河南省周口市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

河南省周口市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟
试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知a ，b ，c 为实数，则下列结论正确的是（ ） A ．若ac ＞bc ＞0，则a ＞b B ．若a ＞b ＞0，则ac ＞bc C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b
D ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2
2．函数()=sin 2cos 2f x x x +的最小正周期是（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π
3．若复数i
2i
m z +=
-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．2-
B ．12
-
C ．
12
D ．2
4．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90° 5．在中，内角
所对的边分别为，若，
，则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β C ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥n
D ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β
7．如图，在正四棱锥P ABCD -中，23AB =侧面积为3则它的体积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12π
D ．16π
8．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A ．30
B ．40
C ．20
D ．36
9．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，
，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分
布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．18
10．在ABC ∆中，1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=
且a b >，则B 等于() A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．若π3sin ,35α⎛⎫+
= ⎪
⎝
⎭则πcos 6α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
____________ 12．设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则
(1)a b c λλ++-的最大值是________．
13．已知数列{}n a 的前4项依次为
23，45-，67
，8
9-，试写出数列{}n a 的一个通项
公式n a =______.
14．已知角α终边经过点(1,3)，则
sin cos sin 2cos αα
αα
+=-__________.
15．中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为__________里． 16．不等式x （2x ﹣1）＜0的解集是_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[ 25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。

(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率； (2)若骑手甲、乙选择了日工资方案(1)，丙、丁选择了日工资方案(2)．现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案(1)的概率； 18．已知函数233
()cos cos()3sin 6
f x x x x π
=-
+，x ∈R . （1）将()f x 化为sin()A x B ωϕ++的形式（0A >，0>ω，||2
ϕπ
<）并求()f x 的最小正周期T ；
（2）设()()g x af x b =+，若()g x 在[,]44
ππ
-
上的值域为[0,3]，求实数a 、b 的值； （3）若()1(1)0n f x m ++-⋅>对任意的[,]44
x ππ
∈-和*n ∈N 恒成立，求实数m 取值范围.
19．2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基
本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：
（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率； （2）设该城市郊区和城区的居民户数比为1:5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．
20．已知曲线C 上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于,A B 两点，O 为坐标原点． （1）求曲线C 的方程；
（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（3）若直线l 过点(0,2)Q ，求OAB ∆面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程． 21．在等差数列{a n }中，2a 9＝a 12+13，a 3＝7，其前n 项和为S n ． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{1n S }的前n 项和T n ，并证明T n ＜3
4
． 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C
【解题分析】
本题可根据不等式的性质以及运用特殊值法进行代入排除即可得到正确结果． 【题目详解】
由题意，可知：对于A 中，可设5,4,3a b c =-=-=-，很明显满足0ac bc >>，但
a b <，所以选项A 不正确；
对于B 中，因为不知道c 的正负情况，所以不能直接得出ac bc >，所以选项B 不正确； 对于C 中，因为22ac bc <，所以20c >，所以a b >，所以选项C 正确； 对于D 中，若0c ，则不能得到22ac bc >，所以选项D 不正确．
故选：C ． 【题目点拨】
本题主要考查了不等式性质的应用以及特殊值法的应用，着重考查了推理能力，属于基础题． 2、C 【解题分析】
将函数()f x )4
x π
+，再根据周期公式可得答案.
【题目详解】
因为()=sin 2cos 2f x x x +)4
x π
+
，
所以最小正周期22
T π
π==. 故选：C 【题目点拨】
本题考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了正弦型函数的周期公式，属于基础题. 3、C 【解题分析】
()()i 2i i 211
i 2i 555
m m m m z +++-+=
==+-，且z 是纯虚数，2110,52m m -∴==，故选C. 4、B 【解题分析】
正四棱锥P ABCD - ，连接底面对角线AC ，在PAC ∆中，PAC ∠为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案. 【题目详解】
正四棱锥P ABCD - ，连接底面对角线AC ，2AC = ，易知PAC ∆为等腰直角三
角形.
AC 中点为O ，又正四棱锥知：PO ⊥底面ABCD
即PAC ∠ 为所求角为4
π
，答案为B 【题目点拨】
本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力. 5、A 【解题分析】 利用正弦定理可求得，再通过
可得答案.
【题目详解】 因为
，所以
，所以
，则
或，因为
，所以
.
【题目点拨】
本题主要考查正弦定理的运用，难度较小. 6、D 【解题分析】
在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，m 与β相交、平行或m β⊂；在C 中，m 与
n 相交、平行或异面；在D 中，由线面平行的性质定理得//m β．
【题目详解】
由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故A 错误； 在B 中，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，故B 错误； 在C 中，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若//αβ，m α⊂，则由线面平行的性质定理得//m β，故D 正确． 故选D ． 【题目点拨】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 7、A 【解题分析】
连,AC BD 交于O ，连PO ，根据正四棱锥的定义可得PO ⊥平面ABCD ，取AB 中点E ，连PE ，则由侧面积和底面边长，求出侧面等腰三角形的高PE ，在Rt POE ∆中，求出PO ，即可求解. 【题目详解】
连,AC BD 交于O ，连PO ，取AB 中点E ，连PE
因为正四棱锥P ABCD -，则PO ⊥平面ABCD ，PE AB ⊥， 侧面积424383,2PAB S S AB PE PE PE ∆==⋅===， 在Rt POE ∆中，2,3,1PE OE PO ==
∴=，
211
1(23)433
P ABCD ABCD V PO S -∴=⋅=⨯⨯=.
故选:A.
【题目点拨】
本题考查正四棱锥结构特征、体积和表面积，属于基础题. 8、A 【解题分析】
先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解 【题目详解】
每个个体被抽到的概率为
901
3602701809
=++,
乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为1
270309
⨯=, 故选:A 【题目点拨】
本题考查分层抽样的应用,属于基础题 9、C 【解题分析】
试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有21人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为1．24，1．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为1．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．
考点：频率分布直方图 10、A 【解题分析】
在△ABC 中，利用正弦定理与两角和的正弦化简已知可得，sin （A +C ）＝sin B 12
=，结合a ＞b ，即可求得答案． 【题目详解】
在△ABC 中，∵a sin B cos C +c sin B cos A 12
=
b ， ∴由正弦定理得：sin A sin B cos C +sin C sin B cos A 1
2
=sin B ，sin B ≠0， ∴sin A cos C +sin C cos A 12
=， ∴sin （A +C ）12
=， 又A +B +C ＝π，
∴sin （A +C ）＝sin （π﹣B ）＝sin B 1
2
=，又a ＞b ， ∴B 6
π
=
．
故选A ． 【题目点拨】
本题考查两角和与差的正弦函数与正弦定理的应用，考查了大角对大边的性质，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
35
【解题分析】 因为π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝
⎭,所以πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πππ3cos sin 2335αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦. 故填
3
5
．
12、1 【解题分析】
令()1n b c λλ=+-，计算出n 模的最大值即可，当n 与a 同向时a n +的模最大． 【题目详解】
令()1n b c λλ=+-，则()2
2
11318n b c λλλλ⎡⎤=
+-=-⎣⎦
12λ-≤≤，
所以当1λ=-，max 13n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，max 2101a n a n +=+=+ 【题目点拨】
本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析． 13、1
2(1)
21
n n
n +-+ 【解题分析】
首先写出分子的通项公式，再写出分母的通项公式，合并即可. 【题目详解】
2，4，6，8，的通项公式为2n ， 3，5，7，9，的通项公式为21n ，
正负交替的通项公式为1
(1)
n +-，
所以数列{}n a 的通项公式1
2(1)21
n n n
a n +=-+. 故答案为：1
2(1)21
n n
n +-+ 【题目点拨】
本题主要考查根据数列中的项求出通项公式，找到数列中每一项的规律为解题的关键，属于简单题. 14、4
【解题分析】
根据任意角的三角函数的定义，结合同角三角函数的基本关系求解即可． 【题目详解】
因为角α终边经过点(1,3)，所以3
tan 31
α，因此
sin cos tan 1
4sin 2cos tan 2
αααααα++==--.
故答案为：4 【题目点拨】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 15、3 【解题分析】
分析：每天走的路形成等比数列{a n }，q=
1
2，S 3=1．利用求和公式即可得出． 详解：每天走的路形成等比数列{a n }，q=1
2
，S 3=1．
∴S 3=1=
611[1)2112
a ⎛⎤- ⎥
⎝⎦-，解得a 1=2． ∴该人最后一天走的路程=a 1q 5=5
1192()2
⨯=3． 故答案为：3．
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解题分析】
求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案． 【题目详解】
由不等式(21)0x x -<对应方程的实数根为0和
12
， 所以该不等式的解集是1
{|0}2
x x <<． 故答案为：1{|0}2
x x <<． 【题目点拨】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）0.4（2）
5 ()
6 P B=
【解题分析】
（1）从频率分布直方图中计算出前四组矩形面积之和，即为所求概率；
（2）列举出全部的基本事件，并确定出基本事件的总数，然后从中找出事件“至少有1名骑手选择方案（1）”所包含的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式可计算出结果。

【题目详解】
（1）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”
依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05
，，
因为0.20.150.050.4
++=
所以()
P A估计为0.4；
（2）设事件B为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”
从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有6种情况，即{甲，乙} ，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}
其中至少有1名骑手选择方案（1）的情况为{甲，乙} ，{甲，丙},，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，
所以
5 ()
6
P B=。

【题目点拨】
本题考查频率分布直方图以及古典概型概率的计算，在频率分布直方图的问题中要注意：
（1）每组矩形的面积等于该组数据的频率；
（2）所有矩形的面积之和为1。

18、（1）
1
()sin(2)
23
f x x
π
=-，Tπ
=；（2）4
a=，2
b=，或4
a=-，1
b=；（3）
11
(,)
22
-.
【解题分析】
(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；
(2)由正弦函数的图象与性质，讨论a的范围，得到,a b的方程组，即可求得,a b的值；
（3）对n 讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得m 的范围.
【题目详解】
(1)
由题意，函数2()cos cos()64
f x x x x π
=--
1cos sin )cos 2)2x x x x =+--
11sin 2)2sin(2)423
x x x π==- 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ=
=. （2）由（1）知()1sin(2)23
f x x π=-， 当[,]44x ππ∈-时，则52[,]366x πππ-∈-，所以111sin(2)2234
x π-≤-≤， 即()1124f x -≤≤，令()t f x =，则11[,]24
t ∈-， 函数()()g x af x b =+，即()g x at b =+，11[,]24
t ∈-， 当0a >时，()g x 在11[,]24
t ∈-为单调递增函数， 可得1()02g -=且1()34g =，即102134
a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4,2a b ==； 当0a >时，()g x 在11
[,]24
t ∈-为单调递减函数， 可得1()32g -=且1()04g =，即132104
a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4,1a b =-=； 综上可得4a =，2b =或4a =-，1b =；
（3）由（2）可知，当[,]44x ππ∈-时，()1124
f x -≤≤， 当n 为奇数时，()1(1)0n f x m ++-⋅>，即为()10f x m +->，即()1m f x <+恒成立， 又由min 11[()1]122
f x +=-+=，即12m <； 当n 为偶数时，()1(1)0n f x m ++-⋅>，即为()10f x m ++>，即()1m f x >--恒
成立， 又由max 11[()1]122
f x --=-=-，即12m >-； 综上可得，实数m 满足1122m -
<<，即实数m 取值范围11(,)22-. 【题目点拨】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.
19、（1）3()10P A =
（2）符合 【解题分析】
：（1）先列举出从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件，再列举其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件，最后计算即可．
（2）设该城市郊区的居民用户数为a ，则其城区的居民用户数为5a ．依题意计算该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率．
【题目详解】
解：（1）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：
（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），
（32,34）共10个．
其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．
设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为A ，则所求的概率为()310
P A =． （2）设该城市郊区的居民用户数为a ，则其城区的居民用户数为5a ．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：
31759752080%6120
a a a ⋅+⋅=>．故此方案符合国家“保基本”政策． 【题目点拨】
本题考查了古典概型在实际生活中的应用，要紧扣题意从题目中抽象出数学计算的模型．
20、（1）22143x y +=（2）证明见解析；（3
22
y x =+
或22y x =-+ 【解题分析】
（1）利用椭圆的定义可知曲线为2,1a c ==的椭圆，直接写出椭圆的方程． （2）设直线:l ()0,0y kx b k b =+≠≠，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM ，然后推出直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
（3）设直线方程是2y kx =+与椭圆方程联立，根据面积公式
12122
AOB S x x ∆=⨯⨯-=，代入根与系数的关系，利用换元和基本
不等式求最值.
【题目详解】 （1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆，
设其标准方程为22
221x y a b
+=，则有2,1a c ==， 所以222
3b a c =-=，∴22
143x y += . （2）证明：设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+≠≠，
设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y
则由22
14
3y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()223412x kx b ++=，即()2223484120k x kbx b +++-=
∴122834kb x x k +=-
+，∴12024234x x kb x k +==-+ ， 20022433434k b b y kx b b k k
=+=-+=++， 0034OM y k x k
==-， ∴直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积=4334
OM k k k k ⋅=-
⋅=-为定值 （3）点()()1122,,,A x y B x y ，
由22
214
3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()22341640k x kx +++=， >0∆ ，解得214k >
121222164,3434k x x x x k k +=-
=++ ∴
12122
AOB S x x ∆=⨯⨯-=
==
设()241,0,k t t -=∈+∞
AOB S ∆== 16816t t
++≥ 当4t =时，AOB
S ∆此时2414k
-=，即k
=所以直线方程是22
y x =±
+ 【题目点拨】 本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．
21、（1）21n a n =+（2）见解析
【解题分析】
（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）运用等差数列的求和公式，求得()11122n S n n ==+（112
n n -+），再由数列的裂项相消求和可得T n ，再由不等式的性质即可得证．
【题目详解】
（1）等差数列{a n }的公差设为d ，2a 9＝a 12+13，a 3＝7，
可得2（a 1+8d ）＝a 1+11d +13，a 1+2d ＝7，
解得a 1＝3，d ＝2，
则a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1；
（2）S n 12
=n （3+2n +1）＝n （n +2）， ()11122n S n n ==+（112
n n -+）， 前n 项和T n 12=（111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++） 12=（1111212n n +--++）3142=-（1112n n +++）34
＜． 【题目点拨】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。