2015高考数学一轮课件：6-5数列的综合应用

第八页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
解 (1)设{an}的公差为 d.由题意得，a211＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是 d(2a1＋25d)＝0. 又 a1＝25，所以 d＝－2 或 0(舍去)． 故 an＝－2n＋27. (2)令 Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知 a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为 25，公差为－6 的等 差数列． 从而 Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
诊突培断破养基高解础频题
第三页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
3．数列的应用题 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该 模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的 数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系 不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推 关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．
诊突培断破养基高解础频题
第七页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
考点一 等差、等比数列的综合问题
【例1】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的公差不为 零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
诊突培断破养基高解础频题
诊突培断破养基高解础频题
第二十一页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
(2)由 bn＝2an＋21an＝2n＋1＋2n1＋1＝2n＋21n＋2， 知 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·nn＋ 2 1＋1211－－1212n＝n2＋3n＋1－ 1 2n.
诊突培断破养基高解础频题
第二十二页，编辑于星期五：十三点 二十二分。页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
解得
d＝32m－322m－×11
000＝1
0003m－2m＋1 3m－2m .
故该企业每年上缴资金 d 的值为1 0003m3－m－2m2m＋1时，经过 m(m≥3)
年企业的剩余资金为 4 000 万元．
诊突培断破养基高解础频题
第十六页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
诊突培断破养基高解础频题
第十一页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
(2)由(1)知 an＝2n＋1，则 Sn＝n(n＋2)，S1n＝121n－n＋1 2， Tn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－n＋1 2 ＝121＋12－n＋1 1－n＋1 2 ＝34－2n＋2n1＋n3＋2.
诊突培断破养基高解础频题
诊突培断破养基高解础频题
第四页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
辨析感悟
1．等差数列与等比数列的综合问题
(1)在等差数列{an}中，首项a1公差d、前n项和Sn、通项an、 项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够
求出另外两个．
(√)
(2)在等比数列{an}中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项
诊突培断破养基高解础频题
第二十五页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
(2)因为ana1n＋1＝2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1， 所以，Tn＝121－13＋13－15 ＋…＋2n1－1－2n1＋1＝121－2n1＋1. ∴Tn＜12， 要使不等式 4Tn＜a2－a 恒成立，只需 2≤a2－a 恒成立，解得 a≤ －1 或 a≥2， 故实数 a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定
能够求出另外两个．
(√)
(3)一个细胞由1个分裂为2个，则经过5次分裂后的细胞总
数为63.
(×)
诊突培断破养基高解础频题
第五页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
2．增长率与存贷款利息问题
(4)某厂生产总值月平均增长率为q，则年平均增长率为12q.
(2)由(1)，得 an＝32an－1－d ＝3232an－2－d－d＝322an－2－32d－d …
＝32n－1a1－d1＋32＋322＋…＋32n－2.
整理，得 an＝32n－1(3 000－d)－2d32n－1－1
＝32n－1(3 000－3d)＋2d.
由题意，得 am＝4 000，
即32m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.
诊突培断破养基高解础频题
第二十六页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
1．用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量，减 少差错．
2．理解等差数列、等比数列定义、基本量的含义和应用， 体会两者解题中的区别．
3．注意数列与函数、方程、三角、不等式等知识的融合， 了解其中蕴含的数学思想．
4．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降 低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列 来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解 决实际问题．
第十二页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
考点二 数列在实际问题中的应用
【例2】 (2012·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产 品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投 入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年 增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每 年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生 产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万 元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
(×)
(5)采用单利计息与复利计息的利息都一样．
(×)
诊突培断破养基高解础频题
第六页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
[感悟·提升] 1．一个区别 “单利计息”与“复利计息”
单利计息属于等差数列模型，复利计息属于等比数列模 型．复利也就是通常说的“利滚利”．计算本利和的公式 是本利和＝本金×(1＋利率)存期，如(5)． 2．一个防范 数列的实际应用问题，要学会建模，对应哪一 类数列，进而求解，如(3)、(4)．
诊突培断破养基高解础频题
第九页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
规律方法 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析 等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之 间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
诊突培断破养基高解础频题
第十页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
【训练 1】 (2014·盐城模拟)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列， 它的前 n 项和为 Sn，且 a1＋1，a3＋1，a7＋1 成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列S1n的前 n 项和 Tn. 解 (1)由题意，得 a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13， 所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1) 得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13) 解得 a1＝3，所以 an＝3＋2(n－1)，即 an＝2n＋1.
诊突培断破养基高解础频题
第十八页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
解析 由题意，可知从早晨 6 时 30 分开始，接下来的每个 30 分 钟内进入的人数构成以 4 为首项，2 为公比的等比数列，出来的人 数构造以 1 为首项，1 为公差的等差数列，记第 n 个 30 分钟内进 入公园的人数为 an，第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn，则 an＝ 4×2n－1，bn＝n，则上午 11 时 30 分公园内的人数为 S＝2＋411－－2210－101＋ 2 10＝4 039. 答案 4 039
第5讲 数列的综合应用
诊突培断破养基高解础频题
第一页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
知识梳理
1．等差数列和等比数列的综合 等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中 最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列 的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两 个数列的基本量解决问题的．
诊突培断破养基高解础频题
第二页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
2．数列和函数、不等式的综合 (1)等差数列的通项公式和前n项和公式是(在公差d≠0的情 况下)关于n的一次和二次函数． (2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况 下是公比q的指数函数模型． (3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求 参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问 题．
诊突培断破养基高解础频题
第十七页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
【训练2】 “十一”期间，北京十家重点公园将举行免费游园 活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公 园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个 30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去 3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这 种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是 ________．
解 (1)因为 an＝ Sn＋ Sn－1，所以 Sn－Sn－1＝ Sn＋ Sn－1， 即 Sn－ Sn－1＝1，所以数列{ Sn}是首项为 1，公差为 1 的等差数 列，得 Sn＝n， 所以 an＝ Sn＋ Sn－1＝n＋(n－1)＝2n－1(n≥2)，当 n＝1 时，a1 ＝1 也适合，所以 an＝2n－1.
规律方法 解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题 设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解； 数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函 数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特 点．
诊突培断破养基高解础频题
第二十三页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
【训练 3】 (2014·浙江五校联考)已知正项数列{an}的首项 a1＝1，
诊突培断破养基高解础频题
第十九页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
考点三 数列与函数、不等式的综合应用
【例 3】 (2013·安徽卷)设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝8，且对任 意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x 满 足 f′π2＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝2an＋21an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 审题路线 (1)求 f′(x)⇒由 f′2π＝0 得 an、an＋1、an＋2 的关系 式⇒可推出数列{an}为等差数列⇒根据条件求公差 d⇒得出通 项 an. (2)由(1)知 bn⇒分组求和⇒得出结论 Sn.
规律方法 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信 息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是 等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通 项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、 解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得 出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．
前 n 项和 Sn 满足 an＝ Sn＋ Sn－1(n≥2)． (1)求证：{ Sn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)记数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn，若对任意的 n∈N*，不等 式 4Tn＜a2－a 恒成立，求实数 a 的取值范围．
诊突培断破养基高解础频题
第二十四页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
诊突培断破养基高解础频题
第十三页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
解 (1)由题意， 得 a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4 500－52d， an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d.
诊突培断破养基高解础频题
第十四页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
诊突培断破养基高解础频题
第二十页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
解 (1)由题设可得，对任意 n∈N*，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2 －an＋1sin x－an＋2cos x.f′π2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即 an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列． 由 a1＝2，a2＋a4＝8，解得 d＝1， 所以 an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.