2020-2021学年四川省遂宁市射洪中学高一(下)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年四川省遂宁市射洪中学高一（下）第一次
月考数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若向量a ⃗ =(3,m)，b ⃗ =(2,−1)，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则实数m 的值为( )
A. −3
2
B. 3
2
C. 2
D. 6
2. 计算sin43°cos13°−cos43°sin13°的结果等于( )
A. 1
2
B. √3
3 C. √22 D. √32
3. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，a ⃗ =(2,0)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ +2b ⃗ |=( )
A. √3
B. 2√3
C. 4
D. 12
4. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(sinα,cosα)，且a ⃗ //b ⃗ ，则tanα=( )
A. 3
4
B. −3
4
C. 4
3
D. −4
3
5. 设向量a
⃗ =(cos α,1
2)，若a ⃗ 的模长为√22
，则cos 2α等于( ) A. −1
2
B. −1
4
C. 1
2
D. √3
2
6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −16 B. −8 C. 8 D. 16
7. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1,−2)，则tan2α=
( )
A. −3
4
B. 3
4
C. −4
3
D. 4
3
8. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π
3，则向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 在向量e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )
A. −1
2
B. 1
2
C. −√714
D. √714
9. 已知sin(α+π
3
)+sinα=−
4√3
5
，则sin(α+π
6
)=( )
A. −4
5
B. 4
5
C. −3
5
D. 3
5
10. 在△ABC 中，若sin(A −B)=1+2cos(B +C)sin(A +C)，则△ABC 的形状一定是
( )
A. 等边三角形
B. 不含60°的等腰三角形
C. 钝角三角形
D. 直角三角形
11. 已知sin(α+π
6)=3
5，则sin(π
6−2α)的值为( )
A. −7
25
B. −4
25
C. 4
25
D. 7
25
12. 若函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值，则ω的取值范
围是( )
A. (0,112]∪[14,2
3]
B. (0,16]∪[13,2
3]
C. [14,2
3]
D. [13,2
3]
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算：sin 2π
12−cos 2π
12的值为______ ． 14. 若sinα−cosα=1
3，则sin2α= ______ ．
15. 已知直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ADC =90°，AD =2，BC =1，P 是腰DC
上的动点，则|PA
⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______． 16. 如图，延长正方形ABCD 的边CD 至点E ，使得DE =CD ，动点P 从点A 出发，沿
正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列判断正确的选项有______
①满足λ+μ=2的点P 必为BC 的中点； ②满足λ+μ=1的点P 有且只有一个； ③满足λ+μ=3的点P 有且只有一个； ④λ+μ=3
2的点P 有且只有一个； ⑤λ+μ的取值范围是[1,3]．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a ⃗ =(√3,1),b ⃗ =(0,1)．
(1)求a ⃗ 的单位向量a 0⃗⃗⃗⃗ ；
(2)若a ⃗ +λb ⃗ 与a ⃗ −λb ⃗ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
18.已知0<θ<π，且sinθ+cosθ=1
5
.求：
(1)sinθ−cosθ的值；
(2)tan2θ的值．
19.已知点A(cosx,1+cos2x)，B(−λ+√3sinx,cosx)，x∈(0,π)，向量a⃗=(1,0)．
(1)若向量BA
⃗⃗⃗⃗⃗ 与a⃗共线，求实数x的值；
(2)若向量BA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥a⃗，求实数λ的取值范围．
20.已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x−1(x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π
2
]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)若f(x0)=6
5，x0∈[π
4
,π
2
]，求cos2x0的值．
21.已知函数f(x)=xsinθ−cosθ，其中θ∈[0,2π)．
(1)若f(2)=0，求sin2θ的值；
(2)若a∈R，求af(1)+sin2θ的最大值ℎ(a)．
22.已知函数f(x)=2√2sin(x+π
4
)cosx−1．
(1)当x∈[−π
8,π
8
]时，求f(x)的值域；
(2)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g(x)=f(x)−a在x∈[0,nπ]上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：a⃗⋅b⃗ =6−m=0，
∴m=6．
故选D
根据两个向量的数量积为零，写出坐标形式的公式，得到关于变量的方程，解方程可得．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
2.【答案】A
【解析】解：sin43°cos13°−cos43°sin13°
=sin(43°−13°)
=sin30°
=1
．
2
故选：A．
观察所求的式子发现满足两角差的正弦函数公式sinαcosβ−cosαsinβ=sin(α−β)，故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值．
此题考查了两角差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=2√3．
故选：B．
根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平
方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
4.【答案】A
【解析】解：∵向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(sinα,cosα)，且a ⃗ //b ⃗ ， ∴3cosα−4sinα=0， ∴sinα
cosα=3
4； 即tanα=3
4． 故选：A ．
根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．
本题考查了平面向量的坐标运算以及同角的三角函数的运算问题，是基础题目．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得|a ⃗ |=√cos 2α+1
4=√
2
2，∴cos 2α=1
4．
∴cos2α=2cos 2α−1=−1
2，
故选：A ．
由|a ⃗ |=√cos 2α+14
=√2
2
，求得cos 2α=1
4，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α=
2cos 2α−1的值．
本题主要考查求向量的模，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠C =90°， ∴AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB
⃗⃗⃗⃗⃗ =42=16 故选：D ．
本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的定义及二倍角的正切公式的简单应用，属于基础题．
由三角函数的定义可求tanα，然后再由二倍角正切公式tan2α=2tanα
1−tan2α
即可求解．【解答】
解：由三角函数的定义可知，tanα=−2，
tan2α=2tanα
1−tan2α=−4
1−4
=4
3
．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积和向量的模及向量的投影，属于基础题．直接利用向量的数量积，向量的模和向量的投影运算求出结果．【解答】
解：单位向量e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为π
3
，
则e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1
2
．
|e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |=√(e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )2=1，
向量e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ 在向量e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ 方向上的投影为：
(e1→+2e2→)(e1→−e2→)
|e1→−e2→|=−1
2
．
故选A．
9.【答案】A
【解析】解：∵sin(α+π
3)+sinα=−4√3
5
，
∴1
2sinα+√3
2
cosα+sinα=√3(√3
2
sinα+1
2
cosα)=√3sin(α+π
6
)=−4√3
5
，
则sin(α+π
6)=−4
5
，
故选：A．
由题意利用两角和差和的三角公式，计算求得结果．
本题主要考查两角和差和的三角公式的应用，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：∵sin(A−B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)，
∴sinAcosB−cosAsinB=1−2cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB=1，
∴sin(A+B)=1，
∴sinC=1．
∵C∈(0,π)，
∴C=π
2
．
∴△ABC的形状一定是直角三角形．
故选：D．
利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出．
本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．
由题意利用诱导公式、二倍角公式进行化简所给的三角函数式，可得结果．
【解答】
解：∵sin(α+π6)=3
5， 则sin(π
6−2α)=cos(π
3+2α)
=1−2sin 2(α+π
6)=1−2×9
25=7
25， 故选：D ．
12.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π
6)， 由于函数在区间(π,2π)内没有最值； 故函数在在区间(π,2π)内单调，
①当函数为单调增函数时；−π2+2kπ≤ωx +π6≤2kπ+π
2， 整理得：
−
2π
3
+2kπω
≤x ≤
2kπ+π3
ω
(k ∈Z)，
所以{−
2π
3
+2kπω
≤π
2π≤
2kπ+
π
3
ω
，解得−2
3+2k ≤ω≤2k +1
6(k ∈Z)，
当k =0时，ω∈(0,1
6]．
②当函数为单调递减函数时，π2+2kπ≤ωx +π6≤2kπ+3π2
，
整理得
π
3
+2kπω≤x ≤
2kπ+4π3
ω
，
所以{π
3
+2kπω
≤π
2π≤2kπ+
4π
3
ω，解得1
3+2k ≤ω≤2k +2
3(k ∈Z)，
当k =0时，ω∈[13,2
3]． 故ω∈(0,1
6]∪[13,2
3]． 故选：B ．
直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】−√3
2
【解析】解：sin 2
π12−cos 2
π12
=−cos π
6=−√3
2
． 故答案为：−√3
2
．
利用二倍角的余弦公式，即可得出结论．
本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，比较基础．
14.【答案】8
9
【解析】解：∵sinα−cosα=1
3，平方可得1−2sinαcosα=1
9， 解得sin2α=8
9， 故答案为：89．
把sinα−cosα=1
3的等号两端平方，利用二倍角的正弦公式可得sin2α的值． 本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
15.【答案】5
【解析】解：如图，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，
则A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0) 设P(0,b)(0≤b ≤a)
则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−b)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,a −b)，
∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3a −4b)
∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√25+(3a −4b)2≥5． 故答案为5．
根据题意，利用解析法求解，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)，设P(0,b)(0≤b ≤a)，求出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量模的计算公式，即可求得|PA
⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用完全平方式非负，即可求得其最小值． 此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
16.【答案】③
【解析】解：设正方形边长为1，设P(x,y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E(−1,1)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{x =λ−μ
y =μ，∴λ+μ=x +2y ． 当点P 在AB 上时，{0≤x ≤1
y =0，∴λ+μ=x +2y ∈[0,1]，
当点P 在BC 上时，{0≤y ≤1
x =1，∴λ+μ=x +2y ∈[1,3]，
当点P 在CD 上时，{0≤x ≤1
y =1，∴λ+μ=x +2y ∈[2,3]，
当点P 在DA 上时，{0≤y ≤1
x =0
，∴λ+μ=x +2y ∈[0,2]．
由上分析可知，当λ+μ=2时，点P 为BC 的中点或点D 位置，∴①错； 当λ+μ=1时，点P 为点B 的位置或AD 的中点，∴②错； 当λ+μ=3时，点P 为点C(1,1)位置，∴③对； 当λ+μ=3
2时，点P 为(1,1
4)或(0,3
4)，∴④错； 由分析可知λ+μ∈[0,3]，∴⑤错． 故答案为：③．
以A 为原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系可解决此题． 本题考查平面向量坐标运算、分类讨论思想，考查数学运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由单位向量的概念得：
a 0⃗⃗⃗⃗ =
a ⃗ |a ⃗ |
=(
√32,1
2)或a 0⃗⃗⃗⃗ =−
a ⃗ |a ⃗ |
=(−
√3
2,−12
) 故答案为：(√32,1
2)或(−√3
2,−1
2)
(2)由已知有：
a ⃗ +λ
b ⃗ =(√3,1+λ)，a ⃗ −λb ⃗ =(√3,1−λ)， 由a ⃗ +λb ⃗ 与a ⃗ −λb ⃗ 的夹角为锐角， 则{(a ⃗ +λb ⃗ )⋅(a ⃗ −λb ⃗ )>0
a ⃗ +λ
b ⃗ 与a ⃗ −λb ⃗ 不共线
， 即{λ2
<4λ≠0
， 即实数λ的取值范围为：(−2,0)∪(0,2)， 故答案为：(−2,0)∪(0,2)
【解析】(1)由单位向量的概念得：a 0⃗⃗⃗⃗ =a
⃗ |a ⃗ |
，运算可得解； (2)由m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为锐角，则两向量数量积大于0且不共线，则由a ⃗ +λb ⃗ 与a ⃗ −λb ⃗ 的夹角为锐角，则{(a ⃗ +λb ⃗ )⋅(a ⃗ −λb ⃗ )>0
a ⃗ +λ
b ⃗ 与a ⃗ −λb ⃗ 不共线，计算可得解．
本题考查了两个向量的夹角公式及数量积运算，属易错题．
18.【答案】解：∵已知0<θ<π，且sinθ+cosθ=15，∴1+2sinθcosθ=1
25，∴
2sinθcosθ=−24
25，
(1)sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2=√1−2sinθcosθ=√1+
2425=7
5
．
(2)由sinθ+cosθ=1
5，sinθ−cosθ=7
5，求得sinθ=4
5，cosθ=−3
5，∴tanθ=sinθcosθ
=−4
3
，
∴tan2θ=2tanθ
1−tan 2θ=247
．
【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，计算求得结果． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，属于中档题．
19.【答案】(本小题满分12分)
解：(I)∵A(cosx,1+cos2x)，B(−λ+√3sinx,cosx)，x ∈(0,π)， ∴BA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosx +λ−√3sinx,1+cos2x −cosx)， ∵a ⃗ =(1,0)，向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a
⃗ 共线， ∴1+cos2x −cosx =0，即2cos 2x −cosx =0， ∴cosx =0，或cosx =1
2． 又∵x ∈(0,π)，∴x =π
2或x =π
3． (II)∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥a ⃗ ，
∴λ=√3sinx −cosx =2sin(x −π
6)，
∵0<x <π，∴−π
6<x −π
6<5π6，
∴−1
2<sin(x −π6)≤1， ∴−1<λ≤2，
∴λ的取值范围是(−1,2]．
【解析】(I)由A(cosx,1+cos2x)，B(−λ+√3sinx,cosx)，x ∈(0,π)，知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosx +λ−√3sinx,1+cos2x −cosx)，由a ⃗ =(1,0)，向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ 共线，知1+cos2x −cosx =0，由此能求出实数x 的值．
(II)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥a ⃗ ，知λ=√3sinx −cosx =2sin(x −π
6)，由0<x <π，知−π
6<x −π
6<5π6
，
故−1
2<sin(x −π
6)≤1，由此能求出λ的取值范围．
本题考查向量共线和向量平行的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
20.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1，得
f(x)=√3(2sinxcosx)+(2cos 2x −1)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π
6)
所以函数f(x)的最小正周期为π．
因为f(x)=2sin(2x +π
6)在区间[0,π
6]上为增函数，在区间[π6,π
2]上为减函数，
又f(0)=1，f(π
6)=2，f(π
2)=−1，所以函数f(x)在区间[0,π
2]上的最大值为2，最小值为−1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x 0)=2sin(2x 0+π
6) 又因为f(x 0)=6
5，所以sin(2x 0+π
6)=35 由x 0∈[π4,π
2]，得2x 0+π
6∈[2π3,
7π
6
]
从而cos(2x 0+π
6)=−√1−sin 2(2x 0+π
6)=−4
5．
所以
cos2x 0=cos[(2x 0+π
6
)−π
6
]=cos(2x 0+π
6
)cos π
6
+sin(2x 0+π
6
)sin π
6
=
3−4√3
10
．
【解析】先将原函数化简为y =Asin(ωx +φ)+b 的形式
(Ⅰ)根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0,π
2]上的最值． (Ⅱ)将x 0代入化简后的函数解析式可得到sin(2x 0+π
6)=3
5，再根据x 0的范围可求出cos(2x 0+π
6)的值，
最后由cos2x 0=cos(2x 0+π
6−π
6)可得答案．
本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin(ωx+φ)的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．
21.【答案】解：(1)由f(2)=2sinθ−cosθ=0，tanθ=1
2
，
∴sin2θ=2sinθcosθ
sin2θ+cos2θ=2tanθ
tan2θ+1
=4
5
．
(2)若a∈R，求af(1)+sin2θ=a(sinθ−cosθ)+2sinθcosθ，
设t=sinθ−cosθ=√2sin(θ−π
4
)∈[−√2,√2]，则2sinθcosθ=1−t2，
∴g(t)=at+1−t2=−(t−a
2)2+a2
4
+1．
当a
2
<−√2时，g(t)的最大值ℎ(a)=g(−√2)=−√2a−1；．
当a
2
>−√2时，g(t)的最大值ℎ(a)=g(√2)=√2a−1．
当−√2≤a
2≤√2时，g(t)的最大值ℎ(a)=g(a
2
)=a2
4
+1．
【解析】(1)由f(2)=0，求得tanθ的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得sin2θ的值．
(2)设t=sinθ−cosθ，化简af(1)+sin2θ为g(t)=at+1−t2，再利用二次函数的性质，分类讨论求得它的最大值．
本题主要考查三角恒等变换，二次函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)f(x)=2√2sin(x+π
4
)cosx−1=2(sinx+cosx)⋅cosx−1
=2sinxcosx+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π
4
)，
当x∈[−π
8,π
8
]时，2x+π
4
∈[0,π
2
]，
∴sin(2x+π
4
)∈[0,1]，则f(x)∈[0,√2]．
(2)假设同时存在实数a和正整数n满足条件，
函数g(x)=f(x)−a在x∈[0,nπ]上恰有2021个零点，
即函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上恰有2021个交点．
当x∈[0,π]时，2x+π
4∈[π
4
,9π
4
]，作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象如下图所示：
①当a>√2或a<−√2时，函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上无交点，
②当a=√2或a=−√2时，函数y=f(x)与直线y=a在[0,π]上有一个交点，
此时要使函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上恰有2021个交点，则n=2021；
③当−√2<a<1或1<a<√2时，函数y=f(x)与直线y=a在[0,π]上有两个交点，此时函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上有偶数个交点，不符合题意；
④当a=1时，函数y=f(x)与直线y=a在[0,π]上有三个交点，
此时要使函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上恰有2021个交点，则n=1010；
综上所述，存在实数a和n满足题设条件：a=√2时，n=2021；a=−√2时，n=2021；a=1时，n=1010．
【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简f(x)的解析式，然后求解函数的值域即可．
(2)画出函数的图象，通过对a讨论，求解零点的个数，推出结果即可．
本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的值域，函数的零点个数的判断，是中档题．。