北京四中2013年中考一轮复习(共14份)-8

三角形和相似形
一、重点，难点提示：
1.三角形全等的证题思路
2.等腰三角形的性质与判定
判定
性质
等腰三角形
1.有两边相等
2.等角对等边
3.“三线合一
”的逆定理
1.有两腰相等，两底角相等
2.“三线合一”定理
3.轴对称图形，有一条对称轴 等边三角形
1.三边都相等
2.三角都相等
3.一角为60°的等腰三角形
1.三边相等，三角相等
2.内心和外心重合
3.轴对称图形，有三条对称轴
提示：“三线合一’’的应用是等腰三角形的重点,要多加练习 ,有时要做辅助线-----底边上的高,以便使用这个性质.
3、Rt △知识注意问题
(1)勾股定理常要用到
(2)各边之间的关系：
由△ABC ∽△ACD ∽△CBD 得： CD 2=AD·BD AC 2=AD·AB
BC 2=BD·AB
(3)直角三角形中线定理也是常用到而许多同学容易忘记的.
如图:由∠C=90°，D为AB中点，得CD=AD=BD=AB
4、相似三角形常用基本图形
这两种图形中比例线段的相互转化要迅速准确。

二、例题分析：
例1.如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=（）A、120°B、115°C、110°D、105°
说明：首先，在ΔBDC中可求出∠BDC的度数。

其次，由于∠BDC是ΔAFD 的一个外角，故可求出∠AFD的度数。

最后利用∠AFD与∠DFE的互补性求得∠DFE的度数，选B。

例2.如图，已知ΔABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，则BD等于（）
A、4
B、6
C、8
D、2
解：∵DC=2，AC=10，
∴AD=AC-DC=8，
∴BD==6，选B。

说明：三角形中的高线常与直角三角形的有关性质联系在一起，有时解题时即通过作高线构造直角三角形。

例3.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形顶角为（）
A、30°
B、60°
C、150°
D、30°或150°
分析：如图所示，在等腰ΔABC中，CD为腰AB上的高，CD∶AB=
1∶2，由于AC=AB，∴CD∶AC=1∶2，在Rt∠ADC中，∠DAC=30°,则有
∠BAC=30°与150°。

说明：涉及到与三角形的高有关的问题时，要注意分类讨论，本例分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情形来考虑。

例4.ΔABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）
A、1<AB<29
B、4<AB<24
C、5<AB<19
D、9<AB<19
分析：如图，延长中线AD至E，使DE=AD，则AE=14，在ΔAEC中，9<CE<19，又可证
ΔDEC≌ΔDAB得，CE=AB。

所以9<AB<19，选D。

说明：在解与三角形的中线有关的问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形等知识来求解。

这也是一种常见的作辅助线的方法,这种辅助线的作法叫倍长中线。

例5.如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC。

求证：CE=CD。

证明：如图，作AF⊥CD的延长线于F，
∵AB⊥BC，FC⊥BC，AB=BC，
∴AF=BC=AB=CF，
又AE=AD，
∴RtΔABE≌RtΔAFD
∴DF=BE
∴BC-BE=CF-DF
即CE=CD。

证明：寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形。

常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过某已知点，作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；④作一个角等于已知角。

例6.如图，BD∶DC=5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值。

分析：应设法在已知比例式BD∶DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线。

解：过D作DG∥CA交BF于G，
则，
∵E为AD中点，DG∥AF，
∴ΔDGE≌ΔAFE，EG=EF，
∴。

构造平行线，用基本图形转化比例线段，是相似问题常用到的。

例7.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形=40cm2, SΔABE∶SΔDBA=1∶5，则AE的长为（）
A、4cm
B、5cm
C、6cm
D、7cm
解：∵∠BAD=90°，AE⊥BD，
∴ΔABE∽ΔDBA
∴SΔABE∶SΔDBA=AB2∶DB2
∵SΔABE∶SΔDBA=1∶5，∴AB2∶DB2=1∶5
∴AB∶DB=1∶，设AB=k, DB=k,
则AD==2k.
∵S矩形=40cm2, ∴k·2k=40
∴k=2, ∴BD=k=10, AD=4,
SΔABD=BD·AE=20，∴·10AE=20
∴AE=4(cm)，故选A。

例8.如图，过ΔABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和点E，过点D作DM//FC交AB于M。

（1）若
SΔAEF∶S四边形MDEF=2∶3，求AE∶ED；（2）求证：AE·FB=2AF·ED
分析：有平行线，可以利用相似等；利用面积比与相似比的关系，容易求出线段之间的关系。

为了证明AE·FB=2AF·ED，知道D为BC中点，DM∥CF，易得到M为BF中点，BF=2FM=2BM,可以将AE·FB=2AF·ED 转化为AE·FM=AF·DM来证明。

（1）解：∵SΔAEF∶S四边形MDEF=2∶3，
∴SΔAEF∶SΔADM=2∶5，
∵DM∥CF，∴ΔAEF∽ΔADM，
∴，∴，
∴=。

（2）证明：∵DM∥CF，∴，∴，
∵D是BC的中点，
∴M是FB的中点，即2MF=FB
∴，即AE·FB=2AF·ED。

说明：(1)注意面积比的转化，首先求出相似三角形面积比，再得到相似比，找到线段的关系。

(2)利用中点，可以将两倍的线段长转化为一条线段，便于证明等积式和等比式。

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选择题
1．一个角的余角比它的补角的还少20°，则这个角的度数为（）。

A、65°
B、70°
C、60°
D、75°
2．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A、1cm，2cm，3cm
B、1cm，4cm，2cm
C、2cm，3cm，4cm
D、6cm，2cm，3cm
3．在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于（）
A、12
B、12或15
C、15
D、15或18
5．将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成右图，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（） A、4 B、3 C、2 D、1
6．学校的操场上，跳高横杆与地面的关系属于（） A、直线与直线平行 B、直线与直线垂直
C、直线与平面平行
D、直线与平面垂直
7．如图所示，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，DE//BC，=2，则ΔADE与四边形DBCE的面积的比是（）
A、
B、 C、 D、
8．如图，ΔABC中，DE//BC，面积SΔADE=S梯形DBCE，则DE∶BC为（）
A、
B、 C、 D、
9．如果两个等腰直角三角形斜边的比是1∶2，那么它们面积的比是（）
A、1∶2
B、1∶
C、1∶2
D、1∶4
10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）
A、ΔABE的周长+ΔCDE的周长=ΔBCE的周长
B、ΔABE的面积+ΔCDE的面积=ΔBCE的面积
C、ΔABE∽ΔDEC
D、ΔABE∽ΔEBC。