高中数学必修一第四章 4.4.2(一)

4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
学习目标
1.初步掌握对数函数的图象和性质.
2.会类比指数函数研究对数函数的性质.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用．
知识点对数函数的图象和性质
对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
y＝log a x (a>0，且a≠1)
底数a>10<a<1
图象
定义域(0，＋∞)
值域R
单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数
共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝log a x与y＝
1
log
a
x
的图象关于x轴对称
预习小测自我检验
1．函数y＝log4.3x的值域是________．
答案R
2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是________．
答案③
解析由底数大于1可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度(或
令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)．
3．已知y ＝a x 在R 上是增函数，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”) 答案 增
4．函数y ＝log a x ＋1过定点________． 答案 (1,1)
一、对数函数的图象问题
例1 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象可能是下图中的( )
答案 C
(2)函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a >0且a ≠1)的图象过定点________． 答案 (－1,3)
解析 令x ＋2＝1，所以x ＝－1，y ＝3.所以过定点(－1,3)． (3)已知f (x )＝log a |x |满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象． 解 因为f (－5)＝1，所以log a 5＝1，即a ＝5，
故f (x )＝log 5|x |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
log5x ，x>0，
log5(－x )，x <0.
所以函数y ＝log 5|x |的图象如图所示．
延伸探究
在本例中，若条件不变，试画出函数g (x )＝log a |x －1|的图象． 解 因为f (x )＝log 5|x |， 所以g (x )＝log 5|x －1|，
如图，g (x )的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到．
反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练1(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝log a x和y＝log b x的图象，则( )
A．0<a<b<1
B．0<b<a<1
C．a>b>1
D．b>a>1
答案 B
解析作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.
(2)画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．
考点对数函数的图象
题点含绝对值的对数函数的图象
解①先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
②再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．
③最后画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
二、比较大小
例2 比较下列各组数的大小：
(1)log 534与log 543
；
(2)
13
log 2
与
15
log 2
；
(3)log 23与log 54.
解 (1)方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.
方法二 因为log 534<0，log 54
3>0，
所以log 534<log 54
3
.
(2)由于
13
log 2
＝
1
log2
13
，
15
log 2
＝
1log2
15
，
又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<1
3<1，
所以0>log 213>log 215，所以1log213<1
log2
1
5
，
所以
3
15
1log l .
og 22
(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．b <c <a 答案 B
解析 ∵a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a <c <b .故选B. (2)比较下列各组值的大小：
①
223
3
log 0.5,log 0.6;
②log 1.51.6，log 1.51.4；
③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.
解 ①因为函数23
log y x
=是(0，＋∞)上的减函数，且0.5<0.6， 所以
3
23
2log log 0.50.6.
>
②因为函数y ＝log 1.5x 是(0，＋∞)上的增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.
③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log70.6<1
log70.5，
即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，
log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8.
1．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )
答案 C
解析 y ＝a －
x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x ，∵a >1，∴0<1a <1，
则y ＝a －
x 在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；
对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C. 2．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，2)
C ．[2，＋∞)
D ．[3，＋∞) 答案 C
解析 当x ≥1时，log 2x ≥0， 所以y ＝2＋log 2x ≥2.
3．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b 答案 B
解析 a ＝log 23.6>1,1>c ＝log 43.6>b ＝log 43.2，故选B.
4．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． 答案 (4，－1)
解析 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)， 令x －3＝1，得x ＝4，此时y ＝－1.
5．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；
(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围． 解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．
(2)由图象知，当0<a <2时， 恒有f (a )<f (2)．
∴所求a 的取值范围为(0,2)．
1．知识清单：
(1)对数函数的图象及性质．
(2)利用对数函数的图象及性质比较大小． 2．方法归纳：图象变换，数形结合法．
3．常见误区：作对数函数图象易忽视底数a >1与0<a <1两种情况．
1．若0<a <1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案 A
解析 ∵y ＝log a (x ＋5)过定点(－4,0)且单调递减， ∴函数图象不过第一象限，故选A.
2．已知
12
log m <
12
log n
<0，则( )
A ．n <m <1
B ．m <n <1
C ．1<m <n
D ．1<n <m
答案 D
解析 因为0<1
2
<1，
12
log m <
12
log n
<0，
所以m >n >1，故选D.
3．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b
D ．a >b >c
考点 对数值大小比较 题点 对数值大小比较 答案 D
解析 a ＝log 36＝log 32＋1，b ＝log 52＋1，c ＝log 72＋1， 在同一坐标系内分别画出y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，
当x ＝2时，由图易知log 32>log 52>log 72， ∴a >b >c .
4.如图，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值有43，3，35，1
10，则相应C 1，C 2，C 3，C 4的
a 的值依次是( )
A.3，43，110，3
5
B.3，43，35，1
10
C.43，3，35，110
D.43，3，110，35 答案 B
5．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．b <c <a
B ．b <a <c
C ．c <a <b
D ．c <b <a
答案 D
解析 由题意知，a ＝log 45>1，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫120＝1，
c ＝log 30.4<0，故c <b <a .
6．比较大小，用不等号连接起来． (1)log 0.81.5________log 0.82； (2)log 25________log 75； (3)log 34________2； (4)log 35________log 64. 答案 (1)> (2)> (3)< (4)>
7．函数y ＝log a (x －4)＋2(a >0且a ≠1)恒过定点________． 答案 (5,2)
解析 令x －4＝1得x ＝5， 此时y ＝log a 1＋2＝2，
所以函数y ＝log a (x －4)＋2恒过定点(5,2)．
8．如果函数f (x )＝(3－a )x 与g (x )＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________． 答案 1<a <2
解析 若f (x )，g (x )均为增函数，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－a>1，a>1，即1<a <2；
若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨
⎪⎧
0<3－a<1，0<a<1，
无解．
故1<a <2.
9.已知函数y ＝log a (x ＋b )的图象如图所示．
(1)求实数a 与b 的值；
(2)函数y ＝log a (x ＋b )与y ＝log a x 的图象有何关系？ 解 (1)由图象可知，函数的图象过(－3,0)点与(0,2)点， 所以得方程0＝log a (－3＋b )与2＝log a b ， 解得a ＝2，b ＝4.
(2)由(1)知，y ＝log 2(x ＋4)．函数y ＝log 2(x ＋4)的图象可以由y ＝log 2x 的图象向左平移4个单位长度得到．
10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)； (2)y ＝log 4(x 2＋8)．
解 (1)由x －2>0，得x >2，
所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R . (2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义， 所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8，
所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝3
2
，
即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞.
11．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)
答案 A
解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1. ∴log 2(3x ＋1)>0.
∴函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 12．若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3x B ．log x 3<log y 3 C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭
⎪⎫14y
答案 C
解析 因为0<x <y <1，
所以由函数的单调性得3x <3y ，log x 3>log y 3，log 4x <log 4y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭
⎪⎫14y ，故选C. 13．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1,3]时，f (x )的值域是________． 答案 [0,1]
解析 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 因为log a 9＝2，所以a ＝3，即f (x )＝log 3x . 又因为x ∈[1,3]，所以0≤f (x )≤1.
14．已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
(1－2a )x ＋5a ，x <1，log 7x ，x ≥1
的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________．
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－13，12
解析 要使函数f (x )的值域为R ，则必须满足
⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－2a>0，log71≤1－2a ＋5a ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a<1
2，a ≥－1
3，
所以－13≤a <1
2
.
15．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象 答案 D
解析 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1， ∴g (x )的图象应为D.
16．已知函数f (x )＝|
12
log x
|.
(1)画出函数y ＝f (x )的图象； (2)写出函数y ＝f (x )的单调区间；
(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，m 时，函数y ＝f (x )的值域为[0,1]，求m 的取值范围．
解 (1)先作出y ＝
12
log x
的图象，再把y ＝
12
log x
的图象x 轴下方的部分往上翻折，得到f (x )＝|
12
log x
|的图象如图．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由图可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(3)由f(x)＝|
1
2
log x
|的图象可知f⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
＝f(2)＝1，f(1)＝0，
由题意结合图象知，1≤m≤2.
11 / 11。