2022年高考数学一轮复习-第四节函数的奇偶性课件-新人教版2

第一第页一，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：点二十二一十点八分三。十五分。
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
第二第页二，页编，辑编于星辑期于一星：期十四点：二二十十八一分。点 三十五分。
第三第页，三编页辑于，星期编一辑：十于点星二十期八四分。：二十一点 三十五分。
1.奇偶性的定义
第四第页四，页编，辑编于星辑期于一星：期十四点：二二十十八一分。点 三十五分。
第三十一页，编辑于星期四：二十一点 三十五
第三十一页，编辑于星期一：十点 二十八分。
分。
(3)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2， f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.
又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)，
即f(5x－5)≤f(12).
B.f(80)＜f(11)＜f(－25)
C.f(11)＜f(80)＜f(－25)
D.f(－25)＜f(80)＜f(11)
第三第分十三。四十页四，页编辑，于编星辑期于一星：期十四点 ：二二十八十分一。点 三十五
【解析】 ∵f(x－4)＝－f(x)，∴T＝8.又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0. ∵f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)＞0， ∴f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)＜0. 又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)＞0，且f(x)为减函数. 同理f(x)在[4,6]为减函数且f(x)＜0.如图.
∵f(-x)=-x(
)
=f(x). ∴f(x)是偶函数.
第十第六十页，六编页辑，于星编期辑一于：十星点期二四十：八分二。十一点 三十五分。
(2)函数定义域为R.
∵f(-x)=log2(-x+
)
=log2
=-log2(x+
)
=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
第十第七十页七，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：点二十二一十点八分三。十五分。
3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a ＋b的值
是( )A.－B.源自C.D.－解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上为偶函数， ∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝ . ∴a＋b＝ .
答案：B
第九第页九，页编，辑编于星辑期于一星：期十四点：二二十十八一分。点 三十五分。
＝－1，
则 f(x)为奇函数. (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.
[特别警示] 分段函数的奇偶性判定，要注意定义域内x取值的任意 性，应分段讨论，讨论时可依据x范围取相应的解析式化简. 此类问题也可利用图象作判断.
第十第四页十，四编辑页于星，期编一：辑十于点 二星十期八分四。：二十一点 三十五分。
已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1)试判断f(x)的奇偶性； (2)若f(－3)＝a，用a表示f(12). [思路点拨]
第二第分十二。二页十，二编页辑于，星编期辑一：于十星点期二四十八：分二。十一点 三十五
[课堂笔记] (1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称. 又∵函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). ∴令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数. (2)∵f(－3)＝a且f(x)为奇函数， ∴f(3)＝－f(－3)＝－a.
又∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x、y∈R，
∴f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6) ＝2f(3＋3)＝4f(3)＝－4a.
第二第分十二。三十页三，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：点二十二一十点八分三。十五
将本例中的条件f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)改为f(x1＋x2)＝f(x1)
＋f(x2)，定义域D＝{x|x≠0}改为D＝R，求解第(2)，(3)问.
解：(2)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0； 令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 即f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数.
1.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 A.f(x)f(－x)是奇函数 答案：B.Df(x)|f(－x)|是奇函数
C.f(x)－f(－x)是偶函数 D.f(x)＋f(－x)是偶函数
()
解析：令F(x)＝f(x)＋f(－x). F(－x)＝f(－x)＋f(x)为偶函数，故D正确.
第七第页，七编页辑于，星期编一辑：十于点星二十期八四分。：二十一点 三十五分。
法二：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴(*)等价于不等式组
或
或
第二第分十二。九十页九，页编辑，于编星辑期于一星：期十四点 ：二二十八十分一。点 三十五
∴3＜x≤5或
≤x＜－ 或－ ＜x＜3.
∴x的取值范围为{x|－ ≤x＜－ 或－ ＜x＜3或3
＜x≤5}.
第三第十三页，十编页辑，于星编期辑一于：十星点期二四十：八分二。十一点 三十五分。
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x(
);
(2)f(x)=log2(x+
);
(3)f(x)=
;
(4)f(x)=
(5)f(x)=x2-|x-a|+2.
[思路点拨]
第十第五十页，五编页辑，于星编期辑一于：十星点期二四十：八分二。十一点 三十五分。
[课堂笔记] (1)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
2.对任意实数x，下列函数中的奇函数是
A.y＝2x－3
B.y＝－3x2
C.y＝ln5x
D.y＝－|x|cosx
()
解析：若f(x)＝ln5x，则f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1 ＝－ln5x＝－f(x). ∴函数y＝ln5x为奇函数.
答案：C
第八第页八，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：点二十二一十点八分三。十五分。
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
f(x)为奇函数，∴f(x)在R上是增函数， ∴5x－5≤12，∴x≤ .
第三第分十三。二十页二，页编辑，于编星辑期于一星：期十四点 ：二二十八十分一。点 三十五
函数奇偶性的判定以及利用函数的奇偶性求参数是高考 对函数奇偶性的常规考法，09年山东、陕西等省将函数的奇
第二十六页，编辑于星期四：二十一点 三十五
第二十六页，编辑于星期一：十点 二十八分。
分。
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2. f(16×4)=f(16)+f(4)=3, ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即f((3x+1)(2x-6))≤f(64).（*
第二第分十二。七页十，七编页辑于，星编期辑一：于十星点期二四十八：分二。十一点 三十五
.
解析：∵f(x)为奇函数， ∴由f(－1)＝－f(1)得a＝－1.
答案：－1
第十第一页十，一编辑页于星，期编一：辑十于点 二星十期八分四。：二十一点 三十五分。
第十第二十页，二编页辑，于星编期辑一于：十星点期二四十：八分二。十一点 三十五分。
判断函数奇偶性的一般方法
(1)首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称的.否则，既不是奇 函数也不是偶函数. (2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：
[思路点拨]
第二十五页，编辑于星期四：二十一点 三十五
第二十五页，编辑于星期一：十点 二十八分。
分。
[课堂笔记] (1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0. (2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝ f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R且x≠0}，且满足对于任意x1， x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 求x的取值范围.
4.已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－ f(－3)
＝
.
解析：由题意得f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3) ＝f(3)－f(2)＝1.
答案：1
第十第页十，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：点二十二一十点八分三。十五分。
5.设函数f(x)＝
为奇函数，则a＝
(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，
将“ f ”脱掉，转化为我们会求的不等式； (2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的
单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间 上有相反的单调性.
第二第分十二。四十页四，页编辑，于编星辑期于一星：期十四点 ：二二十八十分一。点 三十五
第二第十页二，十编辑页于星，期编一：辑十于点 二星十期八分四。：二十一点 三十五分。
判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)，
f(x))；
(2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； (3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.
第二第分十二。一十页一，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：点二十二一十点八分三。十五
①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数， f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数.
第十第三页十，三编辑页于星，期编一：辑十于点 二星十期八分四。：二十一点 三十五分。
②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数， f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数.
或等价于：
，则f(x)为偶函数；
偶性、单调性以及比较大小等问题综合出现在高考试题中，这 是高考新的一个考查方向.
第三第分十三。三页十，三编页辑于，星编期辑一：于十星点期二四十八：分二。十一点 三十五
[考题印证]
(2009·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
且在区间[0,2]上是增函数，则
()
A.f(－25)＜f(11)＜f(80)
法一：∵f(x)为偶函数，
∴f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64).
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴0＜|(3x＋1)(2x－6)|≤64.
解上式，得
3＜x≤5或－ ≤x＜－
∴x的取值范围为
{x|－ ≤x＜－ 或－
或－ ＜x＜3. ＜x＜3或3＜x≤5}.
第二第分十二。八十页八，页编辑，于编星辑期于一星：期十四点 ：二二十八十分一。点 三十五
(3)由
得x＝－ ，或x＝ .
∴函数f(x)的定义域为{－ ， }. 又∵对任意的x∈{－ ， }，－x∈{－ ， }且f (－x)＝－f(x)＝f(x)＝0， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
第十第八十页，八编页辑，于星编期辑一于：十星点期二四十：八分二。十一点 三十五分。
(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x＜0时，－x＞0，则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x). ∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x). 故f(x)为奇函数.
在关于原点对称的区间上的单调性 相反(填“相同”、“相反”).
(2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和函数是
，两个奇函数的积函数
是
；
奇函数
②两个偶偶函函数数的和函数、积函数是
.
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是
.
偶函数
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝ .
奇函数
0
第六第页六，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：点二十二一十点八分三。十五分。
第十第九页十，九编辑页于星，期编一：辑十于点 二星十期八分四。：二十一点 三十五分。
(5)函数f(x)的定义域为R.
当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数； 当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2.
f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2) ＝2(|a|－ )2＋ ≠0， ∴f(x)是非奇非偶函数.
[思考探究]
(1)奇偶函数的定义域有何特点？
提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.
(2)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？
提示：存在.该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，
且解析式化简后等于0.
第五第页五，页编，辑编于星辑期于一星：期十四点：二二十十八一分。点 三十五分。
2.奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相，同偶函数