水力学(闻德荪)习题答案第四章

选择题（单选题）
等直径水管，A-A 为过流断面，B-B 为水平面，1、2、3、4为面上各点，各点的流动参数有以下关系：（c ）
（a ）1p =2p ；（b ）3p =4p ；（c ）1z +
1p g ρ=2z +2p g ρ；（d ）3z +3p g ρ=4z +4p
g
ρ。

伯努利方程中z +p g ρ+2
2v g
α表示：（a ）
（a ）单位重量流体具有的机械能；（b ）单位质量流体具有的机械能；（c ）单位体积流体具有的机械能；（d ）通过过流断面流体的总机械能。

水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心点的压强，有以下关系：（c ）
p p 2
（a ）1p >2p ；（b ）1p =2p ；（c ）1p <2p ；（d ）不定。

黏性流体总水头线沿程的变化是：（a ） （a ）沿程下降；（b ）沿程上升；（c ）保持水平；（d ）前三种情况都有可能。

黏性流体测压管水头线的沿程变化是：（d ） （a ）沿程下降；（b ）沿程上升；（c ）保持水平；（d ）前三种情况都有可能。

平面流动具有流函数的条件是：（d ） 无黏性流体；（b ）无旋流动；（c ）具有速度势；（d ）满足连续性。

4.7一变直径的管段AB ，直径A d =0.2m ，B d =0.4m ，高差h ∆=1.5m ，今测得A p =302
/m kN ，B p =402/m kN ， B 处断面平均流速B v =1.5s m /.。

试判断水在管中的流动方向。

解： 以过A 的水平面为基准面，则A 、B 点单位重量断面平均总机械能为：
4
2323010 1.0 1.50.40 4.89210009.80729.8070.2A A A A A p v H z g g αρ⨯⨯⎛⎫
=++=++⨯= ⎪⨯⨯⎝⎭（m ）
232
4010 1.0 1.51.5 5.69210009.80729.807
B B B B B p v H z g g αρ⨯⨯=++=++=⨯⨯（m ）
∴水流从B 点向A 点流动。

答：水流从B 点向A 点流动。

4.8利用皮托管原理，测量水管中的点速度v 。

如读值h ∆=60mm ，求该点流速。

解： 10 3.85
u =
=
==（m/s ） 答：该点流速 3.85u =m/s 。

4.9水管直径50mm ，末端阀门关闭时，压力表读值为212
/m kN 。

阀门打开后读值降至
5.52
/m kN ，如不计水头损失，求通过的流量。

解：（1）水箱水位 3
21100 2.1410009.807
p H z g ρ⨯=+=+=⨯（m ）
（2）阀门开启后，从水箱液面到仪表处列伯努利方程，可得：2
2p v H g g
ρ=+
∴ 5.57v ===（m/s ） 2
0.055.570.0114
Q vA π⨯==⨯
=（m 3/s ）
答：通过的流量0.011Q =m 3/s 。

4.10水在变直径竖管中流动，已知粗管直径1d =300mm ，流速1v =6s m /。

为使两断面的压力表读值相同，试求细管直径（水头损失不计）。

解： 以过下压力表处的水平面为基准面，列伯努利方程如下：
22
111222
121222w p v p v z z h g g g g
ααρρ-++=+++
∵120w h -=，13z =m ，20z = 取12αα=，当12p p =时，有：
2
22211229.8073694.842v gz v =+=⨯⨯+=
29.74v =（m/s ）
由连续性方程 2
211v A v
A = ∴2300235.5d d ==（mm ） 答：细管直径为235.5mm 。

4.11为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计，管道直径1d =200mm ，流量计喉管直径
2d =100mm ，石油密度ρ=8503/m kg ，流量计流量系数μ=0.95。

现测得水银压差计读书p h =150mm ，问此时管中流量Q 是多少。

解：
Q μ=其中：0.95μ=
；2
2
10.20.0359d K ππ⨯=
=
=
0.15p h =（m ）
Q μμ==
0.950.0359=⨯0.0511575=（m 3/s ）
51.2=（l /s ）
答：此时管中流量Q 51.2=l /s 。

4.12水箱中的水从一扩散短管流到大气中，直径1d =100mm ，该处绝对压强1p =0.5大气压，直径2d =150mm ，试求水头H ，水头损失忽略不计。

解：（1）以出水管轴线为基准面，列管径1d 与2d 处的伯努利方程，可得：
22111222
22p v p v g g g g
ααρρ+=+
取12 1.0αα==，20p =，10.5101.32550.663p =-⨯=-kPa ∵ 2
2
1
122p v v ρ
-=-
∴ 432
221250.663101101.325d v d ρ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⎢⎥-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
12
24101.325 4.9940.1510.1v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
（m/s ）
（2）从液面到短管出口列能量（伯努利）方程。

22
2 4.994 1.27229.807
v H g ===⨯（m ）
答：水头H 1.27=m 。

4.13离心式通风机用集流器A 从大气中吸入空气，直径d =200mm 处接一根细玻璃管，已知管中的水上升H =150mm ，求进气流量（空气的密度ρ=1.293
/m kg ）。

解： 以集流器轴线的水平面为基准面，从距进口一定距离的水平处列到测管处的伯努利方程，可得：
2
2a H p p v g g g
αρρ=+
不计损失，取 1.0α= ∴
v =
其中 0a p =，则 H p H g ρ=-⋅水
∴
47.76v =
==（m/s ） 247.760.2 1.54
Q vA π
==⨯
⨯=（m 3/s ）
答：进气流量 1.5Q =m 3/s 。

4.14一吹风装置，进排风口都直通大气，风扇前、后断面直径1d =2d =1m ，排风口直径
3d =0.5m ，已知排风口风速3v =40s m /，空气的密度ρ=1.293/m kg ，不计压强损失，试
求风扇前、后断面的压强1p 和2p 。

解： 以过轴线的水平面为基准面，以2d 及3d 截面列伯努利方程：
22
333222
22p v p v g g g g
ααρρ+=+
其中30p =，340v =（m/s ），23 1.0αα==，2
32322d v v d =⋅
∴()4
4222
2
3
32322 1.290.51401967.5222 1.0v d p v v d ρρ
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=
-=⨯⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭
⎣⎦⎣
⎦
（Pa ）
从大气到1d 断面，列伯努利方程：
2111002a p p v g g g
αρρ+=++
其中 1 1.0α=，0a p =（相对压强），2
312322
d v v v d ==⋅
∴4
2
211 1.290.54064.522 1.0p v ρ
⎛⎫=-=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭
（Pa ）
答：风扇前、后断面的压强164.5p =-Pa ，2p 967.5=Pa 。

4.15两端开口的等直径U 形管，管内液柱长度为L ，使液面离开平衡位置而造成液柱振荡，水头损失忽略不计，求液柱的振荡方程z =()t f 。

解： 取0-0断面为基准面，由非恒定流的伯努利方程：
22
1122120122L
p u p u u z z dl g g g g g t
ρρ∂++=+++∂⎰
∵1z z =-，2z z =，120p p ==，12u u =
∴012L
u L u
z dl g t g t
∂∂-==∂∂⎰ ∴
2u gz
t L
∂-=∂ ∵()(),u z t u t =
()dz
u t dt
=
∴222d z g
z dt L
=-
令 cos z c
t ω=，则
ω=
00sin 2z z z π⎫==+⎪⎪
⎭
答：液柱的振荡方程00sin 2z z z π⎫==+⎪⎪⎭。

4.16水力采煤用水枪在高压下喷射强力水柱冲击煤层，喷嘴出口直径d=30mm，出口水流速度v=54s
m/，求水流对煤层的冲击力。

解：取控制体如图，受力如图。

P a
1
F
()
2
Q v v F
ρ-=-
∴
22
22
0.03
100054 2.061
44
d
F Qv v
ππ
ρρ
⨯
==⋅=⨯⨯=（kN）
水流对煤层的作用力与F构成作用力与反作用力，大小为2.061kN，方向向右。

答：水流对煤层的冲击力 2.061
F=kN，方向向右。

4.17水由喷嘴射出，已知流量Q=0.4s
m/3，主管直径D=0.4s
m/，喷口直径d=0.1m，水头损失不计，求水流作用在喷嘴上的力。

d
解：（1）取过轴线的水平面为基准面，列螺栓断面与出口断面的伯努利方程：
22
11122
022p v v g g g
ααρ+=+
∴()42222
11212122v
d p v v d ρρ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=
- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
()22100050.93 3.181291.8542
=⨯-=（kPa ）
1210.44 3.180.4
Q v A π⨯=
==⨯（m/s ） 22
20.4450.930.1Q v A π⨯=
==⨯（m/s ） （2）取控制体如图所示，列动量方程。

p 1
p 2
v 2
()2111Q v v p A F ρ-=-
∴()1121F p A Q v v ρ=--
()2
0.41291.85410.450.93 3.18143.2394
π⨯=⨯
-⨯⨯-=（kN ）
答：水流作用在喷嘴上的力为143.239kN 。

4.18闸下出流，平板闸门宽b =2m ，闸前水深1h =4m ，闸后水深2h =0.5m ，出流量Q =8s m /3
，不计摩擦阻力，试求水流对闸门的作用力，并与按静水压强分布规律计算的结果相比较。

解：（1）由连续方程 1122Q h b v h b v =⋅⋅=⋅⋅
∴118
124
Q v h b =
==⨯（m/s ） 228820.5
Q v h b =
==⨯（m/s ） （2）由动量方程，取控制体如图。

()211122Q v v p A p A F ρ-=--
∴()12122122
h h
F g h b g h b Q v v ρρρ=
⋅-⋅-- ()22122122h h gb Q v v ρρ⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
()2240.510009.8072100088122⎛⎫
=⨯⨯⨯--⨯⨯- ⎪⎝⎭
98.46=（kN ）
()2
21140.510009.807 3.52120.1422
F g b ρ=-⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=静（kN ）
答：水流对闸门的作用力98.46F =kN ，按静水压强分布规律计算的结果120.14F =静kN 。

4.19矩形断面的平底渠道，其宽度B 为2.7m ，渠底在某断面处抬高0.5m ，该断面上游的水深为2m ，下游水面降低0.15m ，如忽略边壁和渠底阻力，试求：（1）渠道的流量；（2）水流对底坎的冲力。

0.m
解：（1）以上游渠底为基准面，列上、下游过水断面的能力方程：
22
111222
1222p v p v z z g g g g
ααρρ++=++
其中：120a p p p ===，1 2.0z =m ，2 2.00.15 1.85z =-=m
111Q Q v A Bh =
=，222
Q Q v A Bh == 1 2.0h =m ，2 2.00.150.5 1.35h =--=m
∴ ()2
22211222
2221112v v Q z z g B h B h ⎛⎫
-=-=-⋅
⎪⎝⎭
()()11
2
2
12
12
22
2222212122111g z z g z z Q Bh h h B h B h ⎡
⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
--⎢
⎥⎢⎥==⋅⎢⎥⎢⎥
⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎣⎦
()
1
2
229.8070.152.7 1.35 1.3512⎡⎤⨯⨯⎢⎥
=⨯⨯⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
8.47=（m 3/s ）
1118.47 1.572.72
Q Q v A Bh =
===⨯（m/s ） 2228.47 2.322.7 1.35
Q Q v A Bh =
===⨯（m/s ） （2）取控制体如图，列动量方程.
()211122Q v v p A p A F ρ-=--
∴ ()112221F p A p A Q v v ρ=---
()22
12
2122
h h gB gB Q v v ρρρ=--- ()22
12212h h gB Q v v ρρ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
()222 1.3510009.807 2.710008.47 2.32 1.572⎛⎫
-=⨯⨯⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭
22.48=（kN ）
答：（1）渠道的流量8.47Q =m 3/s ；（2）水流对底坎的冲力22.48F =kN 。

4.20下列不可压缩流体、平面流动的速度场分别为：
（1）x u =y ； y u =x - （2）x u =x y -； y u =x y +
（3）x u =2
2
x y x -+； y u =(2)xy y -+
试判断是否满足流函数ψ和流速势ϕ的存在条件，并求ψ、ϕ。

解：（1）∵
0y
x u u x y
∂∂+=∂∂，满足连续方程，流速数ψ存在。

又∵()1111122
y x z u u x y ω∂⎛⎫∂=-=--=- ⎪∂∂⎝⎭，有旋，故φ不存在。

∵
x u y y
ψ
∂==∂，y u x x ψ∂=-=∂ d dx dy xdx ydy x y
ψψψ∂∂=
+=+∂∂ ∴流速数 ()2
212
x y c ψ=
++ （2）∵
1120y
x u u x y
∂∂+=+=≠∂∂，流动不存在。

（3）∵
()21210y
x u u x x x y
∂∂+=+-+=∂∂，故流速数存在。

又∵()11
22022
y x z u u y y x y ω∂⎛⎫∂=
-=-+= ⎪∂∂⎝⎭，有旋，故存在势函数φ。

流函数ψ与势函数φ满足：
()22
2x y u x y x x y u xy y y
x φψφψ∂∂⎧===-+⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-==-+⎪∂∂⎩ 解得：()()32211
,32
x y x xy x c y φ=
-++
22dc xy xy y y dy
φ∂=-+=--∂ ∴()2
012
c y y c =-
+ 22320132
x y x xy c φ-=-++
又可解得：()2
3
13
x y y xy c x ψ'=-
++ ∵
22y dc u xy y xy y x dx ψ'
∂=-=+=++∂ ∴0dc dx
'
=，1c c '= ∴2
3113
x y y xy c ψ=-++
4.21 已知平面流动的速度为直线分布，若0y =4m ，0u =80/m s ，试求：（1）流函数ψ；
（2）流动是否为有势流动。

x
解： 已知 x u cy =，当 04y y ==m ，80x u =m/s 。

∴ 20c =（s -1
），20x u y =
由连续性条件：0y
x u u x y ∂∂+=∂∂，∴0y u y
∂=∂ ∴0y u =
020y x d dx dy u dx u dy dx ydy x y
ψψψ∂∂=
+=-+=+∂∂ ∴210y c ψ=+，当0y =时，0ψ=。

∴210y ψ= ∵()110201022
y x z u u x y ω∂⎛⎫∂=
-=-=- ⎪
∂∂⎝⎭（s -1
） ∴流动有旋。

答：（1）流函数210y ψ=；（2）流动有旋。

4.22 已知平面无旋流动的速度为速度势22
2x
x y
ϕ=
-，试求流函数和速度场。

解： ∵
x y φψ∂∂=∂∂；y x
φψ∂∂=-∂∂ ∴()()()()
222
22222222242x y x
x y y x y x y ψ--+∂==-
∂-- ()
2224xy
x x y ψ∂=-∂- ()()222222x x y u x x y φ
+∂==-∂-；()2224y xy u y x y φ∂==-∂- ()()
2222242xydx x y dy d dx dy x y x y ψψ
ψ++∂∂=+=-∂∂- ()
()
()
222
2
2
22
224x y xy
dx dy x
y
x
y
+=-
-
--
∴()
()()
2222
2
2
2
2
2422y const
x const
xy
x xy y x xy y dx dy x y x y x
y
ψ==-++++=
-
-
+--⎰
⎰
()()222
2211x const y const
y
dy x y x y x y ==⎡⎤=-+⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦
⎰ 2222
22y y
x y x y
=
---
0=
答：流函数0ψ=；速度场()()
222222x x y u x x y φ
+∂==-∂-，()2224y
xy u y x y φ∂==-∂-。

4.23 已知平面无旋流动的流函数2310xy x y ψ=+-+，试求速度势和速度场。

解： 3x u x y
ψ
∂=
=-∂，2y u y x ψ∂=-=--∂ ∵
3x u x x φ∂==-∂，∴()21
32
x x c y φ=-+ ()2dc y y dy φ∂==-+∂，∴()2122c y y y ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
∴()()2222111
,3232222
x y x x y y x y x y φ=---=--- 答：()2
21322
x y x y φ=---；3x u x =-，2y u y =--。

4.24 已知平面无旋流动的速度势arctan y x ϕ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，试求速度场。

解： 2222
1x y
y x u x x y y x φ-
∂===-∂+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
2221
1y x x u y x y y x φ∂===∂+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
4.25 无穷远处有一速度为0u 的均匀直线来流，坐标原点处有一强度为q -的汇流，试求两
个流动叠加后的流函数，驻点位置以及流体流入和流过汇流的分界线方程。

解：无穷远均匀直线流的速度势为：在x 方向的流速为0U ，y 方向为零。

10U x φ=，10U y ψ=
在原点的汇流为：2ln 2q φπ=-
22q ψθπ
=-
∴ ()22120ln 4q
U x x y φφφπ=+=-
+ 00arctan 22q q y
U y U y x
ψθππ=-=-
零流线方程：0arctan 02q y U y x
π-= 驻点位置：
02
0,0,1021s
s y x x y x x q x U y
y x ψ
π====⎛⎫ ⎪
∂ ⎪=-= ⎪∂⎛⎫
+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 022
02s s x q U x y π-
=+⇒0
2s q
x U π= ∴过(),0s x 的流线方程为0ψ= 即 0arctan 02q y
U y x
π-
= 答：流函数0arctan 2q y U y x ψπ=-
，驻点位置0
2s q
x U π=，流体流入和流过汇流的分界线方程0arctan 02q y
U y x
π-=。