江苏省扬州市田家炳实验中学2017届高三数学一轮复习学案解析几何第4课椭圆的标准方程

第4课 椭圆的标准方程
一、教学目标
1。

理解椭圆的定义，能根据椭圆的定义求椭圆的标准方程;
2。

掌握椭圆的标准方程；
3。

能根据已知条件确定椭圆的类型,再结合定义或待定系数法求相关基本量,进而求椭圆的标准方程．
二、基础知识回顾与梳理
1、在△ABC 中,B （—3，0)，C （3,0），且△ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹方程为_________________.
【教学建议】本题是教材上一道习题的改编,根据椭圆的定义及焦点位置可直接写出轨迹方程为
116252
2=+y x ,但△ABC 的三个顶点不能共线,故0≠y ,这点学生特别容易忽视；若将B 、C 两点坐标
改成B(0,-3),C(0,3）,其它条件不变，则顶点A 的轨迹方程又是什么？
2、已知椭圆的方程为：116
2522=+y x ，请填空： （1）a =___，b =___,c =___，焦点坐标为______,焦距等于 。

(2）若C 为椭圆上任意一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，并且12CF =,则2
CF = _____. 【教学建议】通过本题(1）的讲解，使学生会由标准方程求,,a b c ，焦
距等基本量;可增加一个问题:若椭圆的方程为144
162
9
2=
+y
x呢？使学生明确，求基本量时应先将方程化为标准方程再求解.同时通过本题使学生加深对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解;题（2）巩固椭圆的定义，提醒学生解圆锥曲线问题时要不忘定义。

教学时通过学生自主完成的方法，有利于学生对基础知识的掌握和增强学好本课内容的信心.必要时,可将标准方程、对应的图形、,,a b c之间的关系等投影回顾．
3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 4,3
==,焦点在x轴；
a b
（2) 4,3
==，焦点在y轴上；
b c
（3）两个焦点的坐标是()()
-,并且经过点（-1.5，2。

5）.
0,2,0,2
【教学建议】本题选自课本习题。

使学生熟练掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，逐步形成注意“二定"，即“先定位、再定量”的习惯。

其中练习(3）可先提问学生，寻找学生当中的解法是什么；然后教师再演示详细解答过程：利用定义或者解方程组两种方法。

由于由两个二元二次方程组成的方程组的求解不少学生会感到有困难，此处演示可为学生课后独立解题起到示范和指导作用.
三、诊断练习
题1:下列方程：①22
143
x y +=；②224312x y +=；③22225x y +=;④2211322
x y +=。

其中表示焦点为(0,1)F 的椭圆的有 . 答案为：②④。

【分析与点评】①的方程表示焦点在x 轴上的椭圆；②将方程
22
4312x y +=化为22
134x y +=表示焦点为(0,1)F 的椭圆；③是圆；④表示焦点为(0,1)F 的椭圆。

题2：设定点12(0,3),(0,3)F F -，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a
+=+>，则点P 的轨迹是_______。

【分析与点评】椭圆定义的运用是解好本题的关键，因
为1296.a F F a +≥==所以点P 的轨迹是 焦点在y 轴上的椭圆或者是线段12.F F
题3：已知方程22
1221
x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ．
【分析与点评】问题:如何列出限制条件？需要注意什么?
学生在列出限制条件时，易忽略分母不等的条件，这一点需强调． 答案:1212
k k <<≠且。

题4：已知椭圆的方程为22143
x y +=，若点P 为椭圆上一点，12F F 、是椭圆的两个焦点，且01260F PF ∠=，则△12PF F 的面积是
【分析与点评】s =
3、要点归纳 （1）椭圆定义的理解要准确，如题2；
（2）椭圆的标准方程要准确掌握，特别是由方程求椭圆的基本量，如题1，题4；
（3）椭圆方程也是一种换元的基本形式,要熟练掌握，如题3．
四、范例导析
例1:如图，
ABC ∆
的三条边长成等差数列，且2AC =，求顶点B 的轨迹方程。

【教学处理】要求学生独立思考解题,指名学生板演，老师巡视 指导了解学情；再结合板演情况进行点评。

【引导分析与精讲建议】
问题1：根据本题条件，请大家说说顶点B 轨迹是什么?
交流：由题意，三角形三边长成等差数列，得到242BA BC AC +==>，依据椭圆的定义,顶点B 的轨迹
是以,A C 为焦点的椭圆。

且22,24c a ==，即1,2c a ==，也可以求出b = 问题2：追问学生，轨迹方程是什么？
防止学生不建系，直接求方程. A C
B
例2、求经过点（2,—3)且与椭圆364922=+y x 有共同焦点的椭圆方程。

【教学处理】教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。

【引导分析与精讲建议】本题教学目标就是落实由方程求椭圆的焦点，即为所求椭圆的焦点，再由椭圆过点（2,-3）求出椭圆方程. 教学中注意学生求椭圆方程时的具体方法：
1、如设方程22221y x a b
+=，将（2,-3）带入，且225a b -=，解出2215,10a b ==； 2、椭圆
364922=+y x 的焦点为((0,,，利用椭圆定义，所求椭圆的
2a a ====
3、当然，对于基础较好的学生,本题也可介绍将所求椭圆设成)4(1492
2->=+++λλ
λx y ，解题更为简便． 例3、P 是椭圆12222=+b
y a x （0>>b a )上一点,1F 、2F 是分别左、右焦点，2POF ∆是面积为3的正三角形，求椭圆方程．
【教学处理】要求学生独立思考解题，根据条件画出图形，结合图形特征找出解题思路。

【引导分析与精讲建议】 题目已给出方程,关键是如何根据条件求出a 和b 。

由正三角形面积不难求出c ,进而得出P 点坐标，下面可以通过定义求出a ,再求出b ；也可以利用方程组,求出a ,b 。

五、解题反思
（1）在解答有关椭圆问题时，首先要考虑椭圆焦点位置，这是减少或避免错误的一个关键.
（2）求椭圆的标准方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求方程非常简捷。

在处理与椭圆的焦点相关问题,也可用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求椭圆的标准方程问题，可采用“先定位，后定式，再定量”
的步骤。

定位—-指的是椭圆的焦点位置.
定式——根据“形"设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为
mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n）。

定量——由题设中的条件找到“式"中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
六、课后训练：
1、已知椭圆C：错误!＋错误!＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝________.
根据已知条件画出图形,设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，
连结PF1,PF2.显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线,∴AN＋BN＝2PF1＋2PF2＝2(PF1＋PF2)＝2×6＝12
2、已知两圆C1：(x－4）2＋y2＝169，C2:（x＋4）2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r）＋（3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝1
3、已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为错误!,过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4错误!,则C的方程为
∵错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的离心率为错误!,∴错误!＝错误!。

又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的
周长为4错误!，∴4a＝4错误!,∴a＝错误!，∴b＝错误!,
∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

4、已知椭圆：错误!＋错误!＝1（0<b〈2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点,若｜BF2｜＋｜AF2｜的最大值为5,则b的值是__________．
由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2｜＋|BF2｜＋|AB|
＝4a＝8,所以｜AB｜＝8－（|AF2｜＋｜BF2｜)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则错误!＝3,所以b2＝3，即b＝错误!
5、已知椭圆C:错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的离心率为错误!，其中左焦点为F（－2，0)．
(1)求椭圆C的方程;
（2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1
上，求m的值．
[解］(1)由题意，得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为（x1，y1）,（x2，y2),线段AB的中点为M(x0，y0)，
由错误!消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0,Δ＝96－8m2>0，∴－2错误!〈m<23。

∵x0＝x1＋x2
2
＝－错误!，∴y0＝x0＋m＝错误!。

∵点M(x0，y0）在圆x2＋y2＝1上,∴错误!2＋错误!2＝1,∴m＝±错误!。