河南省鹤壁市高级中学2021-2022高一数学下学期周考试题(5.24)

河南省鹤壁市高级中学2021-2022高一数学下学期周考试题
（5.24）
一、选择题（共18题，每题5分） 1.已知集合(){}|221,A k k k Z απαπ=≤≤+∈,{}|44B αα=-≤≤,则A B ⋂等于
( )
A. ∅
B. {}
|44αα-≤≤ C. {}|0ααπ≤≤
D. {|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤
2.函数π
π2sin()cos()(R)36
y x x x =--+∈的最小值为( )
A.-3
B.-2
C.-1
D.3.设函数()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是( )
A.()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称 B.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C.把()f x 的图象向左平移
12
π
个单位长度，得到一个偶函数的图象 D.()f x 的最小正周期为π，且在0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数
4.已知函数
()cos (0),f x x x x R ωωω=+>∈.在曲线()y f x =与直线1y =的交
点中,若相邻交点距离的最小值为
3
π
,则()f x 的最小正周期为( )
A.
2π
B.
23π
C. π
D. 2π
5.函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭的图象向左平移12
π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()g x 的图象,若12()()9g x g x =,且[]12,2,2x x ππ∈-,则122x x -的最大值为( )
A.
174π B. 356π C. 256π D. 4912
π
6.已知,ABC O ∆为平面内一点,动点P 满足)sin sin (
C
AC AC B
AB AB OA OP ⋅+
⋅+=λ，
()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
7.已知12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，若1212,42a e e b e e =+=-+，则a 与b 的夹角为( ) A.30︒
B.60︒
C.120︒
D.150︒
8.设O 为ABC △内部的一点，且230OA OB OC ++=，则AOC △的面积与BOC △的面积之比为( ) A.3:2
B.5:3
C.2:1
D.3:1
9.已知b a ,是单位向量，0=⋅b a .若向量c
满足1=--b a c ,则c 的取值范围是
( ) A. 21,21⎡⎤
-+⎣
⎦ B. 21,22⎡⎤
-+⎣⎦
C. 1,21⎡⎤
+⎣
⎦ D. 1,22⎡⎤
+⎣⎦
10.如图，在ABC △中, 31
,43
AD AC BP BD =
=.若AP BA BC λμ=+,则λμ+=( )
A.
8
9
B. 29
-
C.
76
D. 23
-
11.在Rt ABC △中，P 是斜边BC 上一点，且满足1
2
BP PC =
，点,M N 在过点P 的一条直线上，若,(0,0)AM AB AN AC λμλμ==>>，则2λμ+的最小值为( )
A.2
B.
83
C.3
D.
103
12.
2cos10sin 20sin 70︒-︒
︒
的值是（ ）
A.
1
2
B. 2
13.设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++,2o πωϕ⎛
⎫
><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则( )
A. ()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 B. ()f x 在3,44
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 C. ()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递增 D. ()f x 在3,44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 14.
22sin110sin 20cos 155sin 155︒︒
︒-︒
的值为( )
A. 12-
B. 1
2
D. 15.若π3
cos 45
α⎛⎫-=
⎪⎝⎭,则sin 2α=( ) A.
725 B.
15
C.15
-
D.725
-
16.sin10sin30sin50sin 70的值为( )
A.
12 B. 14 C. 18 D. 1
16
17.如图,在ABC ∆中, AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =,则AC AD ⋅= ( )
A. 23
B. 32
C. 3
3
D. 3
18.已知向量)2
cos ,2(sin 44x x a = ，向量)1,1(=b ，函数b a x f ⋅=)(，则下列说法正确的是（ ）
A.)(x f 是奇函数
B.)(x f 的一条对称轴为直线4
π
=
x
C.)(x f 的最小正周期为π2
D.)(x f 在），（2
4π
π上为减函数
二、填空题（共4题，每题5分）
19.设0ω>,函数sin 23y x πω⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭图像向右平移43
π
个单位后与原图像重合,则ω的最小值为__________.
20.如图所示,在平行四边形ABCD 中, AP BD ⊥,垂足为P ,且3AP =,则
AP AC ⋅=__________.
21.已知()()π
cos ,sin ,cos ,sin ,02a b αββαβα==<<<
且12
a b ⋅=则αβ-=__________ 22.在ABC ∆中,若tan tan 33tan A B A B +=,则C ∠=__________.
三、解答题（共4题，每题10分）
23.已知函数()2πcos sin R 3f x x x x x ⎛
⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期;
（2）求()f x 在闭区间ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
24.已知函数()22cos cos f x x x x = （1）求函数()f x 的单调递减区间 （2）将函数()y f x =的图像向左平移12
π
个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的
12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,求()g x 在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域.
25.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量,其中()1,2a =. （1）若25c =,且c a ,求c 的坐标;
（2）若5
2
b =
,且2a b +与2a b -垂直,求a 与b 的夹角θ.
26.如图,已知在OAB ∆中,点C 是以A 为中心的点B 的对称点, D 在OB 上,且
2OD DB =,DC 与OA 交于E ,设b OB a OA
==,.
（1）用a 和b
表示向量OC ,DC ;
（2）若OE OA λ=,求实数λ的值.
鹤壁高中2022届数学周练参考答案
一、选择题 1.答案：D
解析：k 的取值为1,0-,A B ⋂为{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤,k 若为其他情况则为空集. 2.答案：C
解析：因为πππ(π)()362x -++=
,所以πππ2sin[()]cos()266
y x x =-+-+ ππ2cos()cos()66x x =+-+π
cos()6
x =+,所以min 1y =-.
3.答案：C
解析：当3x π=时，2,()sin 03
x f x π
+=π=π=，不合题意，A 错误；当4x π=时，5512,()sin 3662
x f x πππ+
===，B 错误；把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数
sin 2sin 2cos 21232y x x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛
⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，C 正确；当12x π=时，
sin 1122f ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，当6x π=时，
2sin 163f ππ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，在0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上()f x 不是增函数，D
错误. 4.答案：C
解析：由题意得函数()()2sin 06f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
, 又曲线()y f x =与直线 1?y =相邻交点距离的最小值是3
π
, 由正弦函数的图像可知, 6
6
x π
π
ω+=
和56
6
x π
πω+
=
对应的 x 的值相差3π,
即
233
ππ
ω=,解得2ω=, 所以() f x 的最小正周期是2T π
πω
==.
5.答案：D
6.答案：A
7.答案：C
解析：由已知，12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量， 所以1212121
1,cos602
e e e e e e ==⋅=⋅⋅︒=
，
所以2
2
212121212()21a e e e e e e e e =+=+=++⋅=+ 所以2121242(42)b e e e e =-+=-+22
121216416e e e e =+-⋅
=， 1212()(42)a b e e e e ⋅=+⋅-+2
2
1212422e e e e =-+-⋅1
4121232
=-⨯+⨯-⨯
=-，
所以1cos ,232a b a b a b
⋅=
=
=-⨯⋅.
因为0,180a b ︒≤≤︒，所以,120a b =︒.故选C. 8.答案：C
解析：设AC 的中点为,D BC 的中点为E ， 则()(22)240OA OC OB OC OD OE +++=+=, 所以2OD OE =-,即,,O D E 三点共线. 所以2OCD OCE S S =△△,所以2AOC BOC S S =△△. 所以:2:1AOC BOC S S =△△. 9.答案：A
解析：分别以b a
,的方向为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系,则,(0,1)b =,设
),,(),1,0(),0,1(y x c b a === 设,则）1,1(--=--y x b a c
, ∵1=--b a c ,∴22
(1)(1)1x y -+-=.
即(,)x y 是以点(1,1)M 为圆心, 1为半径的圆上的点,而22y x c +=
.所以c
可以理解
为圆M 上的点到原点的距离,由圆的性质可知r OM c r OM +≤≤-
,即
]12,12[+-∈c
.故选A.
10.答案：D
解析：因为11
()33
AP AB BP AB BD AB AD AB =+=+
=+- 21321()33434AB AC AB AB BC =
+⨯=++111
124BA BC =-+.所以由已知得111,124λμ=-
=,所以2
3
λμ+=-,故选D. 11.答案：B 解析：由题意
11
()
33
AP AB BP AB BC AB AC AB =+=+=+-
21213333AB AC AM AN λμ
=
+=+ 因为,,M N P 三点共线，所以
21
133λμ
+=
，所以2144482(2)(
)3333333
μλλμλμλμλμ+=+⋅+=++≥+=（当且仅当4
23
λμ==
时取等号），故选B 。

12.答案：C 解析：原式
()2cos 3020sin 20sin 70︒-︒-︒=
︒()2cos30cos 20sin 30sin 20sin 20sin 70︒⋅︒+︒⋅︒-︒
=︒
=
=13.答案：A
解析：由于()()(
)sin cos 4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭,由于该函数的最
小正周期为2π
πω
=
,得出2ω=,又根据()()f x f x -=,以及2
π
ϕ<
,得出4
π
ϕ=
.因此,
(
)222f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,若0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,则()20,x π∈,从而()f x 在
0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,若3,44
x ππ
⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
,则32,22x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,该区间不为余弦函数的单调区间,故B,C,D 都错,A 正确. 14.答案：B
解析： 原式1
sin 40cos 20sin 201
2cos310cos502
︒
︒︒===︒︒,故选B.
15.答案：D 解析：
2
237cos 22cos 1214
4525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,
cos 2cos 2sin 24
2ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤
-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,故选D.
16.答案：D
解析：原式=12sin10cos10cos 20cos 40sin80122cos1016cos1016
⨯==故选D. 17. 答案：D 18. 答案：D
解析：
4
2cos 3sin 2112cos 2sin 2)2cos 2(sin 2cos 2sin )(22222244x x x x x x x x b a x f +=
-=-+=+=⋅=
所以)(x f 是偶函数，4
π
=x 不是其对称轴，最小正周期为π，在)2
,4(
π
π上为减函数，所
以选D. 二、填空题 19.答案：
32
解析：函数sin 23y x πω⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭图象向右平移43
π
个单位后, 所得图像对应的函数为
44sin 2sin 23333y x x π
πωππωω⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-
++=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
, 由题意得:
()42333
x k x k Z ωπππ
ωπω-
+=++∈恒成立。

所以()3,02
k
k Z ωω=-
∈>, 所以ω的最小值为32
. 20.答案：18
解析：设AC BD O ⋂=,则2()AC AB BO =+,
2()22AP AC AP AB BO AP AB AP BO ⋅=⋅+=⋅+⋅
1822==+⋅=⋅（.
21.答案：3
π
解析：
21)cos(sin sin cos cos =-=+=⋅βαβαβαb a ，又0,2π
βα<<<所以
0,2
π
αβ<-<
故3
αβπ
-=
22.答案：60°
解析：tan tan tan A B A B ++=
)
tan tan tan tan tan 1A B A B A B +==-
∴
()
()tan tan tan tan tan 1A B
A B A B +=⇒+=-
∴120A B +=︒ 60C ∠=︒ 三、解答题
23.答案：(1)由已知,有
()
21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
2
1sin cos 2x x x =+
1sin 2cos2)4x x =+1sin 24x x =1πsin 223x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
∴()f x 的最小正周期2π
π2
T =
=. (2)∵ππ[,]44x ∈-,∴π5ππ
2[,]366
x -∈- .
当ππ232x -=- ,即πsin 213x ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭ 时, ()f x 的最小值为12-.
当ππ236x -
=,即π1sin 232x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭时, ()f x 的最大值为14.
∴函数()f x 在闭区间ππ[,]44
-上的最大值为14,最小值为1
2-.
24.答案：（1）∵(
)2cos 212sin 216f x x x x π⎛⎫
=++=+
+ ⎪⎝⎭
, 由3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+∈,解出Z k k x k ∈+
≤≤+,326ππππ, 所以()f x 的减区间为2k ,k ,6
3k Z π
πππ⎡⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
（2）因为将()f x 左移
12
π
得到1)32sin(21]6)12(2sin[2++=+++=πππx x y ，
横坐标缩短为原来的
12,得到()2sin 413g x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
∵04
x π
≤≤
,
44+333
x πππ
∴≤≤
sin 413x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭12sin 4133x π⎛⎫∴≤++≤ ⎪⎝⎭
所以所求值域为1⎡⎤-⎣⎦
25.答案：（1）设(),c x y =由c
a 和25c =可得:
221202
{,{204
y x x x y y ⋅-⋅==∴+==或2{4x y =-=-, ()2,4c ∴=或()2,4c =--
（2）∵()(
)22a b a b +⊥- ()()220a b a b ∴+⋅-=,
即2
2
2320a a b b +⋅-=
22
2320a a b b ∴+⋅-=,
5253204a b ∴⨯+⋅-⨯
=, 所以52
a b ⋅=-, 52cos 15a b a b
θ-⋅∴=
==-⋅
∵[0,]θπ∈. θ∴=π 26.答案：（1）由条件,可得
OB+OC=2OA ,∴b a OB OA OC
-=-=22,
2
3
CD OD OC OB OC =-=-
b a b a b 3
52)2(32+-=--=, ∴b a DC
3
52-=.
（2）设CE mCD =,
∴OE OC CE OC mCD =+=+
)352(2b a m b a +-+-=
b m a m )135
()22(-+-=.
又a OA OE
λλ==,
∴22,{510,3
m m λ-=-=解得3
,
5
{4,5
m λ==故45λ=.。