北师大版高中数学必修一课时跟踪检测：第一章 §1 集合的含义与表示(一)

第一章§1 集合的含义与表示(一)
课时跟踪检测
一、选择题
1．下列各组对象构成集合的有()
①北大附中2017届新生中比较高的同学；②北大附中2017届新生中身高不低于170 cm的同学；③(2 017，2 018)与(2 018,2 017)；④1,2,3,1.
A．1组B．2组
C．3组D．4组
解析：①中“比较高”不是一个明确的标准，不具有确定性，所以不能构成集合；②中“身高不低于170 cm”是一个明确的标准，所以能构成集合；③中是两个不同的有序实数对，能构成集合；④中1,2,3,1能构成集合，但集合中只含有3个元素．
答案：C
2．集合A由实数1，x，x2三个元素构成，则x不能取()
A．±1 B．0
C．0，±1 D．1
解析：x≠1且x2≠1且x2≠x，即x≠±1且x≠0.
答案：C
3．若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()
A．矩形B．平行四边形
C．菱形D．梯形
解析：由集合A中元素的互异性知，四边形不可能是矩形或平行四边形或菱形，可能是梯形．
答案：D
4．已知集合A是不等式2x－1>3的解集，则()
A．2∈A B．2∈A
C．3∈A D．－1∈A
解析：由2x－1>3得x>2，∴3∈A．
答案：C
5．已知集合A 中含1和a 2＋a ＋1两个元素，且3∈A ，则a 3的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－8
D ．1或－8
解析：∵3∈A ，∴a 2＋a ＋1＝3，解得a ＝1或a ＝－2. 当a ＝1时，a 3＝1；当a ＝－2时，a 3＝－8. 答案：D
6．设集合A 是方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0的解集，且集合A 中有两个元素，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥－1
4 B ．a ＝－1
4 C ．a >－1
4
D ．a <－1
4
解析：由题意知方程有两个不等实根，则Δ＝(2a ＋1)2－4a 2>0，解得a >－1
4. 答案：C 二、填空题
7．设直线y ＝2x ＋3上的点构成集合M ，则点(2,7)与M 的关系是(2,7)________(填“∈”或“∉”)M .
解析：当x ＝2时，y ＝7，∴点(2,7)在直线上，∴(2，7)∈M . 答案：∈
8．若不等式ax －3<3x 的解集为A ，且2∈A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵2∈A ，∴2a －3<3×2，解得a <92. 答案：a <9
2
9．集合A 中含有5个元素0,1,2，12，13，若a ∈A 且1
a ∈A ，则a 的值为________．
解析：当a ＝1时，1a ＝1∈A ；当a ＝2时，1a ＝12∈A ；当a ＝12时，1
a ＝2∈A ；当a ＝13时，1
a ＝3∉A ．
∴a ＝1或a ＝2或a ＝1
2. 答案：1或2或1
2 三、解答题
10．由实数x ，－x ，|x |，x 2，3
x 3所组成的集合中，最多含有多少个元素？ 解：∵x 2＝|x |，3
x 3＝x ，
∴当x ＝0时，组成的集合中只含有一个元素；当x ≠0时，|x |＝x 或|x |＝－x ，组成的集合中含有两个元素．
综上，由实数x ，－x ，|x |，x 2，3
x 3所组成的集合中，最多含有两个元素． 11．若方程ax 2＋bx ＋1＝0的解集与集合A 相等，且集合A 中的元素为1,2，求a ，b 的值．
解：由题意得ax 2＋bx ＋1＝0的解为x ＝1或x ＝2， 由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧
－b
a ＝3，
1
a ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
2，b ＝－3
2
.
∴a 的值为12，b 的值为－3
2.
12．已知集合A 中的元素满足性质：若a ∈A ，且a ≠1，则1
1－a
∈A ． (1)若a ＝2，试探求集合A 中一定含有的另外元素； (2)说明集合A 不是单元素集．
解：(1)由题意知，若2∈A ，则1
1－2∈A ，即－1∈A ；
于是11－(－1)
∈A ，即1
2∈A ；
则
1
1－1
2
∈A ，即2∈A ；1
1－2
＝－1∈A ；… ∴集合A 中一定含有－1，1
2两个元素．
(2)若集合A 是单元素集，则a ＝1
1－a
，即a 2－a ＋1＝0，此方程无实数解，与已知矛盾．
∴a 与
1
a －1
都为集合A 的元素，A 不是单元素集．
13．若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x ＋x 2，x 2，且A ＝B ，求实数x 的值．
解：因为A ＝B ，
所以⎩⎨⎧ x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩
⎨⎧
x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2
. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不满足集合中元素的互异性，而x ＝－1满足，所以x ＝－1.
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