高三数学一轮复习 第四章第4课时知能演练轻松闯关 新人教版

1．设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i 2是实数，则a ＝( ) A.12
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选B.由a 1＋i ＋1－i 2＝a 1－i ＋1－i 2＝a ＋1－i a ＋12
是实数得，a ＋1＝0，a ＝－1，选B.
2．(2011·高考湖北卷改编)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2012＝( ) A ．－i B ．－1
C ．i
D ．1
解析：选D.1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i
＝i ， ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2012＝i 2012＝i 4×503＝1. 3．(2011·高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( )
A ．3－i
B ．3＋i
C ．1＋3i
D ．3
解析：选A.(1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.
4．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝
________.
解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，
故|AB →|＝－1－12＋3－12＝2 2.
答案：2 2
一、选择题
1．(2012·太原质检)如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)·i 为“等部复数”，则实数a 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选A.由已知可得z ＝(1＋a i)·i＝－a ＋i ，所以－a ＝1，即a ＝－1.
2．(2010·高考江西卷)已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )
A ．x ＝－1，y ＝1
B ．x ＝－1，y ＝2
C ．x ＝1，y ＝1
D ．x ＝1，y ＝2
解析：选D.由已知得(x －i 2)＋(1－x )i ＝y ，根据复数相等的充要条件得x ＝1，y ＝2.
3．复数z ＝2＋m i 1＋i
(m ∈R)是纯虚数，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选A.由于z ＝2＋m i 1＋i ＝2＋m i 1－i 1＋i 1－i ＝2＋m ＋m －2i 2
是纯虚数，因此2＋m ＝0，m ＝－2，选A.
4．(2010·高考浙江卷)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A ．|z －z |＝2y
B ．z 2＝x 2＋y 2
C ．|z －z |≥2x
D ．|z |≤|x |＋|y | 解析：选D.|z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2＝|x |＋|y |2＝|x |＋|y |，D 正确．
5．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i
)n (n ∈Z)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．无数个
解析：选C.f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i
)n ＝i n ＋(－i)n ，f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…
∴集合中共有3个元素．
二、填空题
6．如果复数(m 2＋i)(1＋m i)(其中i 是虚数单位)是实数，则实数m ＝________.
解析：(m 2＋i)(1＋m i)＝(m 2－m )＋(1＋m 3)i.于是有1＋m 3＝0⇒m ＝－1.
答案：－1
7．已知复数z 满足(3－4i)z ＝5i ，则|z |＝________.
解析：因为(3－4i)z ＝5i ，
所以z ＝5i 3－4i ＝5i 3＋4i 3－4i 3＋4i
＝5i 3＋4i 25＝－45＋35
i ， 故|z |＝ －452＋3
52＝1.
答案：1
8．(2012·兰州调研)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1、y 1，x 2、y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为________．
解析：设OP 1→＝x 1＋y 1i ，OP 2→＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，∵w 1⊙w 2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0，
∴OP 1⊥OP 2，∴∠P 1OP 2＝π2
. 答案：π2
三、解答题
9．计算：
(1)－1＋i 2＋i i
3； (2)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i
2. 解：(1)－1＋i 2＋i i 3＝－3＋i －i
＝－1－3i. (2)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i
＝1＋i －2＋－1＋i 2
＝－1. 10．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i.
求z .
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∵z ·z ＋2i z ＝9＋2i ，
∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，
即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2－2b ＝9， ①2a ＝2. ② 由②，得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0.
解得b ＝－2或b ＝4.
∴z ＝1－2i 或z ＝1＋4i. 11．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，
∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
根据条件，可知⎩
⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>08a －2>0， 解得2<a <6，
∴实数a 的取值范围是(2,6)．。