学惯性坐标系惯性坐标系什么是惯性坐标系
第四章 海水运动基本方程
引言
• 一、研究对象：海水运动 • 二、研究目的
∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v µ Fy = µ 2 + 2 + 2 = ∆v ρ ∂x ∂y ∂z ρ 1 ∂2w ∂2w ∂2w µ Fz = µ 2 + 2 + 2 = ∆w ρ ∂x ∂y ∂z ρ 1
拉普拉斯算子
∂2 ∂2 ∂2 ∆= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
1
r2
r
K 为引力常数：6.6720×10-11Nm2kg-2
• 惯性离心力：与地球自转有关的惯性力，是为在旋转坐标 惯性离心力 系中应用牛顿第二定律而附加的力。方向垂直地轴，由地 轴指向海水微团 v v 2 F2 = Ω R （4-7）
• 重力加速度
单位质量物体所受重力
v v v v v 2 g = F1 + F2 = G + Ω R v v ME r 2 = −K 2 ( ) + Ω R r r
惯性力 单位质量 科氏力 惯性 水体所受合力 离心力
（4-5b）
运动的海水微团所受的力
• 重力 重力（地球引力，惯性离心力），科氏力 科氏力（地转偏向力）， 科氏力 压强梯度力，摩擦力 摩擦力，引潮力 压强梯度力 摩擦力 引潮力 • 分类1：
– 引起海水运动的力 – 海水运动后派生的力
• 分类2：
v v µ v F5 = ∆ V = γ∆ V （4-12）
ρ
其中 为： 运动的分子粘性系数 单位：m2·s-1
γ =
µ ρ
5. 引潮力
• 天体引潮力 天体引潮力：主要包括月球引潮力和太阳引潮力。 • 月球引潮力：地球绕地月公共质心公转所产生的公转惯性 月球引潮力 离心力和月球引力的合力。 • 月球引力 月球引力：地球上任意点单位质量的物体所受的月球引力方 向为从物体所在位置指向月球中心，大小为： KM m
– 质量力 质量力（体积力）：作用在组成海水微团的所有质量上，与海水微团 质量或者体积成比例，与海水微团质量或体积成正比，而与海水微团 以外的海水介质的存在无关。 – 表面力 表面力：周围海水介质作用于海水微团表面上的力，与作用面积大小 成比例。
1.重力 重力
• 重力 重力：地心引力与地球自转产生的惯性离心力的合力 • 地球引力 地球引力：地心对地球表面单位质量的海水微团的引力， 由海水微团指向地心。 v v v M E r （4-6） F = G = −K ( )
(τ 2 − τ 1 )δ x δ y
v dV du τ =µ =µ dn dz
∂ ∂u Fx = ( µ ) ∂z ∂z
• 单位体积海水微团在x方 向上所受应力合力为：
(τ
2
− τ 1 )δ x δ y τ 2 −τ1 = δxδyδz δz
• 若分子粘性系数为常量，单位质量海水微团在x方向上受到 的应力合力为： 1 ∂ 2u Fx = µ 2 ρ ∂z • 若海水微团在各个方向上都有速度，并都有速度梯度，单 位质量海水微团受的应力合力的三个分量为： 单位质量海水微团受的 1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u µ Fx = µ 2 + 2 + 2 = ∆u 摩擦力的矢量形式 ρ ∂x ∂y ∂z ρ
• 重力和重力位势的关系
v g = −∇φ = −∇φ g − ∇φe
（4-9）
2.科氏力（地转偏向力） 科氏力（地转偏向力） 科氏力
• 定义：与地球自转有关的惯性力。当质点以一定 定义 速度相对于旋转坐标系（非惯性坐标系）运动时， 才产生。
– 单位质量物体所受到科氏力：
v v v F3 = −2Ω × V
绝对 相对 科里奥利 向心
三、作用在海水微团上的外力
•
v v 根据牛顿第二定律 a = ∑ Fi 牛顿第二定律： 牛顿第二定律
i v v v v v v d a v a dv 2 = + 2Ω × v − Ω R = ∑ Fi dt dt i
（4-5a）
在旋转坐标系 旋转坐标系下： 旋转坐标系
v v v v v dv 2 = ∑ Fi − 2Ω × v + Ω R dt i
哈密顿算符
∇= ∂ ∂ ∂ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
• 地球引力和惯性离心力都是位势力
v ME r ME +c – 地球引力位势 ∇φ g = k 2 ( ) ⇒ φ g = − k r r r v 1 2 2 2 – 惯性离心力位势 ∇φe = −Ω R ⇒ φe = − Ω R + c 2
对任意向量都成立
v v d a A dA v v （4-3） = + Ω× A dt dt v d a va d a v v v d v v v v v v v = ( v + Ω × r ) = (v + Ω × r ) + Ω × (v + Ω × r ) dt dt dt
v v v v v d a v a dv 2 = + 2Ω × v − Ω R （4-4） dt dt
∂p v ∂p v ∂p v − ∂ x i + ∂ y j + ∂ z k δ x δ y δ z = −∇ p ⋅ δ x δ y δ z
性质： 性质：
ρ
1）压强梯度力与等压面垂直，指向压力减小的方向； 2）压强梯度力是产生运动的力。
4.摩擦力（分子粘性力，切应力） 摩擦力（分子粘性力，切应力） 摩擦力 • 定义 定义：当两层流体做相对运动时，由于分 子粘性在其界面上产生的一种切向作用力。 • 性质 性质：
D2 D
v v 引潮力：v = N + K ( E ) = 0 FM
地球上任一点P所受到月球的引潮力为：
v v v 1 D 1 L FM = KM M ( 2 − 2 ) D D L L
（4-15）
• 引潮势： 引潮势：
对P点，单位质量所受的月球引力 v 月球引力的势： 月球引力 v v v MM L MM ϕ1 = − ∫ K ( P) ⋅ dL = ∫ K 2 ( ) ⋅ dL = − K + c1 L L L 设地心处位势为0，则 ϕ1 = − KM M ( 1 − 1 )
'' ' '' '
v v v v ⇒ va = v + Ω × r （4-1）
v v v d a r dr v = + Ω×r dt dt da d v = + Ω × （4-2） dt dt
v v v v v ve = Ω × R = Ω × r
3.旋转坐标下的加速度 旋转坐标下的加速度
da d v • 可以证明： dt = dt + Ω ×
2. 旋转坐标系下的速度
v • 在惯性坐标系 O − XYZ 中，观测的绝对位移为： ' ' = v a δ t PP v ' '' P • 在旋转坐标系 o − xyz 中，观测的相对位移为： P = v δt
v v v v v v PP = P P + PP ⇒ vaδt = v δt + veδt ⇒ va = v + ve
L D
对P点，单位质量所受的惯性离心力的势 v v v MM D MM v ϕ 2 = − ∫ N ⋅ dr = − ∫ K 2 ( ) ⋅ dr = K 2 r cos θ + c2 D D D 设地心处的势为0，则 M ϕ 2 = K M r cosθ 2
D
对P点，单位质连所受月球引潮势 月球引潮势： 月球引潮势
∂p = − δxδyδz ∂x
– 在x方向上压力的合力： – 在y方向上压力的合力： – 在z方向上压力的合力：
作用在整个海水微团上的压力合力： 整个海水微团上的压力合力 作用在整个海水微团上的压力合力
−
∂p δxδyδz ∂x ∂p − δx δyδ z ∂y ∂p − δxδyδz ∂z
v 1 作用在单位质量上的压强梯度力： F4 = − ∇p （4-11） 作用在单位质量上的压强梯度力
– 如何描述海水的运动 – 海水的运动是如何产生的 – 对不同形式的海水运动，哪些影响因子至关重要
• 三、描述海水运动状态和变化的基本变量 – 矢量场：速度（ u , v, w ）
– 标量场：温度 θ 、盐度
S
、密度 ρ 、压强 p
• 四、研究方法：数学物理方法
• • • • • •
第一节 海水运动方程 第二节 海水层流运动基本方程组 第三节 边界条件 第四节 时间平均的基本方程和边界条件 第五节 铅直向平均的基本方程 第六节 基本方程的尺度分析和简化
v dV τ =µ dn
– 其中
µ 为动力的分子粘性系数 动力的分子粘性系数，单位N·s·m-2 动力的分子粘性系数
• 设海水只沿x方向运动， 且只在z方向上存在速度 梯度 • 立方体侧向四个面的切应 力为0，上下两面受到的 总应力为：
v v a = F /m
牛顿定律—经典力学 惯性坐标系 牛顿定律 经典力学—惯性坐标系 经典力学
二、描述海水运动的坐标系
• 1. 惯性坐标系 什么是惯性坐标系？ 固定在地球上的坐标系是惯性坐标 系吗？ • 符合惯性定律的参照系称为惯性参考 系。固定在惯性参考系上的坐标，即 惯性坐标系 • 固定在地球上的坐标系称为旋转坐标 系，是非惯性坐标系，牛顿定律不成 立。
第一节 海水的运动方程
• • • • • • 一、海水运动的出发点 二、描述海水运动的坐标系 三、作用在海水微团上的外力 四、运动方程的向量形式 五、秋坐标系下运动方程的标量形式 六、直角坐标系下的运动方程
一、海水运动方程的出发点
• 海水微团 • 质点运动学和动力学 • 牛顿定律
– 物质具有保持其速度不变的性质—惯性 — – 力是产生加速度的原因
L2
惯性离心力
地球绕地月 公共质点O 公共质点 平动公转
单位质量的 惯性离心力
v D 2v 2 N = ω 0 r0 = ω 0 r0 ( ) D
地球上各点所 受到的公转惯 性离心力大小 和方向都相同
在地球质心， 在地球质心，所 受月球引力与惯 性离心力大小相 等，方向相反
公转惯性离心力
•
在地-月系中，地球除了自转运动外，还绕地月公共质心公转，这种公转为 公转平动。地球绕地月公共质心公转平动的结果，使得地球(表面或内部)各质 点都受到大小相等、方向相同的公转惯性离心力的作用。此公转惯性离心力 的方向相同且与从月球中心至地球中心联线的方向相同(即方向都背离月球， 见图7—5中彼此平行的实矢量)，大小为 KM Fc = 2 D 式中M为月球的质量，K是万有引力常数，D为月地中心距离
（4-8）
v R=
v r v v v r cos ϕ r = r海表面 + z ( ) r
z<0
g (ϕ , z ) = g c + δg (ϕ , z ) = 9.80616 − 0.025928 cos 2ϕ + 0.00069 cos 2 2ϕ − 0.0000003086 z
（ms-2）
• 位势力：若某力对物体做的功与物体运动的路径 位势力 无关，只决定于物体的初始位置和终止位置。 v • 位势力 位势 位势力和位势 位势的关系： Fp = −∇φ
ϕ M = ϕ1 + ϕ 2 = − KM M ( −
1 L M 1 ) + K M r cos θ D D2
1 1 r = − KM M ( − − 2 cos θ ) L D D
（4-16）
对P点，单位质量所受太阳引潮势 太阳引潮势： 太阳引潮势
•
。
• 对任一点P： v v MM L K ( P) = − K 2 ( ) 引力： L v L MM D 离心力： v
N=Kv v v 引潮力： F 来自 N + K (P) M
( ) D D
2
对地球质心E： v v M D K (E) = −K M ( ) （4-14） 引力： D2 D v v 离心力： N = K M M ( D )（4-13）
• 性质 性质：
– 大小：
（4-10）
v v v F3 = 2 Ω ⋅ V ⋅ sin ϕ
– 科氏力的方向始终垂直于角速度和质点的运动方向。 – 在北半球，科氏力的水平分量总是指向运动右方。
3.压强梯度力 压强梯度力 • 定义 定义：单位质量水体所受的静压力的合力
– 在x方向上压力的合力
∂p 1 p + ∂x (− 2 δx) ⋅ δyδz ∂p 1 − p + ( δx) ⋅ δyδz ∂x 2
温度盐度密度压强第一节海水运动方程第二节海水层流运动基本方程组第三节边界条件第四节时间平均的基本方程和边界条件第五节铅直向平均的基本方程第六节基本方程的尺度分析和简化力是产生加速度的原因牛顿定律经典力学惯性坐标系惯性坐标系什么是惯性坐标系
第四章 海水运动基本方程
引言
• 一、研究对象：海水运动 • 二、研究目的
∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v µ Fy = µ 2 + 2 + 2 = ∆v ρ ∂x ∂y ∂z ρ 1 ∂2w ∂2w ∂2w µ Fz = µ 2 + 2 + 2 = ∆w ρ ∂x ∂y ∂z ρ 1
拉普拉斯算子
∂2 ∂2 ∂2 ∆= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
1
r2
r
K 为引力常数：6.6720×10-11Nm2kg-2
• 惯性离心力：与地球自转有关的惯性力，是为在旋转坐标 惯性离心力 系中应用牛顿第二定律而附加的力。方向垂直地轴，由地 轴指向海水微团 v v 2 F2 = Ω R （4-7）
• 重力加速度
单位质量物体所受重力
v v v v v 2 g = F1 + F2 = G + Ω R v v ME r 2 = −K 2 ( ) + Ω R r r
惯性力 单位质量 科氏力 惯性 水体所受合力 离心力
（4-5b）
运动的海水微团所受的力
• 重力 重力（地球引力，惯性离心力），科氏力 科氏力（地转偏向力）， 科氏力 压强梯度力，摩擦力 摩擦力，引潮力 压强梯度力 摩擦力 引潮力 • 分类1：
– 引起海水运动的力 – 海水运动后派生的力
• 分类2：
v v µ v F5 = ∆ V = γ∆ V （4-12）
ρ
其中 为： 运动的分子粘性系数 单位：m2·s-1
γ =
µ ρ
5. 引潮力
• 天体引潮力 天体引潮力：主要包括月球引潮力和太阳引潮力。 • 月球引潮力：地球绕地月公共质心公转所产生的公转惯性 月球引潮力 离心力和月球引力的合力。 • 月球引力 月球引力：地球上任意点单位质量的物体所受的月球引力方 向为从物体所在位置指向月球中心，大小为： KM m
– 质量力 质量力（体积力）：作用在组成海水微团的所有质量上，与海水微团 质量或者体积成比例，与海水微团质量或体积成正比，而与海水微团 以外的海水介质的存在无关。 – 表面力 表面力：周围海水介质作用于海水微团表面上的力，与作用面积大小 成比例。
1.重力 重力
• 重力 重力：地心引力与地球自转产生的惯性离心力的合力 • 地球引力 地球引力：地心对地球表面单位质量的海水微团的引力， 由海水微团指向地心。 v v v M E r （4-6） F = G = −K ( )
(τ 2 − τ 1 )δ x δ y
v dV du τ =µ =µ dn dz
∂ ∂u Fx = ( µ ) ∂z ∂z
• 单位体积海水微团在x方 向上所受应力合力为：
(τ
2
− τ 1 )δ x δ y τ 2 −τ1 = δxδyδz δz
• 若分子粘性系数为常量，单位质量海水微团在x方向上受到 的应力合力为： 1 ∂ 2u Fx = µ 2 ρ ∂z • 若海水微团在各个方向上都有速度，并都有速度梯度，单 位质量海水微团受的应力合力的三个分量为： 单位质量海水微团受的 1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u µ Fx = µ 2 + 2 + 2 = ∆u 摩擦力的矢量形式 ρ ∂x ∂y ∂z ρ
• 重力和重力位势的关系
v g = −∇φ = −∇φ g − ∇φe
（4-9）
2.科氏力（地转偏向力） 科氏力（地转偏向力） 科氏力
• 定义：与地球自转有关的惯性力。当质点以一定 定义 速度相对于旋转坐标系（非惯性坐标系）运动时， 才产生。
– 单位质量物体所受到科氏力：
v v v F3 = −2Ω × V
绝对 相对 科里奥利 向心
三、作用在海水微团上的外力
•
v v 根据牛顿第二定律 a = ∑ Fi 牛顿第二定律： 牛顿第二定律
i v v v v v v d a v a dv 2 = + 2Ω × v − Ω R = ∑ Fi dt dt i
（4-5a）
在旋转坐标系 旋转坐标系下： 旋转坐标系
v v v v v dv 2 = ∑ Fi − 2Ω × v + Ω R dt i
哈密顿算符
∇= ∂ ∂ ∂ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
• 地球引力和惯性离心力都是位势力
v ME r ME +c – 地球引力位势 ∇φ g = k 2 ( ) ⇒ φ g = − k r r r v 1 2 2 2 – 惯性离心力位势 ∇φe = −Ω R ⇒ φe = − Ω R + c 2
对任意向量都成立
v v d a A dA v v （4-3） = + Ω× A dt dt v d a va d a v v v d v v v v v v v = ( v + Ω × r ) = (v + Ω × r ) + Ω × (v + Ω × r ) dt dt dt
v v v v v d a v a dv 2 = + 2Ω × v − Ω R （4-4） dt dt
∂p v ∂p v ∂p v − ∂ x i + ∂ y j + ∂ z k δ x δ y δ z = −∇ p ⋅ δ x δ y δ z
性质： 性质：
ρ
1）压强梯度力与等压面垂直，指向压力减小的方向； 2）压强梯度力是产生运动的力。
4.摩擦力（分子粘性力，切应力） 摩擦力（分子粘性力，切应力） 摩擦力 • 定义 定义：当两层流体做相对运动时，由于分 子粘性在其界面上产生的一种切向作用力。 • 性质 性质：
D2 D
v v 引潮力：v = N + K ( E ) = 0 FM
地球上任一点P所受到月球的引潮力为：
v v v 1 D 1 L FM = KM M ( 2 − 2 ) D D L L
（4-15）
• 引潮势： 引潮势：
对P点，单位质量所受的月球引力 v 月球引力的势： 月球引力 v v v MM L MM ϕ1 = − ∫ K ( P) ⋅ dL = ∫ K 2 ( ) ⋅ dL = − K + c1 L L L 设地心处位势为0，则 ϕ1 = − KM M ( 1 − 1 )
'' ' '' '
v v v v ⇒ va = v + Ω × r （4-1）
v v v d a r dr v = + Ω×r dt dt da d v = + Ω × （4-2） dt dt
v v v v v ve = Ω × R = Ω × r
3.旋转坐标下的加速度 旋转坐标下的加速度
da d v • 可以证明： dt = dt + Ω ×
2. 旋转坐标系下的速度
v • 在惯性坐标系 O − XYZ 中，观测的绝对位移为： ' ' = v a δ t PP v ' '' P • 在旋转坐标系 o − xyz 中，观测的相对位移为： P = v δt
v v v v v v PP = P P + PP ⇒ vaδt = v δt + veδt ⇒ va = v + ve
L D
对P点，单位质量所受的惯性离心力的势 v v v MM D MM v ϕ 2 = − ∫ N ⋅ dr = − ∫ K 2 ( ) ⋅ dr = K 2 r cos θ + c2 D D D 设地心处的势为0，则 M ϕ 2 = K M r cosθ 2
D
对P点，单位质连所受月球引潮势 月球引潮势： 月球引潮势
∂p = − δxδyδz ∂x
– 在x方向上压力的合力： – 在y方向上压力的合力： – 在z方向上压力的合力：
作用在整个海水微团上的压力合力： 整个海水微团上的压力合力 作用在整个海水微团上的压力合力
−
∂p δxδyδz ∂x ∂p − δx δyδ z ∂y ∂p − δxδyδz ∂z
v 1 作用在单位质量上的压强梯度力： F4 = − ∇p （4-11） 作用在单位质量上的压强梯度力
– 如何描述海水的运动 – 海水的运动是如何产生的 – 对不同形式的海水运动，哪些影响因子至关重要
• 三、描述海水运动状态和变化的基本变量 – 矢量场：速度（ u , v, w ）
– 标量场：温度 θ 、盐度
S
、密度 ρ 、压强 p
• 四、研究方法：数学物理方法
• • • • • •
第一节 海水运动方程 第二节 海水层流运动基本方程组 第三节 边界条件 第四节 时间平均的基本方程和边界条件 第五节 铅直向平均的基本方程 第六节 基本方程的尺度分析和简化