指数函数与对数函数(答案)

专题06 指数函数与对数函数
一、单选题
1．函数1()3x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,4) B ．(0,4) C ．(0,3) D ．(1,3)
【答案】A
【分析】根据指数型函数图象过定点的知识求得正确答案.
【解析】当1x =时，()0
134f a =+=，
所以()1,4P . 故选：A
2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A ．()12
x x -=- B ．)3
34
410x
x x -
⎛⎫ ⎪⎝⎭
=>
C 1263
y y D ．()()31
4
2320x x x ⎡⎤-=<⎢⎣
【答案】B
【分析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解. 【解析】解：对A ：1
2x x -=-，故选项A 错误； 对B ：()3
3
34
4
4110x
x x x -⎛⎫
⎪⎝⎭
⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故选项B 正确；
对C ：2
266y y =，2
6y 不能化简为1
3y ，故选项C 错误； 对D ：因为0x <，所以()()()()33
4
4
1222113
423x x x x ⎧
⎫⎪⎡⎤----⎢⎥⎪⎡⎤⎡⎤===⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎦⎪⎪⎩
⎣⎭，故选项D 错误.
故选：B.
3．0.55,0.5,log 5a b c ===，则的大小关系是（）
A ．c<a<b
B ．b<c<a
C ．c b a <<
D ．b a c <<
【答案】C
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【解析】解：0.5
0500.50.55
51,0.50.51,log 5log 10.=>==<==<=a b c
c b a ∴<<,
故选：C
4．函数()2
13
()log 65f x x x =-+-的单调递减区间是（ ）
A ．(,3]-∞
B ．[3,)+∞
C ．(1,3]
D ．[3,5)
【答案】C
【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.
【解析】由()()
2
13
log 65f x x x =-+-，则2650x x -+->，()()510x x --<，解得15x <<，
即函数()f x 的定义域()1,5，
由题意，令()13
log g x x =，()2
65h x x x =-+-，则()()()f x g h x =，
易知()g x 在其定义域上单调递减，要求函数()f x 的单调递减区间，需求在()1,5上二次函数
()h x 的递增区间，
由()()2
26534h x x x x =-+-=--+，则在()1,5上二次函数()h x 的递增区间为()1,3，
故选：C.
5．函数()()3log 12f x x =--的零点为（ ） A ．10 B ．9 C ．（10，0） D ．（9，0）
【答案】A
【分析】令()0f x =，解对数方程，求出x ＝10.
【解析】令()()3log 120f x x =--=，即()2
33log 12log 3x -==，所以213x -=，因此x ＝10，
所以函数()()3log 12f x x =--的零点为10， 故选：A.
6．设函数()122x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）
A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增
B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减
C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增
D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数()f x 的奇偶性，分析函数解析式的结构可得出函数()f x 的单调性.
【解析】函数()1()2222
x x x x
f x -=-=-的定义域为R ，
()22(22)()x x x x f x f x ---=-=--=-，所以函数()f x 为奇函数.
而()11()2()(2)22x x x x
f x =-=+-，可知函数()f x 为定义域R 上的减函数，
因此，函数()f x 为奇函数，且是R 上的减函数. 故选：D.
7．已知函数()23,(0)x f x x -⎧=⎨≤⎩，则
12f f ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的值为（ ） A ．1- B 3C ．3
D 3【答案】C
【分析】根据题中函数表达式代入求解即可. 【解析】因为211log 122f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
所以()()
1113
32f f
f --⎡
⎤⎛⎫=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. 故选：C
．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1，空气的温度是0，那么分钟
后物体的温度θ℃可由公式()010e kt
θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状
况而定的正常数.现有一个60℃的物体，放在10℃的空气中冷却，2分钟后物体的温度是
50℃，那么4分钟后该物体的温度是（ ）
A ．42℃
B ．45℃
C ．46℃
D ．47℃
【答案】A
【分析】由题意可求得24
e
5
k
-=
，从而可求得4t =时的温度. 【解析】因为()010e kt
θθθθ-=+-，
则25010(6010)e k -=+-，得24e 5
k
-=
， 所以4分钟后该物体的温度：
()2
4410(6010)e
1050425℃k
-⎛⎫
=+-=+⨯= ⎪⎝⎭
θ.
故选：A.
9．如图中有六个函数的图象，已知y b =的图象与2的图象关于对称，依据图象用“<”表示出以下五个量,,,,1a b c d 的大小关系，正确的是（ ）
A ．1a c b d <<<<
B ．1a d c b <<<<
C ．1a c b d <<<<
D ．1a c d b <<<<
【答案】C
【分析】利用指数函数和对数函数的图象和性质判断.
【解析】由指数函数的图象和性质得x y a =是减函数，x y b =，x y c =增函数， 则01a c b <<<<，
因为x y b =的图象与2log y x =的图象关于y x =对称， 由反函数的定义得2b =，
当1x >时，2log y x =的图象总在log d y x =的上方， 所以2d <，
综上所述，1a c b d <<<<， 故选：C
10．已知函数()2
1
()ln 11||
f x x x =+-
+，若实数a 满足()313log log 2(1)f a f a f ⎛⎫
+≤ ⎪⎝⎭
，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,3] B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．(0,3]
D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【分析】先判断函数()f x 为R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则不等式
()313log log 2(1)f a f a f ⎛⎫
+≤ ⎪⎝⎭可转化为3log 1a ≤，由此可得a 的取值范围.
【解析】
()21()ln 11||
f x x x =+-+，其中x ∈R ，∵()2
1()ln 1()1f x x f x x -=+-=+，则()f x 为偶函数，
当0x >时，()2
1
()ln 11f x x x
=+-
+，则()f x 在()0,∞+上单调递增，
又()313log log 2(1)f a f a f ⎛⎫
+≤ ⎪⎝⎭，则()()33log log 2(1)f a f a f +-≤，
即()3log (1)f a f ≤，故3log 1a ≤，则31log 1a -≤≤，解得1
33
a ≤≤.
故选：D.
11．已知函数()123,1
ln 1,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩
的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）
A ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
B ．11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【分析】首先求出1x ≥时函数的值域，设1x <时，()f x 的值域为A ，依题意可得(,1)A -∞⊆，即可得到不等式组，解得即可；
【解析】解：由题意可得当1x ≥时()ln 1f x x =+，所以()f x 的值域为[1,)+∞， 设1x <时，()f x 的值域为A ，则由()f x 的值域为R 可得(,1)A -∞⊆，
∴1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得102a ≤<，即10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．
故选：D
．已知分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且（为自然对数的底数），若关于x 的不等式22()()0f x ag x -≥在(0,ln 2)上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(
2-∞ B ．[)5ln 2,-+∞ C ．40,9⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．(],0-∞
【答案】C
【分析】由奇偶性可求得(),()f x g x 的函数表达式，化简不等式并参变分离，得
22
2()4(e e )
()(e e )x x x x f x a g x --+≤=-，通过换元，利用函数单调性来求不等式右边的最小值，从而可以求
得a 的取值范围.
【解析】由题意，()()e x f x g x --+-=，又(),()f x g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，
则()()e --=x
f x
g x ，由()()e ()()e x x
f x
g x f x g x -⎧-=⎨+=⎩
解得，1()(e e )2x x f x -=+，1()(e e )2x x
g x -=-，关于x 的不等式2
2()()0f x ag x -≥在(0,ln 2)上恒成立，等价于22
2()4(e e )
()(e e )x x x x f x a g x --+≤=-，令
3e e ,(0,)2x
x
t t -=-∈，222222244(e e )42()4(e e )44144()(e e )(e e )x x x x
x x x x f x t a g x t t t
-----+++≤====+--， 令()2
242214114h t t t t t ⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，令21m t =，4()9m >，所以2()4h m m m =+，则10()9h m >，
则409a ≤
.故实数a 的取值范围是40
9
a ≤. 故选：C
【点睛】解不等式在给定区间的恒成立问题，通常转化为最值问题求解.
二、多选题
13．用二分法求方程()=0f x 在[]0,1上的近似解时，经计算，(0.625)0f <，(0.75)0f >，
(0.6875)0f <，即可得出方程的近似解为（ ）
（精确度0.1） A ．0.625 B ．0.75
C ．0.6875
D ．0.65
【答案】BC
【分析】根据()()0.68750.750f f ⋅<可得方程在()0.6875,0.75上有解，结合
0.750.68750.1-<即可得出结果.
【解析】因为(0.625)0f <，(0.75)0f >，(0.6875)0f <， 所以()()0.68750.750f f ⋅<，()0f x =在()0.6875,0.75上有解， 又0.750.68750.1-<，
所以方程()0f x =的近似解(精确度为0.1)可以为0.75，0.6875， 故选：BC
A ．0,0,log ()log log ∀>>+=+a a a x y x y x y
B ．0,0,log log log ()∃>>⋅=a a a x y x y xy
C ．0,0,ln()ln ln ∀>>=+a b ab a b
D ．log 1,0,∀>>=a
b a b a b
【答案】BCD
【分析】由对数运算性质log ()log log a a a xy x y =+可以判断选项A ，取1x y ==，即可判断选项B ，由对数运算性质ln()ln ln ab a b =+与log a b a b =可以判断选项C 与D. 【解析】对于选项A ，由对数运算性质知：,0x y ∀>有log ()log log a a a xy x y =+，而log ()log log +≠+a a a x y x y ，选项A 错误；
对于选项B ，当1x y ==时，log log log ()a a a x y xy ⋅=成立，选项B 正确； 对于选项C ，0,0,ln()ln ln ∀>>=+a b ab a b ，选项C 正确；
对于选项D ，0,0,ln()ln ln ∀>>=+a b ab a b ，选项D 正确． 故选：BCD.
15．已知函数()()()0,1log 1a f x a x a >=-≠，下列关于()f x 的说法正确的是（ ） A ．定义域是(),1-∞ B ．值域是R
C ．图象恒过定点
D ．当1a >时，在定义域上是增函数
【答案】ABC
【分析】根据对数型复合函数的性质依次讨论各选项即可得答案.
【解析】解：对于A 选项，10x ->，解得1x <，所以定义域是(),1-∞，故正确； 对于B 选项，由对数函数的性质得值域是R ，故正确；
对于C 选项，函数()()()0,1log 1a f x a x a >=-≠恒过定点()0,0，故正确；
对于D 选项，当1a >时，函数log a y t =在()0,∞+上单调递增，函数1y x =-在(),1-∞上单调递减，故根据复合函数单调性得当1a >时，()f x 在定义域上是减函数，故错误； 故选：ABC
16．已知函数()2
21
x f x a =-+，且()113f =，则（ ）
A ．1a =
B ．()f x 为非奇非偶函数
C ．函数()f x 的值域为()1,1-
D ．不等式()()2
3130f x f x -+-<的解集为4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】ACD
【分析】由()113f =求得a 可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；由x 的范围可得2
121
-++x 的
范围，可判断C ；利用()f x 的单调性可判断D. 【解析】()21
1213
f a =-
=+，求得1a =，A 正确； 1a =时，()221
12121
x x x f x -=-=++，
∵()()21122112
x x
x x
f x f x -----===-++，x R ∈∴()f x 为奇函数，B 不正确； ∵20x >，∴211x +>，∴10121x <<+，2
2021
x --<<+， ∴2
11121
x --<+
<+，C 正确；
()2121x f x =-
+，因为21x
y =+是R 上单调递增函数，221
x y =+是R 上单调递减函数，
所以()2
121
x f x =-
+是R 上单调递增函数， ∴()()()()()22
31303133f x f x f x f x f x -+-<⇒-<--=-，
∴2313x x -<-，∴2340x x +-<，∴解集为4,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，D 正确.
故选：ACD.
17．设函数()22,0
ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()g x f x m =-的零点个数可能是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】AB
【分析】将问题转化为求函数()y f x =与y m =交点的个数，画出()y f x =和y m =的图象，利用数形结合的数学思想即可得出结果.
【解析】由函数220
()ln 0
x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩，，，得(1)(1)1f f -==-，
则函数()()g x f x m =-的零点个数就是函数()y f x =与y m =交点个数， 画出()y f x =和y m =的图象，如图
由图可知，当0m >，两个函数的图象有1个交点， 当0m ≤，两个函数的图象有2个交点，
所以函数()()g x f x m =-的零点个数可能有1个或2个． 故选：AB ．
18．已知函数()()()log 1log 3a a f x x x =-++（0a >且1a ≠）在定义域内存在最大值，且最大值为2，()21
2
x x
m g x ⋅-=，若对任意111,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在[]21,1x ∈-，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值可以是（ ） A ．1- B ．0
C ．2log 7
D ．3
【答案】ABC
【分析】先求出()()22log 14f x x ⎡⎤=-++⎣⎦，得到11,2x ⎡⎤
∴∈-⎢⎥⎣⎦
时，()[]2log 72,2.f x ∈- 再由题意得到2log 722m --，即可求出m 的范围，对照四个选项即可得到正确答案. 【解析】()f x 定义域为
()3,1-.()()()()(
)2
2log 1log 3log 23log 14a a a a f x x x x x x ⎡⎤=-++=--+=-++⎣⎦
由题意知=1x -时，()2f x =，即log 42,2a a =∴=.
此时()()22
log 14f x x ⎡⎤=-++⎣⎦
， 11,2x ⎡⎤
∴∈-⎢⎥⎣⎦
时，()[]2log 72,2.f x ∈-
()[]1
,1,12x
g x m x =-
∴∈-时，min ()2g x m =-，由2log 722m --得2log 7m . 对照四个选项，可以选:ABC. 故答案为：ABC
三、填空题
19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()2x
f x =，则
()9f -=___________.
【答案】2-
【分析】根据()()4f x f x +=，可得函数()f x 是以4为周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性即可得解.
【解析】解：因为()()4f x f x +=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数， 又因()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()()()9912f f f -=-=-=-. 故答案为：2-.
20．函数()f x 的周期为1，当01x <≤时，()ln f x x =-，则2f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭的值为_________.
【答案】ln 2
【分析】利用函数的周期性求函数值即可.
【解析】由题意()(1)f x f x =+，故111()ln ln 2222f f ⎛⎫
-==-= ⎪⎝⎭
.
故答案为：ln 2
21．已知()2
1212x
x
m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
≤-对任意(],1x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】[]2,3-
【分析】()2
1212x
x
m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
≤-对任意(],1x ∈-∞-恒成立，利用参变分离，可等价为
221122x x m m ⎛⎫
- ⎪⎝+⎭≤对任意(],1x ∈-∞-恒成立，即2in
2m 1122x x m m ≤+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，然后利用复合
函数值域的求法，求出()(]2
,1122
1,x x f x x =+∈-⎫
⎪⎭∞⎝-⎛的最小值，从而求出m 的取值范围.
【解析】依题意，()2
1212x
x
m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
≤-对任意(],1x ∈-∞-恒成立，可等价为
221122x x m m ⎛⎫- ⎪⎝+⎭≤对任意(],1x ∈-∞-恒成立，即2in
2m 1122x x m m ≤+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 令[)12,2x t =∈+∞，()[)2
211
,2,24
f t t t t t ⎛⎫∴=+=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，
()()2
min 1122624f t f ⎛
⎫∴==+-= ⎪⎝⎭，
26m m ∴-≤，解得23m -≤≤，
∴实数m 的取值范围为[]2,3-.
故答案为：[]2,3-.
22．已知函数()lg(2022||)2022||
f x x x =+-+，若()lo
g 2022(1)a f f ≥（0a >且1a ≠），则a
的取值范围为__________． 【答案】1,1(1,2022]2022⎡⎫
⋃⎪⎢
⎣⎭
【分析】根据奇偶性定义判断()f x 为偶函数，由解析式判断()f x 的单调性，再讨论a 的范围，并利用偶函数和单调性求参数的范围. 【解析】由11
()lg(2022||)lg(2022||)()2022||2022||
f x x x f x x x -=+--=+-=+-+且定义域为
R ，
所以()f x 为偶函数，
当,()0x ∈+∞时1
()lg(2022)2022f x x x
=+-
+为增函数，故在(,0)x ∈-∞上()f x 为减函数，
综上，由()log 2022(1)a f f ≥，即log 20221a ≤-或log 20221a ≥，
第 11 页 共 11 页 当01a <<时，则112022
a ≤<；当1a >时，则12022a <≤， 所以a 的取值范围为1,1(1,2022]2022⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
. 故答案为：1,1(1,2022]2022⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
23．()24
1
1323230.002105283---⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
24.()21lg5lg8lg10003lg 2lg lg 0.066
⋅++++ 【答案】（1）20-；（2）1.
【解析】（1）根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式，直接计算，即可得出结果；
（2）根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.
【解析】（1）原式=()212322712105285003--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ ()
222250*********⎛⎫⎛⎫=-+-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）原式=213lg5lg 23lg53lg 2lg lg 626
⋅++++- =3(lg5lg 2)lg 23lg521+⋅+-=。