初三数学竞赛专题讲座(三)_2
九年级数学竞赛讲座(共10讲)
目录第一讲分式方程(组)的解法第二讲无理方程的解法第三讲简易高次方程的解法第四讲有关方程组的问题第五讲函数的基本概念与性质第六讲二次函数第七讲函数的最大值与最小值第八讲根与系数的关系及应用第九讲判别式及其应用第十讲一元二次不等式的解法第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x－8，那么原方程为去分母得y(y－15x)＋(y+9x)(y－15x)＋y(y＋9x)=0，y2－4xy－45x2=0，(y+5x)(y－9x)=0，所以y=9x或y=－5x．由y=9x得x2+2x－8=9x，即x2－7x－8=0，所以x1=－1，x2=8；由y=－5x，得x2+2x－8=－5x，即x2＋7x－8=0，所以x3=－8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2－18y+72=0，所以y1=6或y2=12．x2－2x＋6=0．此方程无实数根．x2－8x+12=0，所以x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=－9．经检验知，x=－9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x－22＝0，解得x1=2，x2=－11．经检验知，x1=2，x2=－11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2－3x－2=2x2+5x－3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a－2b或x2=b－2a代入分母b+x，得a－b或2(b－a)，所以，当a≠b时，x1=a－2b及x2=b－2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2－2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4－4·2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=－4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2－2x=0，x(x－1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4－2×2＋(a+4)=0，即a=－8．这时方程①的另一个根是x=－1(因为2x2－2x－4=0．(x－2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=－1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x－28＝0，所以x1=4，x2=－7．经检验知，x2=－7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9－6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy－8=0，(xy＋4)(xy－2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2－1)－(x2－3x－2)=(2x2+2x+3)－(x2－x+2)．设则u2－v2＝w2－t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u－v=w－t．③②＋③得u=w，即解得x=－2．经检验，x=－2是原方程的根．例8 解方程整理得y3－1=(1－y)2，即(y－1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=－1．经检验知，x=－1是原方程的根．整理得y3－2y2+3y=0．解得y=0，从而x=－1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程第三讲简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程x3－2x2－4x＋8=0．解原方程可变形为x2(x－2)－4(x－2)=0，(x－2)(x2－4)=0，(x－2)2(x+2)=0．所以x1＝x2＝2，x3=－2．说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样=0可化为bkx3+bx2+dkx+d=0，即(kx+1)(bx2+d)=0．方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．例2 解方程(x－2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x－14)(x2＋5x＋4)=19．设(y－9)(y+9)=19，即y2－81＝19．说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．例3 解方程(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．解我们注意到2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)－1，所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令y=6x＋7，①由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，即y2(y＋1)(y－1)=72，y4－y2－72＝0，(y2＋8)(y2－9)=0．因为y2＋8＞0，所以只有y2－9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为例4 解方程12x4－56x3+89x2－56x+12=0．解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由例5 解方程解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．所以经检验，x1=－1，x2=2是原方程的根．例6 解方程(x+3)4+(x+1)4=82．分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y＋1)4＋(y－1)4＝82，整理得y4+6y2－40=0．解这个方程，得y=±2，即x+2=±2．解得原方程的根为x1=0，x2=－4．说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如(x＋a)4＋(x+b)4=c例7 解方程x4－10x3－2(a－11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥－6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2－2(x2－5x－1)a+(x4－10x3＋22x2+12x)=0，△=4(x2－5x－1)2－4(x4－10x3＋22x2＋12x)=4(x2－2x+1)．所以所以a=x2－4x－2或a=x2－6x．从而再解两个关于x的一元二次方程，得练习三1．填空：(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．(2)方程x3－3x＋2=0的根为_____．(3)方程x4+2x3－18x2－10x+25=0的根为_______．(4)方程(x2+3x－4)2＋(2x2－7x＋6)2=(3x2－4x+2)2的根为______．2．解方程(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程x5＋2x4－5x3＋5x2－2x－1=0．4．解方程5．解方程(x+2)4+(x－4)4=272．6．解关于x的方程x3+(a－2)x2－(4a+1)x－a2＋a+2=0．第四讲有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．1．二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．例1 解方程组解②×2－①×3得4x＋9y－6＝0．方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组解②×(－2)+①得3y2+3y－6=0，所以y1=1，y2=－2．解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．例3 解方程组解由②得(2x+y)(x－2y)=0，所以2x+y=0或x－2y=0．因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组解由①－②×2得x2－2xy－3y2=0，即(x+y)(x－3y)=0，所以x＋y=0或x－3y=0．分别解下列两个方程组得原方程组的解为2．二元对称方程组方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如x2－5xy＋y2－3x－3y=7，等都是二元对称方程．由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如等都是二元对称方程组．我们把叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．例5 解方程组解方程组中的x，y分别是新方程m2－5m+4=0的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)．由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．例6 解方程组解原方程组可变形为①×2＋②得令u=x＋y，则即而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为例7 解方程组分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得xy=16．④由②，④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例8 解方程组分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x－y=0，从而使方程降次化简．解①－②，再因式分解得(x－y)(x+y－10)=0，所以x－y－0或x＋x－10=0．解下列两个方程组得原方程组的四组解为例9 解方程组解法1用换元法．设4x＋5=A，4y+5=B，则有即③－④并平方得整理得所以因此A－B=0或分别解下列两个方程组与经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是解法2①－②得即所以x－1与y－1同号或同为零．由方程①得所以x－1与y－1不能同正，也不能同负．从而x－1=0，y－1=0．由此解得经检验，x=1，y=1是方程组的解．练习四1．填空：(1)方程组的解有_____组．(2)若x，y是方程组(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．(4)已知实数x，y，z满足方程组则xyz=________．2．解方程组：3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若4．已知一元二次方程a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．5．(1)解方程组第五讲函数的基本概念与性质函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究．1．求函数值和函数表达式对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题．例1 已知f(x－1)=19x2＋55x－44，求f(x)．解法1令y=x－1，则x=y+1，代入原式有f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)－44＝19y2＋93y＋30，所以f(x)=19x2+93x＋30．解法2f(x－1)=19(x－1)2＋93(x－1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30．可．例3 已知函数f(x)=ax5－bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(－5)．解由题设f(－x)=－ax5＋bx3－x＋5=－(ax5－bx3＋x＋5)+10=－f(x)+10，所以f(－5)=－f(5)＋10=3．例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x，y，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)．解设f(0)=k，令y=0代入已知条件得f(x)=f(x+0)=f(x·0)=f(0)=k，即对任意实数x，恒有f(x)=k．所以f(x)=f(19)=99，所以f(1999)=99．2．建立函数关系式例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l2：y=mx＋b过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，并画出图像．解因为l2过点C(1，0)，所以m＋b=0，即b=－m．设l2与y轴交于点D，则点D的坐标为(0，－m)，且0＜－m≤2(这是因为点D在线段OA上，且不能与O点重合)，即－2≤m＜0．故S的函数解析式为例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式．解设矩形ABCD的长BC大于宽AB的2倍．由于周长为12，故长与宽满足4＜BC＜6，0＜AB＜2．由题意，有如下两种情形：CE1＝x，BE1＝BC－x，AB＝CD＝2(BC－x)，所以(2AB＋x)+AB=6，所以3．含绝对值的函数一次函数的图像是一条直线，含有绝对值符号的函数所对应的图像是由若干条线段和射线所组成的折线；二次函数的图像是抛物线，而y=|ax2＋bx＋c|的图像是将y=ax2+bx+c 在x轴下方的图像按x轴为对称轴翻到x轴的上方．对于一些其他的含绝对值符号的函数和方程的图像，需要按区间分段讨论．例7 作函数y=|3－x|+|x－1|的图像．解当x＜1时，y=(3－x)+(1－x)=－2x+4；当1≤x＜3时，y=(3－x)＋(x－1)=2；当x≥3时，y=(x－3)＋(x－1)=2x－4．所以它的图像如图3－3所示．例8 作函数y=|x2－5x+6|的图像．解当x≤2或x≥3时，x2－5x+6≥0，于是y=x2－5x+6；当2＜x＜3时，x2－5x+6＜0，于是y=－(x2－5x+6)．所以于是，得图像如图3－4所示．例9 点(x，y)满足方程|x－1|+|y+2|=2，求它的图像所围成区域的面积．解当x≥1，y≥－2时，x－1＋y＋2=2，即y=－x+1．当x≥1，x＜－2时，x－1－(y＋2)=2，即y=x－5．当x＜1，y≥－2时，－x+1+y＋2=2，即y=x－1．当x＜1，y＜－2时，－x＋1－(y＋2)=2，即y=－x－3．于是，所得图像如图3－5所示．由此可知，|x－1|+|y+2|=2的图像是一个对角线长为4，边长为2例10m是什么实数时，方程x2－4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根？解法1将原方程变形为x2－4|x|＋4=m－1．令y=x2－4|x|+4=m－1，则它的图像如图3－6，而y=m－1是一条与x轴平行的直线．原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点．由图像可知，当0＜m－1＜4，即1＜m＜5时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当1＜m＜5时，方程x2－4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根．说明本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方法——数形结合法．当然，本题不用图像也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下．解法2原方程变形为(|x|－2)2＝m－1，练习五1．填空：(1)已知f(x－1)=19x2＋55x－44，则f(x)=_______．(2)对所有实数x，f(x2+1)=x4＋5x2＋3，那么对所有实数x，f(x2－1)=_______．(3)设x与y2成反比例，y与z2成正比例．当x=24时，y=2；当y=18时，z=3，则z=1时，x=_______．(4)已知y=2x2＋mx＋5的值恒为正，且m为实数，则m的范围是_______．函数，且当x=2，x=3时，y的值都为19，则y的解析式为y=_______．(6)如果y＋m与x＋n成正比例，且当x=1时，y=2；当x=－1时，y=1，则y与x间的函数关系式是y=_______．2．在平面直角坐标系里，点A的坐标是(4，0)，点P是第一象限内一次函数y=－x＋6的图像上的点，原点是O，如果△OPA的面积为S，P点坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．3．平面直角坐标上有点P(－1，－2)和点Q(4，2)，取点R(1，m)，试问当m为何值时，PR＋RQ有最小值．试求k的取值范围．5．设y=|x+2|+|x－4|－|2x－6|，且2≤x≤8，试求y的最大值与最小值之和．6．作y=2|x－3|，y=x－a的图像，问a取什么值时，它们可以围出一个平面区域，并求其面积．7．m是什么实数时，方程|x2－4x+3|=m有三个互不相等的实数解．第六讲二次函数二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一．另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用．通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键．1．二次函数的图像及其性质例1 (1)设抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x－4恰好有一个交点，求p，q的值．(2)把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)与(4，9)，求p，q的值．(3)把抛物线y=ax2＋bx＋c向左平移三个单位，向下平移两个单位析式．解(1)抛物线y=2x2向右平移p个单位后，得到的抛物线为y=2(x－p)2．于是方程2(x－p)2=x－4有两个相同的根，即方程2x2－(4p+1)x+2p2＋4=0的判别式△=(4p+1)2－4·2·(2p2＋4)=0，抛物线y=2x2向下平移q个单位，得到抛物线y=2x2－q．于是方程2x2－q=x－4有两个相同的根，即△=1－4·2(4－q)=0，(2)把y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为y=2(x+p)2＋q．于是，由题设得解得p=－2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．解得h=3，k=2．原二次函数为说明将抛物线y=ax2＋bx＋c向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x－p)2＋b(x－p)＋c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c；向上平移q个单位，得到y=ax2＋bx ＋c＋q；向下平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c－q．例2 已知抛物线y=ax2＋bx＋c的一段图像如图3－7所示．(1)确定a，b，c的符号；(2)求a＋b＋c的取值范围．解(1)由于抛物线开口向上，所以a＞0．又抛物线经过点(0，－1)，合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0．(2)记f(x)=ax2＋bx＋c．由图像及(1)知所以a+b＋c=a＋(a－1)－1=2(a－1)，－2＜a＋b＋c＜0．例3 已知抛物线y=ax2－(a＋c)x+c(其中a≠c)不经过第二象限．(1)判断这条抛物线的顶点A(x0，y0)所在的象限，并说明理由；(2)若经过这条抛物线顶点A(x0，y0)的直线y=－x+k与抛物线的另一解(1)因为若a＞0，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线y=ax2－(a＋c)x+c的图像不经过第二象限时，必有a＜0．又当x=0时，y=c，即抛物线与y轴的交点为(0，c)．因为抛物线不经过第二象限，所以c≤0．于是所以顶点A(x0，y0)在第一象限．B在直线y=－x+k上，所以0=－1+k，所以k=1．又由于直线y=－x+1经过－2x2+2x．2．求二次函数的解析式求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三个独立的条件确定三个系数a，b，c．一般地有如下几种情况：(1)已知抛物线经过三点，此时可把三点坐标代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组可得系数a，b，c．或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析式，得两个方程，再利用其他条件可确定a，b，c．或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解析式，再结合其他条件确定a，b，c．(2)已知抛物线的顶点坐标为(h，k)，这时抛物线可设为y＝a(x－h)2＋k，再结合其他条件求出a．(3)已知抛物线与x轴相交于两点(x1，0)，(x2，0)，此时的抛物线可设为y=a(x－x1)(x－x2)，再结合其他条件求出a．例4 设二次函数f(x)=ax2＋bx＋c满足条件：f(0)=2，f(1)=－1，解由f(0)=2，f(1)＝－1，得即c=2，b=－(a＋3)．因此所求的二次函数是y＝ax2－(a＋3)x＋2．由于二次函数的图像在x轴上所截得的线段长，就是方程ax2－(a＋3)x＋2=0两根差的绝对值，而这二次方程的两根为于是因此所求的二次函数表达式为例5 设二次函数f(x)=ax2＋bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求a，b，c的值．分析当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成f(x)＝a(x－3)2＋10，且a＜0．解因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图像在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图像与x轴交点的横坐标分别是1，5．因此，二次函数又可写成f(x)=a(x－1)(x－5)的形式，从而a(x－3)2+10=a(x－1)(x－5)，所以例6 如图3－8，已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0，b＜0)的图像与x轴、y轴都只有一个公共点，分别为点A，B，且AB=2，b＋2ac=0．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y=x＋k的图像过点A，并和二次函数的图像相交于另一点C，求△ABC的面积．解(1)因二次函数的图像与x轴只有一个公共点，故b2－4ac＝0，而b+2ac=0，所以b2＋2b=0，b=－2(因为b＜0)．点B的坐标为(0，c)，AB=2，由勾股定理得所以1＋a2c2=4a2．因为ac=1，所以4a2=2，练习六1．填空：(1)将抛物线y=2(x－1)2+2向右平移一个单位，再向上平移三个单位，得到的图像的解析式为______．(2)已知y=x2＋px＋q的图像与x轴只有一个公共点(－1，0)，则(p，q)=____．(3)已知二次函数y=a(x－h)2＋k的图像经过原点，最小值为－8，且形(4)二次函数y=ax2＋bx＋c的图像过点A(－1，0)，B(－3，2)，且它与x轴的两个交点间的距离为4，则它的解析式为________．(5)已知二次函数y=x2－4x＋m＋8的图像与一次函数y=kx+1的图像相交于点(3，4)，则m=___，k=_____．(6)关于自变量x的二次函数y=－x2＋(2m＋2)x－(m2+4m－3)中，m是不小于零的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边，则这个二次函数的解析式为____．2．设抛物线y=x2＋2ax＋b与x轴有两个不同交点．(1)把它沿y轴平移，使所得到的抛物线在x轴上截得的线段的长度是原来的2倍，求所得到的抛物线；(2)通过(1)中所得曲线与x轴的两个交点，及原来的抛物线的顶点，作一条新的抛物线，求它的解析式．3．已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点为C．(2)若△ABC是等腰直角三角形，求b2－4ac的值；(3)若b2－4ac=12，试判断△ABC的形状．4．有两个关于x的二次函数C1：y=ax2＋4x＋3a和C2：y=x2+2(b＋2)x+b2+3b．当把C1沿x轴向左平移一个单位后，所得抛物线的顶点恰与C2的顶点关于x轴对称，求a，b．5．已知二次函数y＝x2－2bx+b2+c的图像与直线y=1－x只有一个公共点，并且顶点在二次函数y=ax2(a≠0)的图像上，求a的取值范围第七讲函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x 的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y－z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40－2x，z=x－10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40－2x)＋2(x－10)=－x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=－x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2－(k－2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[－(k－2)]2－4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值－3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．－a2＋4a－1＝－3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4－x，EM=4－y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为－2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=－17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x－1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13－f(x)=(1－a)x2+2(a＋8)x＋8－a．由于g(x)的最小值是－2，于是解得a=－2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y－1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2－4(2y－1)(y＋3)≥0，解得－4≤y≤1．时，取最小值－4，当x=－2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2－ax＋(y－b)＝0．因x是实数，故△=(－a)2－4·y·(y－b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为－1，所以(y+1)(y－4)≤0，即y2－3y－4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到－3，即－3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2－x－2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=－1，所以，u的最小值为－1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习七。
专题 定义新运算
初中数学竞赛辅导专题讲座定义新运算例1现定义运算“*”为1111a b ab a b M *=++++，且4213*=，试求20032004*的值. 例2对于任意有理数,x y ，我们定义一种新运算“*”：x y a x b y c x y *=+-，且123,234*=*=， x m x *=，其中0m ≠.试求m 的值.例3填空题：If ()12a a a +<>=for all integers a ，and 8b <>=<>,then<b >is .1． 填空题：若规定23x y x y xy ∆=++，则()12x ∆∆= .2． 对于任意有理数,a b 运算⊕与⊗的定义如下：1a b a b ⊕=++，1a b ab ⊗=+，试求()()46835⊗⊕⊕⊗⎡⎤⎣⎦的值.3． 习惯上，我们用记号()f x 表示一个多项式，比如可以记()2258f x x x =-+，试计算()2f -的值.4． 若规定运算℘使得22323425℘=+=，2224345677℘=++=,计算65℘的值.5． 若规定运算 使得a a b b ab =- ，试计算320 的值. 6． 已知()x 表示不超过x 的质数的个数，如()84=，因不超过8的质数有2，3，5，7共4个.试求()()()2091⨯+的值.7. 定义运算()()22@:@x y x y xy =-÷,其中 ,x y 均不为零，试通过验证3@2与2@3来检验该运算是否满足交换律.8．对于任意三个互不相等的有理数,,a b c ，我们规定,,c a a b c c b+=- ，试求1,2,3-- 的值.9．对于任意正整数,x y ，定义运算:x y ∆∆表示由x 开始的连续y 个正整数的和，如232349∆=++=，3634567833∆=+++++=.试求()2223∆∆∆⎡⎤⎣⎦的值.10．{}max ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最大者，{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小者，求{}{}{}m in m ax 1,2,1,m in 5,10,11,7-的值.1．对于不小于3的自然数n ，现规定一种操作：()n 表示不是n 的约数的最小自然数，如()()72,125==，试求()()1998⨯的值.2．现定义1a b a b ab +=- ，其中,a b 为有理数，试求111258⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 的值. 3．选择题：如果定义运算∆为ab a b a b ∆=+，那么对于该运算“∆”关于交换律， A.运算满足交换律，但不满足结合律 B. 运算满足结合律，但不满足交换律C. 运算既满足交换律，也满足结合律D. 运算既不满足交换律，也不满足结合律4. 对于任意有理数,x y ，满足运算: 43x y x y xy =-+ ，试求使得42004y = 成立的y 值.5. 对于任意有理数,a b ，现定义运算*:()()112a b a b *=++.试求12345620032004*+*+*++* 的值.6．当a b ≥时，规定aa b b = ；而当a b <时，规定a b b a =- .如果236x = ，试求x 值.7． 有理数,a b 按先后顺序列成一个有序数对(),a b ，显然，若a b ≠，则(),a b 与(),b a 表示两个不同的有序数对.现对数对定义运算: ()()(),,,a b c d ac bd bc ad =-+ .（1）试证明：运算 满足结合律,即()()()()()(),,,,,,a b c d e f a b c d e f =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ）.（2）若常数,k m ，使得对任意有理数,x y ，恒有()()(),,,x y k m y x =-，试求,k m 的值.8．解方程[]13122x x +=-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 9．有理数,a b 按先后顺序列成一个有序数对(),a b ，显然，若a b ≠，则(),a b 与(),b a 表示两个不同的有序数对.现对数对定义运算 :()()(),,,a b c d ac bd bc ad =-+ .若()()1,22,3 与()(),1,2x y 对应着相同的有序数对，求()(),,x y y x 的值.10．对于有理数,x y ，使得x y a x b y c x y =++ ，其中,,a b c 为已知的常数，且满足①123,234== ，②对于非零有理数m ，有x m x = 成立。
《初三数学竞赛辅导》课件
REPORTING
• 竞赛简介 • 数学知识梳理 • 竞赛题型解析 • 解题技巧与策略 • 模拟试题与答案 • 学生心得体会
目录
PART 01
竞赛简介
REPORTING
竞赛背景
数学竞赛起源于中世纪欧洲的数学研究团体，旨在推动数学研究和教育的发展。
随着时间的推移，数学竞赛逐渐演变为一项国际性的学科竞赛，吸引了来自世界各 地的优秀学生参与。
解答题题型特点
解答题难度较大，通常涉及多个知识点和解题技巧的综合运 用，需要学生具备较强的分析问题和解决问题的能力。
解题技巧
解答题要求学生先仔细审题，明确题目要求和考察的知识点 。然后，根据题目条件和所学知识，逐步推导并解答问题。 注意解题步骤的完整性和规范性，以便于检查和纠正错误。
PART 04
解题技巧与策略
REPORTING
解题思路分析
总结：解题思路是解决问题的关键，需要分析题目给出的条件和要求，找出合适 的解题方向。
在解题过程中，首先需要仔细阅读题目，理解题意，然后根据数学知识进行分析 和推理，逐步推导出正确的答案。对于一些复杂的题目，可能需要采用多种方法 进行尝试和调整，最终找到最合适的解题方法。
答案：见PPT第10页
模拟试题三
01
总结词：难度较低
02
详细描述：本题主要考查了实数的混合运算和代数式的化简。
要求考生熟练掌握实数的四则运算和代数式的变形技巧。
答案：见PPT第15页
03
PART 06
学生心得体会
REPORTING
学生A的经验分享
经验总结
困难克服
学生A认为在数学竞赛辅导课程中， 最重要的是理解和掌握基本概念，然 后通过大量的练习来巩固这些概念。
【九年级】九年级数学竞赛抛物线讲座
【九年级】九年级数学竞赛抛物线讲座九年级数学竞赛抛物线讲座一般来说，我们称函数（，，常数，）为二次函数，其图像为抛物线。
有关抛物线的知识如下：1．、、的符号决定抛物线的大致位置；2.抛物线是对称的，抛物线的开口方向和大小只与长度有关，抛物线在顶点（，）处获得最大值；3．抛物线的解析式有下列三种形式：① 通式：；②顶点式：；③ 求交公式：，这里是方程的两个实根确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它体现了整体的和谐与平衡之美。
抛物线是一种轴对称图形。
在解决问题时，我们应该积极捕捉并创建对称关系，以便从整体上把握问题。
通过抛物线捕捉对称信息的方法如下：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；（2）对称信息由抛物线的对称轴方程和被该轴切割的抛物线的弦长获得【例题求解】【例1】二次函数的图像如图所示，因此当函数值为时，对应的值范围为思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出，值，先求出时，对应的值．【例2】已知抛物线（<0）通过点（I，1，0）并满足以下结论：①; ②；③；④ . 正确的数字是（）a．1个b．2个c．3个d．4个抛物线的位置大致由条件决定，然后确定、和的符号；从特殊点的坐标中求出等式或不等式；利用根的判别式和根与系数的关系【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，mn＝4分米，抛物线顶点处到边mn的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形abcd，使矩形顶点b、c落在边mn上，a、d落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?如果建立好直角坐标系，很容易得到M、N和抛物线顶点的坐标，从而得到抛物线的解析公式。
设a（，）并建立包含的方程。
矩形铁皮的周长是否等于8分米，取决于计算值是否在所得抛物线解析式中自变量的值范围内注：把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．[示例4]二次函数的图像在两点a和B处与轴相交（点a位于点B的左侧），在点C处与轴相交，以及∠ ACB=90°(1)求这个二次函数的解析式；（2）设计两种方案：画一条与轴线不重合的直线，并与轴线两侧相交△ ABC，所以切割三角形类似于△ ABC，该地区是△ BOC区域，写出切割三角形三个顶点的坐标（注：设计方案不需要证明）思路点拨(1)a、b、c三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注：要解决函数与几何结合的综合问题，善于求点的坐标，进而求函数的解析式是解决问题的基础；解决问题的关键是充分发挥形式因素，数与形式相互帮助，论证与计算相结合【例5】已知函数，其中自变量为正整数，也是正整数，求何值时，函数值最小．其思想是修改函数的解析公式以获得匹配方法，其对称轴为，因为，所以函数的最小值只能在取时达到，所以解决这个例子的关键是分类讨论学历训练1.如图所示，如果抛物线和被四条直线包围的正方形之间有一个公共点，，，的值范围为2．抛物线与轴的正半轴交于a，b两点，与轴交于c点，且线段ab的长为1，△abc的面积为1，则的值为．3.如图所示，抛物线的对称轴是一条直线，与a点和B点的轴相交，与C点的轴相交。
数学竞赛讲课稿初中生范文
数学竞赛讲课稿初中生范文大家好！今天我要给大家讲解一道数学竞赛题目，希望大家能够认真听讲并积极思考。
题目是这样的：已知函数f(x)的定义域为实数集，且对于任意实数x，都有f(x)+f(2-x) = 1，求f(x)的表达式。
首先，我们可以通过观察题目中已知的等式来寻找一些规律。
首先，我们可以选择一个特定的x值来代入等式中。
假设x=0，那么根据等式，我们可以得到f(0)+f(2-0)=1。
由于我们不知道f(x)的具体表达式，暂时无法求得f(0)的值。
但我们可以观察到0和2-0是对称的关系，也就是说，f(0)和f(2-0)的和是1，它们之间可能存在一些对称关系。
接下来，我们选择x=1来代入等式，得到f(1)+f(2-1)=1，即f(1)+f(1)=1。
从这个等式中，我们可以推断出f(1)的值，即f(1)=1/2。
然后，我们选择x=2来代入等式，得到f(2)+f(2-2)=1，即f(2)+f(0)=1。
这个等式告诉我们f(2)和f(0)的和是1，也就是说，它们之间存在对称关系。
通过以上的观察，我们可以发现函数f(x)在定义域内可能有一些对称关系。
为了找出这种关系，我们可以选择一些其他的x值来代入等式进行验证。
例如，我们选择x=-1来代入等式，得到f(-1)+f(2-(-1))=1，即f(-1)+f(3)=1。
这个等式告诉我们f(-1)和f(3)的和是1，也许它们之间存在对称关系。
综合以上的观察，我们可以猜测函数f(x)的表达式为f(x) = 1/2 - |x-1/2|。
为了验证我们的猜测，我们可以将f(x) = 1/2 - |x-1/2|代入原等式进行计算。
代入x=0，我们得到f(0)+f(2-0)=1/2 - |0-1/2| + 1/2 - |2-1/2| = 1/2 + 1/2 = 1。
代入其他的x值进行计算，发现这个函数可以满足题目中的等式。
所以，经过推测和验证，我们得出函数f(x)的表达式为f(x) = 1/2 - |x-1/2|。
新课标九年级数学竞赛辅导讲座_第03讲_充满活力的韦达定理
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
初中数学竞赛专题讲座有理数及其运算的技巧
有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中全部运算的基础，正确的理解有理数有关的看法，以及它的运算法例、公式，并且擅长依据所给题目要求，将推理与计算相联合，灵巧奇妙的选择简捷的算法，能够很好的提升思想的矫捷性。
将现实中的问题与学习中的知知趣联合，并合理的解决它，你会发现数学的好多乐趣。
内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的看法。
整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都能够表示为一个既约分数。
并且，有理数能够比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，随意两个有理数之间都有无量个有理数，有理数运算是中学数学中全部运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关看法、法例的基础上，能依据法例，公式等正确、快速地进行运算，同时还要擅长依据题目条件，将推理与计算相联合，灵巧奇妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提升运算能力，发展思想的矫捷性与灵巧性。
重点解说：§1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的地点关系来确立：对应点在右侧的数总比对应点在左侧的数大。
★★例 1 察看图 1 中的数轴用字母a,b,c挨次表示点A， B， C 对应的数，试确立这三个数的大小关系。
思路：由 B 点在 A 点右侧，知b-a>0 ，而 A， B 都在原点左侧，故ab>0 ，又 c>0 ，这说明要比较的大小，只要比较分母ab,b-a,c的大小。
解：因为 C 点在 1 的右侧，所以c>1 ，因为 A 点在 -1 与之间，B点在与0之间，所以AB 的距离大于而小于1，即由相同的原因有，。
所以又 ab>0, 故从而有0<ab<b-a<c。
所以★★例 2：设证明 1：a,b∵是两个有理数，且a<b,∴ b>a,∴ba<b, 求证：-a>0..而∴∴证明2∵∴即∴又∴即故说明：由本例可知，随意两个不相等的有理数a,b之间存在一个有理数，由此可推知，随意两个有理数之间存在无穷多个有理数。
初三竞赛数学
初三竞赛数学
初三的竞赛数学通常指的是中学生参加的数学竞赛，如数学奥林匹克、数学联赛等。
这类数学竞赛一般涉及数学知识的深度和广度，题目较为复杂和有挑战性。
想要在初三竞赛数学中取得好成绩，建议：
1.扎实基础：建议你先夯实数学基础知识，包括代数、几何、概率统计等，
因为竞赛题目通常会涉及到各个数学领域。
2.多练习：多做一些数学竞赛题目，提高解题能力和速度。
可以通过做历年
竞赛题目、参加模拟考试等方式来提升水平。
3.学会思考：数学竞赛注重的是解题思路和方法，而不仅仅是结果。
练习时
要注重培养自己的数学思维，学会灵活运用所学知识解决问题。
4.寻求辅导：如果有条件，可以寻求老师或者专业辅导机构的帮助，他们可
以给予你更专业的指导和建议。
记得在备战竞赛数学的过程中，保持耐心、坚持不懈，相信自己定会有所收获。
祝你取得理想的成绩！。
初中数学竞赛专题三：特殊三角形(word 无答案)
初中数学竞赛公益讲座：特殊三角形一、基础知识：1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。
2）正三角形：旋转中的不变性，60度和120度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；……3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆；4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120度的等腰三角形。
二、例题分析例1、如下左图，在四边形ABCD中，∠B=135度，∠C=120度，AB=2，BC=4-2，CD=4，求AD的长度。
例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD交于点E，I是△BEC的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M是BC的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM.例3、如下左图△ABC中，AB=AC，在AB边上有两点P和Q，在AC边上有两点R和S，且PQ=RS，M和N分别是PR和QS的中点，求证：MN⊥BC。
例4、如上右图，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C的平分线交DF于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE的长。
例5、如下左图，等边△ABC的边长为4，D是AC边上的动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE长的最小值。
例6、如上右图，△ABC中，∠B AC=60度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120度，M 是BC的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。
例7、如下图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DF⊥AB于点F，A E⊥CF于点E且交DF于点M，求证，M是DF的中点。
三、练习题1、如下左图，在△ABC中，AD和BE是中线，且∠C AD=∠C BE=30度，求证：△ABC是正三角形。
2、如上右图，在△ABC中，AB≠AC，AD是角平分线，E、F分别在AB、AC上，且BE=CF，连接EF，分别取EF、BC的中点M、N，连接MN，求证：MN⫽AD3、如下左图，在△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC=2，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，求点Q的运动轨迹的长度。
《中考数学专题讲座》课件
中考数学专题讲座
欢迎大家来到本次数学专题讲座，今天我们将深入探讨数轴与相交原理、全 等定理与全等三角形的判定、立体图形的表征和构造、函数与方程的联系与 应用等数学知识，让我们一起开启这段精彩的学习之旅！
数轴与相交原理
数轴
数轴是数学中常用的一种图示方 法，它可以直观地表示数字之间 的大小关系，也可用于解决一些 几何问题。
• SAS定理：若两个 三角形的两边和夹 角分别相等，则它
• 们AS全A定等理。：若两个 三角形的两角和夹 边分别相等，则它 们全等。
案例分析
我们将通过几个具体的例子， 来掌握如何运用全等定理判 断两个三角形是否全等。
立体图形的表征和构造
1
投影法
2
立体图形在平面上的表示称为投影，主
要包括平行投影和中心投影两种形式。
方程
方程是数学中的一种等式关系， 其中含有未知元，可以用来表 示问题的条件和限制。
联系和应用
函数和方程是数学中两个非常 重要的概念，它们之间有着密 切的联系。运用函数和方程， 我们可以解决许多实际问题， 如平面几何、航空航天、自然 科学等。
பைடு நூலகம்
实战演练
数学竞赛
习题和作业
参加全国数学竞赛、奥数比赛等 实战演练，可以检测我们是否真 正掌握了所学的数学知识和技能。
3
案例分析
4
我们将通过一个具体的例子，来掌握如 何将一个复杂的立体图形展开成一个平
面图形，并进行计算。
点、线、面、体
立体图形是由三维空间中的点、线、面 组成，是平面图形在第三个维度上的扩 展。
平面展开
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学竞赛几何讲座共5讲.doc
初中数学竞赛几何讲座(共5讲)第一讲 注意添加平行线证题 第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题 第三讲 点共线、线共点 第四讲 四点共圆问题 第五讲 三角形的五心第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线，则能使证明顺畅、简洁．添加平行线证题，一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要。
例1 设P 、Q 为线段上两点，且=， Ａ为外一动点（如图1).当点A 运动到使 ∠=∠时,△是什么三角形？试 证明你的结论。
答: 当点A 运动到使∠=∠时，△为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作、的平行线得交点D .连结．在△=∠中,显然 ∠=∠,∠=∠C . 由＝，可知 △≌△． 有=,∠＝∠． 于是∥,∠=∠．则A 、D 、Ｂ、P 四点共圆，且四边形为等腰梯形．故＝. 所以＝.这里,通过作平行线，将∠“平推"到∠的位置．由于A 、Ｄ、B 、P 四点共圆，使证明很顺畅。
例2 如图２,四边形为平行四边形， ∠=∠.求证：∠=∠。
证明:如图2,分别过点A 、B 作、的平行线，得交点P ,连。
由 ，易知△≌△。
有＝=.显然，四边形、均为平行四边形。
有 ∠=∠，∠=∠。
∥＝A D B P Q C 图1PED G A B F C图2由∠=∠，可知∠=∠。
有P 、Ｂ、A 、E 四点共圆． 于是，∠=∠. 所以，∠=∠。
这里，通过添加平行线，使已知与未知中的四个角通过P 、Ｂ、A 、Ｅ四点共圆,紧密联系起来．∠成为∠与∠相等的媒介,证法很巧妙.2 欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线，将某些线段“送”到恰当位置，以证题。
数学竞赛专题讲座组合数学
举例说明抽屉原理
例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小 朋友任意选择两件，则不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总 有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种： （兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊
猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿） 把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，则根
k0
定义３ 从n个不同的元素中取出m个，按照一 定的顺序排在一个封闭曲线上，叫做环形排列 （或循环排列、圆排列）．
相异元素的 圆排列数公式为：
fn,mA m nmm1!Cnm
二、基础知识
定义４ 从n个不同的元素中，允许重复取出m 个元素，按照一定的顺序排成一列，称为n个 相异元素允许重复的m元排列．
组合问题的知识点并不多，主要在于对问题性质的探索与思考。 联赛中组合题以存在性问题和最值问题以及组合数论问题为主，这类 问题的关键常常在于构造例子或反例。因此，只要我们多加练习这两 类问题，在联赛中还是可以拿到满意的分数的。
2016-07-23
教学资料
• 资料仅供参考
相异元素的可重复排列数计算公式为：Un,mnm. 定义５ 从n个不同的元素中，允许重复取出m
个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n个 相异元素允许重复的m元组合． 相异元素的可重复组合数计算公式为：
f n,mCnmm1.
二、基础知识
定义６ 若n个元素中，有n1个a1， n2个a2．．．
ｎｍ个aｍ，且 n1n2 nmn ，则这ｎ个元素的
二、基础知识
有７个定义、9个定理： 定义１ 从n个不同的元素中取出m个，按照一定
的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的一个排列． 相异元素排列数的计算公式为：
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）新课标数学竞赛讲座目录七年级第一讲走进美妙的数学世界第二讲跨越——从算术到代数第三讲创造的基石——观察、归纳与猜想第四讲数轴——数与形的第一次碰撞第五讲解读绝对值第六讲计算——工具与算法的变迁第七讲物以类聚——话说同类项第八讲一元一次方程第九讲绝对值与一元一次方程第十一讲列方程解应用题——设元的技巧第十二讲社会、生活、经济——情境应用题第十三讲一次方程组第十四讲一次方程组的应用第十五讲倾斜的天平——由相等到不等第十六讲不等式（组）的应用第十七讲整式的乘法与除法第十八讲乘法公式第十九讲丰富的图形世界第二十讲线段第二十一讲角第二十二讲平行线的判定与性质第二十三讲简单的面积问题第二十四讲质数、合数与因数分解第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析第二十六讲整数整除的概念和性质第二十七讲不定方程、方程组第二十八讲计数方法第二十九讲最值问题第三十讲创新命题第三十一讲代数式的值第三十二讲最大公约数与最小公倍数八年级第一讲分解方法的延拓第二讲分解方法的延拓第三讲因式分解的应用第四讲分式的概念、性质及运算第五讲有条件的分式的化简与求值第六讲实数的概念及性质第七讲二次根式的运算第八讲二次根式的化简求值第九讲三角形的边与角第十讲全等三角形第十一讲等腰三角形的性质第十二讲等腰三角形的判定第十三讲从勾股定理谈起第十四讲多边形的边角与对角线第十五讲平行四边形第十六讲完美的正方形第十七讲梯形第十八讲由中点想到什么第十九讲平行截割第二十讲飞跃-从全等到相似第二十一讲相似三角形的性质第二十二讲直角三角形的再发现第二十三讲代数证明第二十四讲配方法的解题功能第二十五讲整体的方法第二十六讲面积问题评说第二十七讲图形的折叠、剪拼与分割第二十八讲奇妙的对称第二十九讲图形的平移与旋转第三十讲数形互助第三十一讲完全平方数和完全平方式第三十二讲几何不等式第三十三讲代数式的化简与求值第三十四讲分式方程（组）第三十五讲应用题九年级第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第二十讲直线与圆第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第十二讲方程与函数第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手。
初中数学竞赛辅导讲座19讲全套.docx
第一讲有理数一、冇理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆法等)。
三、例题示范1、数轴与大小例1、己知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点0的距离为3, 那么满足条件的点B与原点0的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？例2、将—122Z,_97 1998 98这四个数按由小到大的顺序，用连结起来。
1998 98 1999 99提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示厶先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。
试确定三个数丄，丄丄的大小关系。
cib b-a c3 3分析：由点B在A右边，知b・a〉O,而A、B都在原点左边，故ab〉O,又c>l>0,故耍比较丄，丄丄的大小关系，只要比较分母的大小关系。
ab b- a c例4、在有理数a与b(b>a)之间找出无数个冇理数。
捉示：Pp + 山5为大于是的自然数) n注：P的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上(或去掉)括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、在数1、2、3、…、1990前添上“ + ”和“一”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提水：造零:n-(n+1 )-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧「两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、计算-1-2-3— -2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S二(首项+末项)x项数+2。
例7、计算1+2—3—4+5+6—7-8+9+…—2000+2001+2002提示：仿例5,造零。
结论：2003o例8、计算99...9x99・・・9 + 199 (9)s_V~v_V_z x~V~'n个9 拜个9 〃个9提示1：凑整法，并运用技巧:199…9二10"+99…9, 99・・・9二10"-1。
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初三数学竞赛专题讲座
——有关三角形与四边形的竞赛题 [例题精讲]
例1、如图，P 是等边三角形ABC 内部的一点，PA=2，PB=32，PC=4. 求ΔABC 的边长.
例2、如图所示，A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的四个顶点，在ABCD 所在平面上求一点P ，使得PA+PB+PC+PD 最小.
例3、在ΔABC 中，已知∠A=90º，AB=AC ，BD 是中线，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F.求证：∠ADB=∠CDF.（99年天津市初中数学竞赛题）
例4、已知：如图，以ΔABC 的AB 、AC 为斜边向外作直角三角形ABD 和ACE ，∠ADB=∠AEC=90º，且使∠ABD=∠ACE ，M 是BC 的中点.
求证：DM=EM.（98年“祖冲之杯”邀请赛试题）
A B C D
A C D F C
B A P
例5、已知：在ΔABC 中，∠ACB=90º，∠ABC=15º，BC=1，则AC 的长为（ ） （A ）2+3 （B ）32-（C ）0.3 （D ）23-
例6、ΔABC 的面积为1，D 、E 为BC 的三等分点，F 、G 为CA 的三等分点（如图所示）.
求四边形PECF 的面积.
例7、已知：如图，边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60º，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足：AE+CF=a. 求证：无论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形.
[练习题]：
1、如图，ABCD 、BEFG 是两个放在一起的正方形，请你证明ΔDEG 的面积等于大正方形BEFG 面积的一半.
2、在ΔABC 中，AB=3AC.
A
B C
D E F C G A B D E
P F
问：（1）在ΔABC 中，哪条边是最小边？
（2）
AC
BC
的值在什么范围内变化？
3、已知：在ΔABC 中，AD 为高，且AB+CD=AC+BD. 求证：AB=AC.
4、如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB=10，CD=40，则EF = .
A
B C
D E F。