高中数学人教A版选修2-2优化练习：第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛
1x 3d x ＝
∑i ＝1
n
i 3n 3·1
n ； ②⎠
⎛
1x 3d x ＝lim n →∞∑
i ＝1n (i －1)3n 3·1
n ； ③⎠
⎛
1x 3d x ＝lim n →∞∑
i ＝1n i 3n 3·1n .
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：由定积分的定义，知②③正确，①错误． 答案：C
2.如图所示，⎠⎛a
b f (x )d x ＝( )
A ．S 1＋S 2＋S 3
B ．S 1－S 2＋S 3
C ．－S 1＋S 2－S 3
D ．－S 1－S 2＋S 3
解析：由定积分的几何意义知当f (x )≥0时，⎠⎛a b f (x )d x 表示面积S ，当f (x )≤0时，⎠⎛a
b f (x )d x
＝－S .
答案：C
3．已知a ＝∑i ＝1
n
1n ⎝⎛⎭⎫i n 2
，n ∈N *，b ＝⎠⎛0
1x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( ) A ．a >b B ．a ＝b C ．a <b
D ．不确定
解析：根据定积分的概念知，a ＝∑i ＝1n
1n ⎝⎛⎭⎫i n 2表示图1中n 个小矩形组成的阴影部分的面积，b ＝⎠⎛0
1x 2d x 表示由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图2阴影部分的面积，故a >b ，
选A.
答案：A
4．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2，x ≥0，
2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )
A. ⎠⎛－1
0x 2d x
B. ⎠⎛－1
02x d x
C.⎠⎛－10 x 2d x ＋⎠⎛0
12d x
D. ⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛0
1x 2d x
解析：因为f (x )在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致．利用定积分的性质可得正确答案为D.
答案：D
5．下列命题不正确的是( )
A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a
a f (x ) d x ＝0
B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0
a f (x )d x
C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a
b f (x )d x >0
D ．若f (x )在[a ，b )上连续且⎠⎛a
b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b )上恒正
解析：本题考查定积分的几何意义，对A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确．对B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确．C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．
答案：D
6．若⎠⎛0
11
2f (x )d x ＝1，⎠⎛－1
03f (x )d x ＝2，则⎠
⎛－1
1f (x )d x ＝________.
解析：∵⎠⎛0
11
2f (x )d x ＝1，∴⎠
⎛0
1f (x ) d x ＝2，
∵⎠⎛－1
03f (x )d x ＝2，∴⎠
⎛－1
0f (x )d x ＝2
3，
∴⎠⎛－1
1f (x )d x ＝⎠
⎛－1
0f (x )d x ＋⎠⎛0
1f (x )d x ＝23＋2＝8
3.
答案：8
3
7．曲线y ＝1
x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛1
2x d x －⎠⎛1
21
x d x ＝⎠⎛1
2⎝⎛
⎭
⎫x －1x d x .
答案：⎠⎛1
2⎝⎛⎭
⎫x －1
x d x 8.⎠⎛a
b (a －x )(x －b )d x ＝________.
解析：⎠⎛a
b (a －x )(x －b )d x 表示由曲线y ＝(a －x )(x －b )和直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴围成
图形的面积．由y ＝(a －x )(x －b )，得y 2＋⎝⎛⎭⎫x －a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫b －a 22
(y ≥0)，所以y ＝(a －x )(x －b )
表示以⎝⎛
⎭
⎫
a ＋
b 2，0为圆心，以b －a 2为半径的上半圆．
故⎠⎛
a
b
(a －x )(x －b )d x 表示如图所示的半圆的面积，S 半圆＝π(b －a 2)2×12＝π(b －a )2
8
，
所以⎠⎛
a
b
(a －x )(x －b )d x ＝π(b －a )2
8
.
答案：π(b －a )2
8
9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．
解析：(1)⎠⎛ππ
3sin x d x .
(2)⎠
⎛
2－4
x 2
2
d x . (3)－⎠⎛4
9(－x 12)d x ＝⎠⎛4
9x 1
2
d x .
10．利用定积分的几何意义求⎠⎛－2
2f (x )d x ＋
22
π
π-
⎰
sin x cos x d x ，其中f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ≥0，
3x －1，x <0.
解析：⎠⎛－2
2f (x )d x ＋∫π2－π
2sin x cos x d x ＝⎠
⎛－2
0(3x －1)d x ＋⎠⎛0
2(2x －1)d x ＋
22
π
π-
⎰
sin x cos x d x .
∵y ＝sin x cos x 为奇函数，∴
22
ππ-
⎰
sin x cos x d x ＝0.
利用定积分的几何意义，如图，
∴⎠
⎛－2
0 (3x －1)d x ＝－7＋1
2×2＝－8，
⎠⎛0
2(2x －1)d x ＝
12×3×32－12×1×1
2
＝2. ∴⎠⎛－2
2
f (x )d x ＋
22
ππ-
⎰
sin x cos x d x ＝2－8＋0＝－6.
[B 组 能力提升]
1．已知定积分⎠⎛0
6f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，
则⎠⎛－6
6f (x )d x 等于( )
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8
解析：∵被积函数f (x )为偶函数，
∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等． ∴⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛0
6f (x )d x ＝2×8＝16.
答案：B
2．若S 1＝⎠⎛1
2x 2d x ，S 2＝
⎠⎛1
21
x d x ，S 3＝⎠
⎛1
2e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
解析：本题考查定积分几何意义的应用问题．明确定积分中各被积函数在积分区间上所表示的图形是解题的关键．如图所示，可得S 2<S 1<S 3.
答案：B
3.⎠⎛0
11－(x －1)2 d x ＝________.
解析：函数y ＝1－(x －1)2的图象是圆心为(1,0)，半径为1的圆的上半部分．由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的14，即是π
4
.
答案：π
4
4．若⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝2，⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，则⎠⎛a
b f (x )d x ＝________.
解析：由已知得⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝2，⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a b g (x )d x ＝3，两式联立可得⎠⎛a
b f (x )d x
＝52
. 答案：52
5．用定积分的几何意义求下列各式的值． (1) ⎠⎛－1
1
4－x 2d x ；
(2)
22
ππ-
⎰
sin x d x ；
(3)
522
ππ⎰
(1＋sin x )d x .
解析：(1)由y
＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，如图所示，
∴⎠⎛－1
1
4－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形面积CED 与矩形ABCD 的面积之和
∵S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π
3－3，
S 矩形＝AB ·BC ＝23， ∴⎠⎛－1
1
4－x 2d x ＝23＋
2π3－3＝2π
3
＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π
2上是奇函数， ∴
22
π
π-
⎰
sin x d x ＝0.
(3)函数y ＝1＋sin x 的图象如图所示，
522
ππ⎰
(1＋sin x )d x ＝S 矩形ABCD ＝2π.
6．是否存在常数a ，使得⎠⎛－1
a x 5d x 的值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明
理由．
解析：⎠⎛－1
a x 5d x 表示直线x ＝－1，x ＝a ，y ＝0和曲线y ＝x 5所围成的曲边梯形面积的代
数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．
又f (x )＝x 5为奇函数，∴⎠⎛－10x 5d x <0，且⎠⎛－10x 5d x ＝－⎠⎛01x 5d x ，∴要使⎠⎛－1
a x 5d x ＝0成立，
则a ＝1，故存在a ＝1，使⎠⎛－1
a x 5d x ＝0.。