人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习专项训练学能测试试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习专项训练学能测试
试题
一、选择题 1．已知PA 2PB 4==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠APB=45°时，PD 的长是( )；
A ．25
B ．26
C ．32
D ．5
2．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）
A ．(42,0)
B ．(42,0)-
C ．(8,0)-
D ．(0,8)-
3．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝2，点D 是BC 上的一个动点，点D 关于AB ，AC 的对称点分别是点E ，F ，四边形AEGF 是平行四边形，则四边形AEGF 面积的最小值是 （ ）
A ．1
B 6
C 2
D 34．如图，111A B C ∆中，114A B =，115AC =，117B C =．点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点；点3A 、3B 、3C 分别是边22B C 、22A C 、22A B 的中点；
；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）
A ．201412
B ．20151
2 C ．20161
2 D ．201712
5．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设
12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若
110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )
A ．142310θθθθ+--=︒
B ．241330θθθθ+--=︒
C ．142330θθθθ+--=︒
D ．241340θθθθ+--=︒
6．如图，矩形纸片,,ABCD AB a BC b ==，满足12
b a b <<，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中MN 的长为（用含,a b 的代数式表示）（ ）
A ．2b a -
B ．22b a -
C ．32b a +
D ．12
b a + 7．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE =30°，AB =3 ，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．2
D ．23
8．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）
A ．222-
B ．222+
C ．252-
D ．22+
9．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结论：
①FB OC ⊥，OM CM =；
②EOB CMB ≅；
③四边形EBFD 是菱形；
④:3:2MB OE =．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE 、BO ．若60COB ∠=︒，2FO FC ==，则下列结论：①FB OC ⊥；②EOB CMB △≌△；③四边形EBFD 是菱形；
④23MB =．其中正确结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．
12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．
13．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．
14．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．
15．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
16．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．
17．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．
18．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
19．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32
S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）
20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D落在AB边的点F处，得折痕AE，再折叠，使点C落在AE边的点G处，此时折痕恰好经过点B，如果AD=a，那么AB长是多少？”常明说；“简单，我会. AB应该是_____”.
常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B，而是经过了AB边上的M点，如果AD=a，测得EC=3BM，那么AB长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.
三、解答题
21．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系： ．
22．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．
（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；
（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；
（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．
23．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．
24．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为 时，四边形BCEF 是菱形．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
26．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点(点E，F不与端点重合)，且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF∥CH；
（2）若3，AE=2，试求线段PH的长；
（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CP
PQ
的值．
27．已知正方形ABCD与正方形（点C、E、F、G按顺时针排列），是的中点，连接，.
（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，
求证：DM =ME ，DM ⊥.ME
简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.
（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .
28．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；
（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；
②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.
29．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．
(1)求G 点坐标
(2)求直线EF 解析式
(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由
30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相于与E，连接BE，由∠APB=45°可得
∠EPA=45°，可得△PAE是等腰直角三角形，即可求出PE的长，根据角的和差关系可得
∠EAB=∠PAD，利用SAS可证明△PAD≌△EAB，可得BE=PD，利用勾股定理求出BE的长即可得PD的长.
【详解】
过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相交与E，连接BE，
∵∠APB=45°，EP⊥PB，
∴∠EPA=45°，
∵EA⊥PA，
∴△PAE 是等腰直角三角形，
∴PA=AE ，PE=2PA=2，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EAP=∠DAB=90°，
∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD ，即∠PAD=∠EAB ，
又∵AD=AB ，PA=AE ，
∴△PAD ≌△EAB ，
∴PD=BE=22PE PB +=2224+=25，
故选A.
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据已知条件如图可得到B 12 ，B 2所在的正方形的对角线长为2(2),B 3所在的正方形的对角线长为3(2),依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长为62)=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。

【详解】
根据图可得四边形OBB 1C 为正方形
因此OB 12 ，B 1在第一象限；
OB 2=22) ，B 2在x 轴正半轴；
OB 3=3(2) ，B 3在第四象限；
OB 4=42) ，B 4在x 轴负半轴；
依照规律可得：
OB 6=62) ，B 6在x 轴负半轴；
所以B 6（-8,0），故选C
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，在结合考查点的坐标问题，关键在于推理总结出规律。

3．D
【解析】
【分析】
由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF 是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，当
AD ⊥BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小，求出，即可得出四边形AEGF 的面积的最小值．
【详解】
由对称的性质得：AE=AD=AF ，
∵四边形AEGF 是平行四边形，
∴四边形AEGF 是菱形，
∴∠EAF=2∠BAC=120°，
当AD ⊥BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小，
∵∠ABC=45°，AB=2，
∴，
∴四边形AEGF 的面积的最小值=
2
12⨯=． 故选：D
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 4．A
解析：A
【分析】
根据三角形的中位线可得，B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于
12B 1C 1，12A 1B 1，12
A 1C 1，所以△A 2
B 2
C 2的周长等于△A 1B 1C 1周长的一半.进而推出第n 个三角形的周长
【详解】 解：∵114A B =，115AC =，117B C =,
∴△A 1B 1C 1的周长是16,
∵点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点,
∴B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于12B 1C 1，12A 1B 1，12
A 1C 1, 以此类推，则△A 4
B 4
C 4的周长是
31×16=22 , ∴△A n B n C n 的周长是4
n 122
- , ∴当n=2019时，第2019个三角形的周长是=42018201421=22
,
【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线，解题的关键是找出题目的规律.
5．D
解析：D
【分析】
依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，
∴△ABM 中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，
△DCM 中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，
由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，
2413 40θθθθ∴+--=︒；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12
b ，△PEQ 是等腰直角三角形，进而可得△MNE 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG =12
MN ，而12EG EF A F =-，进一步即可求得答案．
【详解】
解：如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣
12b ，∠EPQ =11904522APQ ∠=⨯︒=︒，∠EQP =11904522
DQP ∠=⨯︒=︒， ∴∠PEQ =90°，
∴△PEQ 是等腰直角三角形，
如图4，∵MN ∥PQ ，
∴△MNE 是等腰直角三角形，
∵EG ⊥MN ，
∴EG=MG=NG =12
MN ， ∵12EG EF A F =-=a ﹣2（a ﹣
12b ）＝b ﹣a ， ∴MN =2EG =22b a -．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 7．B
解析：B
【解析】
试题分析：由三角函数易得BE ，AE 长，根据翻折和对边平行可得△AEC 1和△CEC 1为等边三角形，那么就得到EC 长，相加即可．
解：连接CC 1.
在Rt △ABE 中,∠BAE =30°,AB 3
∴BE =AB ×tan30°=1,AE =2,∠AEB 1=∠AEB =60°，
∵四边形ABCD 是矩形
∴AD ∥BC ，
∴∠C 1AE =∠AEB =60°，
∴△AEC 1为等边三角形，
同理△CC 1E 也为等边三角形，
∴EC =EC 1=AE =2，
∴BC =BE +EC =3，
故选B.
8．B
解析：B
【分析】
取DC 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、
E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．
【详解】
取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，
90MON ∠=︒， 122OE AB ∴==． 在Rt DAE ∆中，利用勾股定理可得22DE =．
在ODE ∆中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，
∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=+．
故选B ．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
①证明△OBC 是等边三角形，即可得OB=BC ，由FO=FC ，即可得FB 垂直平分OC ，①正确；②由FB 垂直平分OC ，根据轴对称的性质可得△FCB ≌△FOB ，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC ≌△EOA ，所以FO=EO ，即可得OB 垂直平分EF ，所以△OBF ≌△OBE ，即△EOB ≌△FCB ，②错误；③证明四边形DEBF 是平行四边形，再由OB 垂直平分EF ，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，即可得平行四边形DEBF 为菱形，③正确；④由OBF ≌△EOB ≌△FCB 得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt △OBE 中，可得OE =33OB ，在Rt △OBM 中，可得BM=32
OB ，即可得BM ：OE =3：2，④正确. 【详解】
①∵矩形ABCD 中，O 为AC 中点，
∴OB=OC ，
∵∠COB=60°，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB=BC ，
∵FO=FC ，
∴FB 垂直平分OC ，
∴FB⊥OC，OM=CM；
①正确；
②∵FB垂直平分OC，
根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，
∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
∴OB垂直平分EF，
∴△OBF≌△OBE，
∴△EOB≌△FCB，
②错误；
③∵△FOC≌△EOA，
∴FC=AE，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DF∥EB，DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OB垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴平行四边形DEBF为菱形；
③正确；
④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，
在Rt△OBE中，3
，
在Rt△OBM中，
3
∴BM ：3：3OB=3：2.
④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．
10．B
解析：B
【分析】
连接BD，先证明△BOC是等边三角形，得出BO=BC，又FO=FC，从而可得出FB⊥OC，故①正确；因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM，故②错误；再证明四边形EBFD是平行四边形，由OB⊥EF推出四边形EBFD是菱形，故③正确；先在Rt△BCF 中，可求出BC的长，再在Rt△BCM中求出BM的长，从而可知④错误，最后可得到答案．
【详解】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，
又FO=FC，BF=BF，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，∴①正确；
∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
又∠EBO=∠OBF，OE=OF，
∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确；
∵由①②知△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误，
∴②错误；
∵FC=2，∠OBC=60°，∠OBF=∠CBF，
∴∠CBF=30°，∴BF=2CF=4，∴BC=23，
∴CM=1
2
BC=3，∴BM=3，故④错误．
综上可知其中正确结论的个数是2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．22
【解析】
分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以
AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P 从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明
CE=1
2
（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得
到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，
∵△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO平分∠ACP，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，
即AC-CE=CF-CP ，
而CE=CF ，
∴CE=12
（AC+CP ），
∴CE=2
（AC+CP ），
当AC=2，CP=CD=1时，OC=2×（2+1）=2
，
当AC=2，CP=CB=5时，OC=2×（2+5）=2
，
∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长=
2-2．
故答案为
点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
12．2
【分析】
由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=
12PD ，得到C △CEF =CE+CF+EF=CE+12（CP+PD ）=12（CD+PC+PD ）=12
C △CDP ，当△CDP 的周长最小时，△CEF 的周长最小；即PC+P
D 的值最小时，△CEF 的周长最小；并作D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于P ，进而分析即可得到结论．
【详解】
解：∵E 为CD 中点，F 为CP 中点，
∴EF=12
PD ， ∴C △CEF =CE+CF+EF=CE+
12（CP+PD ）=12（CD+PC+PD ）=12C △CDP ∴当△CDP 的周长最小时，△CEF 的周长最小；
即PC+PD 的值最小时，△CEF 的周长最小；
如图，作D 关于AB 的对称点T ，连接CT ，则PD=PT ，
∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴2222
4442 CT CD DT
++=
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，∵PT+PC≥CT，
∴PT+PC≥42
∴PT+PC的最小值为2，
∴△PDC的最小值为4+42
∴C△CEF=1
2
C△CDP=222．
故答案为：222．
【点睛】
本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
13．18
【分析】
由题意可知AD、EF是定值，要使四边形ADFE周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E关于AD的对称点E1，同时作DF∥AF1，此时AE＋DF的和即为
E1F1，再求四边形ADFE周长的最小值．
【详解】
在Rt△COD中，OC＝3，OD＝4，
CD22
OC+OD=5，
∵ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝5，
∵F坐标为(8,6)，点E在y轴上，
∴EF＝8，
作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，
则E 1（0，2），F 1（3，6），
则E 1F 1即为所求线段和的最小值，
在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=5
2(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．
【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大． 1421
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ， ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，
60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，
//AD BE ∴，
6AC =，
624AD AB ∴==-=，
点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，
112,122AM AD EN CE ∴=
===， AM BE ∴=，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
//,4ME AB ME AB ∴==， 60FEM C ∴∠=∠=︒，
在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，
2212,232
EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，
则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =
+=+=， 故答案为：21．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
15．2【分析】
作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．
【详解】
∵AE 是DAC ∠的角平分线，
∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '
由轴对称可以得到PQ P Q '=，
∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，
如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，
∴4DP '=，
由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，
在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=
+=+==
故答案是：2
【点睛】
本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ
+取最小值的状态，并将它转换成DP'去求解．
16．37
【分析】
如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．
【详解】
解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，
∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE∥TC，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT是平行四边形，
∴BE=DT，
∴BD+BE=BD+AD，
∵B，W关于直线AC对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，
∴∠WCK=60°，
∵WK⊥CK，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=1
2
CW=
3
2
，3
33
，
∴TK=1+3+3
2
=
11
2
，
∴TW=
2
2
22
1133
22
TK WK
⎛⎫
⎛⎫
+=+ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=37，
∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，
∴BD+BE≥37，
∴BD+BE的最小值为37，
故答案为37．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．①②③④
【分析】
根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得
∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．
【详解】
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG ＝∠CAG ＝90°，
∴BG ⊥CE ，故②正确；
过点E 作EP ⊥HA 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，如图2，
∵AH ⊥BC ，
∴∠ABH +∠BAH ＝90°，
∵∠BAE ＝90°，
∴∠EAP +∠BAH ＝90°，
∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；
∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，
∴△ABH ≌△EAP （AAS ），
∴EP ＝AH ，
同理可得GQ ＝AH ，
∴EP ＝GQ ，
∵在△EPM 和△GQM 中，
90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EPM ≌△GQM （AAS ），
∴EM ＝GM ，
∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
18．42a -23 【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=23，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=a，
∴CG=4a
-，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 4
3
=，
故答案为：4
2
a
-
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
19．①②④．
【分析】
利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到
∠EBG=1
2
∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则
DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用
相似比得到
4
3
DE AF
DF AB
==，而
6
2
3
AB
AG
==，所以
AB DE
AG DF
≠，所以△DEF与△ABG不相
似，于是可对③进行判断.
【详解】
解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝1
2
∠CBF+
1
2
∠ABF＝
1
2
∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，在Rt△GFH中，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF ＝∠EFD ，
∴△ABF ∽△DFE ， ∴AB DF ＝AF DE ， ∴DE DF ＝AF AB ＝86＝43， 而
AB AG ＝63＝2， ∴AB AG ≠DE DF
， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误． ∵S △ABG ＝
12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32S △FGH ，所以②正确． 故答案是：①②④．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
202a
3212
a 【分析】
（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；
（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==
，因为EC=3BM ，所以有1BM 2
FM =，求出BM ，继而可得解．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得，
CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，
∵2AE 22a a ==
∴AB=．
（2）结合（1）可知，AE AM
==，
∴FM a
=-，
∵EC=3BM，
∴
1 BM
2
FM
=
∴BM=
∴
1
AB
22
a
a
-
=+=．
；
1
2
a．
【点睛】
本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．
三、解答题
21．（1）DE CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝
DF或|AF－CF|
【分析】
（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出CB，即可得出结果；
（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得
△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，
∠BEA=∠ABE=1
2
（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰
直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出CF；
情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得
△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得CF，设
∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出
CF；
（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三
角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=1
2
∠BFE=45°，则△HDF是等腰
直角三角形，得DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得
CF=HA，即可得出；
②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得
∠NFC=∠BFC=1
2
∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得FH=2DF，DF=DH，由SAS
证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=2DF；
③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三
角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=1
2
∠BFE=45°，则△HDF是等腰直
角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；
④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得
∠EFA=∠BFA=1
2
∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，
HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴DB=2CB，
当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，
故答案为：DE=2CF；
（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：
情况1：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，
过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：
则∠BCD=∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠BCF，
设BC交DF于P，
∵BF⊥DE，
∴∠BFD=∠BCD=90°，。