ch5控制系统的稳定性分析2019

6
s1,2 j 2 例如： s45s260
s3,4 j 3 s5 1
求导得:
4s310s10
§5-3 代数稳定性判据
二、 劳斯判据的其他应用
1、确定系统稳定时的参数取值范围 带参数计算ROTH阵列表第一列元素；令含参数的 元素大于零，得到系统稳定时的参数取值范围
2、确定系统稳定裕量 用(S-σ)代替S，如果用ROTH判据判断仍能 稳定，则表明该系统至少有稳定裕量σ
§5-3 代数稳定性判据
§5-3 代数稳定性判据
估计稳定裕量
jω’ jω
例4 s 3 7 s 2 1 s 7 1 0 1
o’
oσ
S3 1
17
S2 7
11
σ0
108
S1 7
0
设 S=S ´－σ0 ，若σ0 =1,
S0 11
0
用S=S ´－ 1代入
(s' 1 )3 7 (s' 1 )2 1(s 7 ' 1 ) 1 1 0
问题： 系统的闭环特征方程： (S )1G (s)0 解高阶微分方程求根困难， 能否不解高阶微分方程可以知道根分布情况？
下一节中劳斯稳定判据回答了这个问题
§5-3 代数稳定性判据
系统稳定的必要条件
C ( s ) B ( s )R ( s ) k c i r
js j
j)s ] [ (jj
2
j)]
DD D B ( (j (s s( ))) ω a ω ( 0D D iK 11 1 ( ( (js) ) pji)ω j 2 jk1 D ( ( 1) [s* ) ω j( D B2 e (j( D s)n j) ( ) j)ω j ] ) sj2 [( e (* ω j j* D j)) n ) ( ] e ω j n (
k
r
c(t) ciep it
ejt(A jcojts B jsin jt)
i 1
j 1
由上式知： 如果pi和i均为负值, 当t时,c(t)0。
§5-2 稳定的充要条件
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。
例： s 4 8 s 3 1s 2 7 1 s 6 5 0
1 17 5 8 16 0 15 5 13.3 0 5
817116
b1
8
15
151685
c1
15
13.3
d1
13.35150 13.3
5
8510
b2
8
5
15080 c2 15 0
G5 H0.1 G10 H0.1 G5 H0.2
r 1 y 10
无限放大直到饱和 无输入时因干拢直至饱和
§5-1 线性系统的稳定性
稳定性的定义 控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状 态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原 来的初始平衡状态。 注意：以上定义只适
用于线形定常系统。
(ω 1 () ω 2 () ω . . ) n ( .ω )
则当以s=jω代入D(s)并令ω从0∞时，D(jω)的角增量为：
§5-3 代数稳定性判据
• 特殊情况1：第一列出现0 D (s) s4 s3 3 s2 3 s 2 0
各项系数均为正数
s4
1
32
s3
1
30
s2
0( )
2
s1
3 2
0

s0
2
特殊情况：第一列出现0。 解决方法：用任意小正数代之。
§5-3 代数稳定性判据
• 特殊情况2：某一行元素均为0
§5-3 代数稳定性判据
例：（ 1 ） S 5 2 S 4 S 3 3 S 2 4 S 5 0
1、闭环特征方程系数全部大于零，
系统稳定与否继续第二步；
2、建立劳斯阵列表 因为第一列中，各元素
S5 S4
1 2
14 35
不同号，故系统不稳定。 S3 1 3
*2
又：由于第一列的元素 变号两次，应有两个极 点在S平面的右半面。
S2 9 S1 32 S0 5
5
*9
该系统有五个根：-2.0461 0.7336 ± 1.1577i -0.7105 ±0.8922i
§5-3 代数稳定性判据
第（ 一2 列） 元S 素4 等 于2 S 零3 时 ，S 系2 统 不2 S 稳 1 0
1定、。闭用环ε代特替征，方可程继系续数计全算部确大定于右零，继续第二步；
s'3 4 s'2 6 s' 0
此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。
§5-4 乃奎斯特稳定性判据
系统的开环频率特性Gk(jω)＝G(jω)H(jω)来 判断系统特征方程1+G(s)H(s)＝0的特征根是否具 有全部负实部的根
用分析或实验的方法来求得系统的频率特性， 另外在用Nyquist判据我们还能指出系统稳定性的 储备——即相对稳定，因此利用它来判断系统的 稳定性
以该系统不稳定。
无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使 系统稳定。
结构不稳定系统
校正装置
§5-2 稳定的充要条件
根据以上分析， 系统的稳定性判别归结为：
如果 系统的闭环特征根至少有一个根Si>0 或 复根时它的实部 -kk>0
即 根平面的右半面有闭环特征根， 那麽 系统闭环是不稳定的。
第五章 控制系统的稳定性分析
§5-1 控制系统的稳定性分析 §5-2 系统稳定的充要条件 §5-3 代数稳定性判据 §5-4 乃奎斯特稳定判据 §5-5 乃氏稳定判据分析延时系统的稳定性 §5-6 伯德图判据 §5-7 系统的相对稳定性
§5-1 线性系统的稳定性
一、稳定性的概念 定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的 作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系 统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系 统是稳定的，否则，不稳定。 •上述稳定是“渐近稳定”的 •“线性”系统通常是线性化的 因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论
系统特征方程
K
k
D (s ) a 0 (s p i) [s (j jj)s ] ( [j jj) ]0
i 1
j 1
j
P3
P1
S平面
P2 P5
O

Pn
P4
注意：稳定性与零点无关
§5-2 稳定的充要条件
结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。
•分母都是第一列 的元素， 如第三行第二列
a1a 2 a 0a 3 a1

A
Aa 3 a1a 4
a4
A
a4
3、判别劳斯阵列表第一列系数
注第：一通列常元a素0 >全0部，同因号此且，不劳为斯零稳时定系判统据稳可定以；简述为 劳否斯则阵，列系表统中不第稳一定列。的各数均大于零。
§5-3 代数稳定性判据
i1
j1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。 对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。
§5-2 稳定的充要条件
C ( s ) B ( s )R ( s ) k c i r
js j
D ( s ) i 1 s p i j 1 [ s ( j j j)s ] ( [j j j)]
K 1
T1 _ T2
K 0 H s
由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为
s2(T m s1 )K pK m K 1K 00
令 KKpKmK1K0,为系统的开环放大系数，则特 征方程展开写为
Tms3s2K0
为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的
中有系数为0 ，不满足系统稳定的必要条件，所
n
(1)1 pi
i1
各根之和
a2
a0
n
(1)2 pipj
i2
每次取两根乘积之和
a3
aa0n
a0
n
(1)3 pipjpk
(1)ni3n pi
i1
每次取三根乘积之和 各根之积
全部根具 有负实部
§5-3 代数稳定性判据
一、劳斯判据
闭环特征方程：
S n a 1 S n 1 a n 1 S a n 0
(2)实际系统参数的时变特性； (3)系统必须具备一定的稳定裕量。
§5-2 稳定的充要条件
稳定的充要条件 稳定的条件： 假设系统在初始条件为零时，受到单位脉 冲信号δ( t)的作用，此时系统的输出增量 （偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统 在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问 题，显然，当t→∞时，若：
否则系统就是小范围稳定的。
(b)小范围稳定 注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。
§5-1 线性系统的稳定性
(a)不稳定
§5-1 线性系统的稳定性
临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的 平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡， 则系统处于临界稳定状态。
注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。 原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；
D ( s ) i 1 s p i j 1 [ s ( j j j)s ] ( [j j j)]
设系统 特征根为p1、p2、…、pn-1、pn
D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 . .a n . 1 s a n 0
a1
a0
总结
§5-1 线性系统的稳定性
稳
不
定
稳
的
定
摆
的
摆
§5-1 线性系统的稳定性
跨越华盛顿州塔科马峡 谷的首座大桥，开通于 1940年7月1日。只要有 风，这座大桥就会晃动。
1940年11月7日，一阵 风引起了桥的晃动，而 且晃动越来越大，直到 整座桥断裂。
§5-1 线性系统的稳定性
Y G R 1 GH
某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。
k 0 为被控对象水箱的传递函数；
s
km s(Tm s 1)
为执行电动机的传递函数；
K1为进水阀门的传递系数；
Kp为杠杆比；
H0为希望水位高；
H为实际水位高。
H 0
_
K p
km s(T m s1 )
K 1
T 1 _ T 2
K 0 H s
H 0
_
Kp
km s(Tm s1)
(a)外加扰动
§5-1 线性系统的稳定性
(b)稳定
(c)不稳定
注意：控制系统自身的固有特性，取决于 系统本身的结构和参数，与输入无关。
§5-1 线性系统的稳定性
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取 消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。
(a)大范围稳定
§5-1 线性系统的稳定性
D (s ) s 5 s 4 5 s 3 5 s 2 6 s 6 0
各项系数均为正数 特殊情况：某一行元素均为0
s5
1
5
6 解决方法：全0行的上一行
s4
1
5
6 元素构成辅助方程，求导
s 3 0 4 0 10 0 后方程系数构成一个辅助
s2
5/2
6
s1
2/5
方程。
s0
2半、面建的立极劳点斯个阵数列。表
1 11
由于2-2/ε<0，故认为变号
+
2 0 ( )
2 1
0
两次，有两个极点在S平面 的右半面。
-2
+
1
2
1
该系劳统思四(r个ou根th)：判据的特殊情况 -•1特.8殊83情2况1：-0第.5一3列10出现0 • +特0殊.2情0况721：±某0一.9行7元8素3i均为0
§5-4 乃奎斯特稳定性判据 一、米哈伊洛夫定理
1.定理：设n次多项式D(s)有p个零点位于复平面的
右半平面，q个零点在原点上，其余n-p-q个零点
位于左半平面，则当以s=jω代入D(s)并令ω从
0∞时，D(jω)的角增量为：(n2pq)
G D ((ss )) ba0a 0ss0 mniK 1 ba( 11ss sm n 11p i..)....jk b1 am n[s 11ss (abm njj
ltim x0 0 系统（渐近）稳定。
§5-2 稳定的充要条件
C(s) R(s)
ba00ssmnba11ssmn11......bamn11ssas)
k
a0 (spi) [s(j jj)][s(j jj)]
1、闭环特征方程如果系数ai不是全部同号或有等于 零的项（缺项），则系统不稳定；
n
(SSi)0
i1
反之，如果系数ai全部同号则不能确定系统是稳定的； 进入第二步继续判别；
§5-3 代数稳定性判据
2、建立劳斯阵列表
a1a4 a0a5 a1
a4
劳斯阵列表:
a0
a2 a4
a1
a3 a5