(2021年整理)2013届高考理科数学一轮复习课时作业(56)分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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课时作业(五十六)
第56讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[时间：45分钟分值：100分］
基础热身
1．从集合{0，1，2，3,4,5，6｝中任取两个互不相等的数a,b组成复数a＋b i，其中虚数有( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
2．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )
A．10种 B．32种
C．25种 D．16种
3．记4名同学报名参加学校三个不同体育队，每人限报一队的不同报法种数为A;记3个班分别从5个风景点中选择一处游览的不同选法种数为B，则A，B分别是（）A．43,53 B．34，35
C．34，53 D．43，35
4．设A，B是两个非空集合，定义A*B＝｛(a，b）｜a∈A，b∈B｝,若P＝{0，1，2}，Q ＝{1,2，3,4}，则P*Q中元素的个数是（）
A．4 B．7
C．12 D．16
错误!
5．如图K56－1，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中,要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（)
A．72种 B．48种
C．24种 D．12种
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）
A．6种 B．12种
C．24种 D．30种
7．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是（)
A．36 B．48 C．52 D．54
8．［2012·豫南九校摸底］将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )
A．80 B．120
C．140 D．50
9．［2012·江西六校联考] 若自然数n使得作竖式加法n＋（n＋1）＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“良数"．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象;23不是“良数”,因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1 000的“良数”的个数为( ）A．27 B．36
C．39 D．48
10．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．
11．［2011·开封模拟］将1,2,3，…，9这9个数字填在如图K56－2所示的9个空格中，要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有________种。

2
12．学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天,且这两天要相连,那么不同的安排方法有________种（用数字作答）．13．［2012·安徽师大附中模拟］用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图K56－3中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色,________种.
14．（10分）有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？
（1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项;
（3）每项限报一人,但每人参加的项目不限．
15．(13分）如图K56－4所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
难点突破
16．(1）(6分）[2010·湖北卷] 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．56 B．65
C。

错误! D．6×5×4×3×2
(2）(6分)[2010·天津卷］如图K56－5所示，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（)
A．288种 B．264种
C．240种 D．168种
课时作业(五十六）
【基础热身】
1．C [解析] b有6种取法，a也有6种取法,由分步乘法计数原理共可以组成6×6＝36个虚数．
2．D [解析］由分步乘法计数原理知有2×2×2×2＝16（种）不同走法．
3．C ［解析］ 4名学生参加3个运动队，每人限报一个，可以报同一运动队，应该是人选运动队，所以不同的报法种数是34，故A＝34；3个班分别从5个风景点中选择一处游览,应该是班选风景点，故不同的选法种数是53，故B＝53.
4．C [解析] 由分步乘法计数原理知有3×4＝12个．
【能力提升】
5．A [解析］先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法,C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种,D只要不与C同色即可,故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．
6．C ［解析] 方法1：两人各选修2门的种数为C24C错误!＝36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C错误!＝6，故恰好有1门相同的选法有24种．
方法2：恰有1门相同,先从4门选1门，选法C错误!，然后甲从剩下的3门选1门，乙再从甲选后剩下的2门中选1门，根据乘法原理共有选法4×3×2＝24种．
7．B [解析] 若取出的数字含有0，则是2×A错误!＝12个，若取出的数字不含0,则是C错误!C错误!A错误!＝36个．根据加法原理得总数为48个．
8．A ［解析] 分两类：若甲组2人,则乙、丙两组的方法数是C1，3A错误!，此时的方法数是C错误!C错误!A错误!＝60;若甲组3人，则方法数是C错误!A错误!＝20。

根据分类加法计数原理得总的方法数是60＋20＝80.
9．D [解析] 一位良数有0,1,2，共3个；
两位数的良数十位数可以是1，2,3,两位数的良数有10，11，12，20，21,22,30，31，32，共9个；
三位数的良数有百位为1，2,3，十位数为0的,个位可以是0，1,2，共3×3＝9个，百位为1，2,3,十位不是零时,十位个位可以是两位良数，共有3×9＝27个．
根据分类加法计数原理，共有48个小于1 000的良数．
10．12 [解析］由分步乘法计数原理有4×3＝12.
11．6 [解析］左上方只能填1，右下方只能填9，此时4的上方只能填2.右上方填5时，其下方填6,7,8；右上方填6时，其下方填7，8；右上方填7时，其下方只能填8，此时左下方的两个格填法随之确定．故只能有3＋2＋1＝6种填法．
12．144 ［解析] 有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1，2)，(3，4）；（1，2)，(4,5）;(1,2），(5，6);（2,3），(4,5）;(2,3）,（5，6）；（3，4)，(5，6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A错误!＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种．
13．108 ［解析］分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1，5,9同色，则2，6的涂法为2×2，若3与1，5,9不同色，则3有两种涂法，2，6只有一种涂法，同理涂4，7，8,即涂法总数是C错误!（2×2＋C错误!×1)×(2×2＋C错误!×1)＝3×6×6＝108.
14．[解答] （1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种．
(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4
＝120种．
（3）由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种．
15．[解答] 方法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．
由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．
当S、A、B染好时,不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2,则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5,则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种．方法二:以S、A、B、C、D顺序分步染色．
第一步,S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法;
第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步,C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．
由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（1×3＋2×2）＝420种．
方法三：按所用颜色种数分类．
第一类,5种颜色全用，共有A55种不同的方法；
第二类,只用4种颜色,则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A4，5种不同的方法；
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．
由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为A错误!＋2×A错误!＋A错误!＝420种．【难点突破】
16．（1)A (2）B [解析] (1）本题考查计数原理等有关知识,在高考考纲中为B级要求．因为每位同学均有5种讲座可选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选择，故本题选A.
（2）分三类：①B、D、E、F用四种颜色,则有A错误!×1×1＝24种方法；
②B、D、E、F用三种颜色，则有A34×2×2＋A错误!×2×1×2＝192种方法;
③B、D、E、F用两种颜色，则有A错误!×2×2＝48，
所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．。