逻辑学第5章

三、假设证明法
1、间接推证法的特点认知 给定前提不够，需要附加。 2、假设证明法的基本思路 附加假设，依据蕴涵引入的规则有条件的推出相 关结论。 3、假设证明法的模式构造 4、应用举例分析 【例析4207－4210】 5、假设证明法的逻辑启示
四、反证法
1、反证法的特点认知
前提不够，需要附加。 附加与结论相矛盾的命题作为假设依据规则进行推导寻求矛盾。 找到矛盾后利用否定引入或销去规则反证结论成立。
2、构造规则(分解规则）
合取并列、析取分枝、多重转化
3、构造步骤及注意事项
多重转化、 合取先行、析取分枝、
4、具体应用
四、真值表法的局限性
1、完全真值表法的局限性 判定多变项命题公式过于繁琐。 2、归谬赋值法的局限性 仅能判定蕴涵式，且当被判定公式的后件为合取式或等值式是 须分情 况讨论多有不便。 3、真值树法的局限性 判定结构复杂的公式时，树冠过大操作不便。 4、问题：
p∧﹁q
*返回*
p T T F F
q T F T F
等值
p→q T F T T
﹁p∨q T F T T
p∧﹁q F T F F
矛盾
实例分析4104：
请用归谬赋值法判定（（p→q）∧﹁q）→﹁P这个推理是否有效？
（（p→q）∧﹁q）→﹁P
0
1
1 1 1 1
0
1
0
由上表可知： q 的赋值出现矛盾，此命题形式是重言式，与之相对应的
2、完全真值表法的判定功能
（1）命题公式的性质判定
(解释、例析4102）
（2）推理形式有效性的判定
（3）命题公式之间关系的判定
（例析4103）
三、简化真值表法
（一）归谬赋值法
1、判定功能 判定推理的有效性 2、基本思路 为证明一个蕴涵式是重言式，必须证明它不可能前件真而后件 假。其基本的思路在于赋值归谬。 3、操作程序 （例析4104） （1）先假定蕴涵式假； （2）依假设赋前件真而后件假； （3）依联结词的定义为各支命题赋值； （4）检查赋值结果有无矛盾。
二、完全真值表法
1、完全真值表的作法
*例析4101*
三个步骤：
1、找出已给命题公式的所有变项，并竖行列出这些变项的所有真 值组合； 2、根据命题公式的结构，由繁到简的依次横行列出，一次只引进 一个连接词，直至列出该公式本身； 3、依据基本真值表，有变项的真值逐步计算出每个部分的真值， 最后列出整个公式得真值。
（二）推证技巧应用原则
………… …………………………
推证技巧应用的基本思路：
………………
第三节 假设证明法与反证法的区别与综合应用
一、假设证明法与反证法的区别
二、假设证明法与反证法的综合应用 1、在证明中的综合应用 【例析4301】 2、在推理中的综合应用 【4302】
三、命题逻辑定理的证明
L4101:
第二节 命题演算的证明方法
一、命题演算方法概述
1、命题演算方法在问题求解上的必要性认知 2、命题演算与形式系统构造 3、公理系统与自然演绎系统 4、自然演绎法的基本思想 5、具体推证方法的认知 ※直接证明法 ※间接证明法 ※反证法
二、直接证明法
1、直接证明法的特点认知 勿需附加任何前提即可依规则从给定的前提推导出结论。 2、直接证明法的操作步骤 （1）依序编号排列前提，将结论写在最后一个前提的右侧并用“/∴” 断开。 （2）依据已知前提结合相关规则推出新的命题，依次编号写在下面。 （3）在推出的新命题右侧括号内注明前提依据和规则依据。 （4）证明结束写上证毕字样。 3、直接证明法与直接推理 4、应用举例分析 5、直接推证法的逻辑启示 【例析4201－4206】
2、反证法的模式构造
3、应用举例分析
【例析4211、4212】
4、反证法的逻辑启示
五、推证技巧分析
（一）推证实例分析 1.AB 2.CD 3.AC
BD
解法一：直接证明法
1.AB 2.CD 3.AC 4.AC 5.AD 6.BA 7.BD 8.BD 证毕。
BD (3.等值) (4.2.连锁) (1.易位) (6.4.连锁) (7.等值)
直接证明法（实例分析四）4204
回溯思考方法 1. A(BC) 2. AD 3. C(EF) 4. DF /E (1)“回溯”思考，首先要考察待证结论与前提的关联性，待证结论处在 命题的后件，要获 证必须基于对前件C的肯定。 (2) C与前提1关联，要获取必须基于主联结关系的销去。 (3) 前提1的销去，取决于对前提2中条件A的否定。 (4) 要获取对A的否定，必须基于对后件D的否定，而后件D的否定处在前 提4之中，要获取 D必先分解前提4。 “回溯”思考法有助于理清思路，其操作方法是 „„„„„„
(假设) (2.4.销去) (4.5.销去) (1.6.销去) (4－7.引入) (8.等值) (9.交换)
解法三：反证法
1.AB 2.CD 3.AC BD 4. (BD) (反设) 5. BD (4.等值) 6. B (5.销去) 7. A (1.6.销去) 8. C (3.7.销去) 9. D (2.8.销去) 10. D (5.销去) 11. DD (9.10.引入) 12.BD (4－11.销去) 证毕。
画一个完全真值表
((p→q) ∧p) →q p q p→q (p→q) ∧p ((p→q) ∧p) →q
*返回*
• • • •
p T T F
q T F T F
p→q T F T T
(p→q) ∧p T F F F
((p→q) ∧p) →q T T T
• F
T
命题公式的性质判定
一个真值形式是重言式，当且仅当它在其命题变项的任意一组赋 值下都真。例如，p∨ p是重言式，不论p取什么值，它的值都为 真。 一个真值形式是矛盾式，当且仅当它在其命题变项的任意一组赋 值下都假。例如，q∧q是矛盾式，不论q取什么值，它的值都假。 一个真值形式是可真式，当且仅它在其命题变项的至少一组赋值 下为真。例如，p∧q 是可真式。当p和q 都真时，p∧q为真。
例如：
实例分析4102：
pq
T T F F
T F T F
*返回*
p T T F F
q T F T F
p∨﹁p T T T T
永真式
q ∧﹁ q F F F F
永假式
p∧q T T T F
可真式
实例分析4103：
等值
矛盾
p T T F F
q T F T F
p→q
﹁p∨q
/BD
1. AB 2. CD 3. (AC)E 4. (EF) 5. EF 6. E 7. (AC) 8. AC 9. A 10. C 11.B 12.D 13.BD 证毕。
/BD （4，等值） （5，销去） （3，6，销去） （7，等值） （8，销去） （8，销去） （1，9销去） （2，10，销去） （11，12，引入）
4. D
/A
• • • • • • • • •
1. AB 2. BC 3. CD 4. D /A 5. C （3，4，销去） 6. B （2，5，销去） 7. A （1，6，销去） 证毕。 第15题—8、9
直接证法（实例分析二）4202
1. (AB)C 2. CD 3. BD /A
1、方法介绍 2、方法种类 (1)完全真值表法 (2)简化真值表法 3、判定功能 (1)判定任一命题的性质 (2)判定两个命题之间的关系 (3)判定一组前提的一致性 (4)判定一个推理的有效性 4、判定程序的三个要求
判定程序的三个要求
（1）程序的每一步都是由事先给定的规则明 确规定好的； （2）对于所判定的对象是否具有某种性质， 该程序能够给出唯一确定的结果； （3）该程序能够在由穷步骤结束。 判定程序的特点： 机械的、能行的、可判定的。
1. (AB)C 2. CD 3. BD 4. D 5. C 6. B 7. (AB) 8. AB 9. A 证毕。
/A （2，销去） （2，销去） （3，4，销去） （1，5，销去） （7，等值） （6，8，销去）
直接证明法（实例分析三）4203
1. 2. 3. 4. AB CD (AC)E (EF)
是否有一种方法既能解决命题逻辑有效性的判定问题又能解决有 效性的推导问题？
五范式方法
• • • • • • • • • • • • • 常用的重言式 1.同一律p→ p 2.分离律 （ （ p→ q ） ∧ p ）→ q 3.排中律p∨ ﹃ q 4.矛盾律﹃ （ p ∧ ﹃ p） 5.否定后件律（ （ p→ q ） ∧ ﹃p ）→ ﹃ p 6析取否定律(p∨ q) ∧ ﹃p ) → q (p∨ q) ∧ ﹃q ) → p 7.合取分解律（ p ∧ q ） → p p∧q ） →q 8.连锁蕴涵律(（ p→ q ） ∧(q → r）)→ (p→ r) 9.归谬律(p → （ r ∧ ﹃r）)→ ﹃ p 10.析取添加律p→ (p∨ q )
直接证明法（实例分析五）4205
推导结论
1. (BD) 2. CD 3. AB 4. (EF)C 5. AF
1. (BD) 2. CD 3. AB 4. (EF)C 5. AF 6. A 7. B 8. BD 9. D 10. C 11. (EF) 12. EF 13. F 14. E
第5章 真值表方法与命题演算
教学重点与要点
完全真值表法的判定功用 归谬赋值法的操作与判定 命题演算证明方法的应用与构造

学科知识的分析角度

命题推理形式有效性的传统判定方法 命题推理形式有效性的现代判定方法 真值表法 真值树法 命题演算自然演绎法


第一节 真值表方法
一、真值表方法
• • • • • • • •
11.双重否定律 12.德摩根律 13.合取交换律 14.分配律 15.蕴涵析取律 16.加元律 17.等值律 18.简化律
六范式
• 范式特点 • 第一，A Aˊ第二， Aˊ可只管判定 • 合取式范式（pq） （ p r) • p(p q) r 不是合取式范式(p （ p r)) (p q) • 析取式范式（p q） （ p r） p（ q r） 不是析取式范式p （q （p r））
解法二：假设证法
1.AB 2.CD 3.AC 4. B 5. A 6. C 7. D 8.BD 9.BD 证毕。
BD (假设) (1.4.销去) (3.5.销去) (2.6.销去) (4－7.引入) (8.等值)
4. D 5. C 6. A 7. B 8.DB 9.DB 10.BD 证毕。
下面推理是不有效
• 如果甲是罪犯，那么乙也是罪犯。以查明 甲是罪犯。所以，乙是罪犯。
• 1.如果运动着的物体某一瞬间在这儿，那么， 这一瞬间它肯定不在这儿。因此，运动着的 物体某一瞬间即在这儿又不在这儿。 • 2.运动着的物体某一瞬间在这儿，当且仅当 这一瞬间它不在这儿。因此，运动着的物体 某一瞬间即在这儿又不在这儿。 • 3.我们不可能既不保持安定局面有发展经济。 因此，保持安定局面是发展经济的必要条件。
归谬赋值法具体应用
• 事实上我的勺子是干的，所以我没有在自 己的咖啡中加糖。应为如果我搅动了咖啡， 我的勺子一定是湿的。然而我不会搅动咖 啡，除非我给它加糖。
• ( ( r p) ( q r) p) q • 0 1 1 0 1 1
（二）真值树法
1、判定功能
(1)判定一命题公式是否重言式； (2)判定一组前提的一致性； (3)判定一个推理的有效性。
推理形式是有效式。
运用归谬赋值法要注意：
※ 由于给变项赋值过程中有先后的不同，因而具体 矛盾的出现可能不同。 ※只有当赋值过程中矛盾不可避免的出现时，才能 表明原公式是重言式，相应的推理有效。 ※赋值过程中，变项的值有时候不能惟一的确定， 此时需要讨论。
*返回*
直接证明法（实例分析一）4201 1. AB 2. BC 3. CD