最新-五年高考三年模拟2021届高三数学理新课标一轮复习课件：4.2 三角函数的图象与性质 精品

kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出x的范围,所对应区间即为增区间,由2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ 3 π(k
2
2
2
2
∈Z)解出x的范围,所对应区间即为减区间.
若函数y=Asin(ωx+φ)中A>0,ω<0,可用诱导公式将函数变为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ)的增
例2 (2012北京,15,13分)已知函数f(x)= (sin x cos x)sin 2x .
sin x
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)= (sin x cos x)sin 2x =2cos x(sin x-cos x)
(2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移”. 方法一:先平移后伸缩
y=sin x
y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ) .
方法二:先伸缩后平移
y=sin x
y=sin ωx
y=sin(ωx+φ)
8
8
所以f(x)的单调递增区间为
k
8
,
k
和
k
,
k
3 8
(k∈Z).
2-1
已知函数f(x)=2
3
sin2
4
x
+2cos2x-
3.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间
0,
2
上的值域.
解析
(1)f(x)=
3
1
cos
2
2
x
+1+cos
2x-
3 =-
高考理数
§4.2 三角函数的图象与性质
1.三角函数的图象和性质
函数 性质
y=sin x
定义域
R
知识清单
y=cos x R
图象
y=tan x
x x≠kπ+ 2 ,k∈Z
值域 对称性 周期 单调性
奇偶性
[-1,1]
对称轴: x=kπ+2 (k∈Z) ;
对称中心: (kπ,0)(k∈Z)
2π
单调增区间:
y=Asin(ωx+φ) .
3.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A叫做 振幅 ,T= 2 叫做 周期 , f=
ω
1 = ω 叫做 频率 ,ωx+φ叫做 相位 ,x=0时的相位φ称为 初相 . T 2 【知识拓展】
1.三角函数的单调性
(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把(ωx+φ)看作一个整体,比如:由2
2kπ- 2 ,2kπ+2 (k∈Z) ;
单调减区间:
3
2kπ+ 2 ,2kπ+2 (k∈Z)
奇 函数
[-1,1]
对称轴: x=kπ(k∈Z) ;
对称中心:
k
2
,
0
(k∈Z)
2π
单调增区间: [2kπ-π,2kπ](k∈Z) ;
单调减区间: [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
偶 函数
R
对称中心:
(k∈Z),解出x即可:x=
k
2
φ
(k
2
ω
∈Z).
(2)中心对称:y=Asin(ωx+φ)+B的对称中心的求法:令ωx+φ=kπ(k∈Z),解出x即可:x= k φ (k∈Z),
ω
对称中心为
k ω
φ
,
B
(k∈Z).
突破方法
方法1 三角函数的图象变换
1.在三角函数图象的变换过程中,一定要弄清哪一个是起始函数,哪一个是目标函数.
ω
x
φ ω
知,“五点法”中的第一个点
φ ω
,
0
就是由原点平移而来的,可从图象中找出此点的横坐标-
φ ω
,
即可得到φ值.
例3 (2016云南红河一模,18,12分)函数f(x)=6cos2 ωx + 3 sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如
2
图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
2
x
6
-
3
=2sin
2x,易知它的单调递减区间为
4
k , 3 4
k
,k∈Z,故选D.
方法2 三角函数的性质
1.周期性:求三角函数的最小正周期时,一般地,先经过恒等变形把三角函数化为“y=Asin(ω x+φ)”或“y=Acos(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可. 2.奇偶性:判断函数的奇偶性,应先判断函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍是 偶函数;复合函数在复合过程中,对每个函数(为奇函数或偶函数)而言,只要有一个是偶函数,则 复合函数就是偶函数,若都是奇函数,则复合函数为奇函数. 3.三角函数的单调性:三角函数单调区间的确定,一般先将三角函数式化为基本三角函数的标准 式,然后通过同解变形或利用数形结合方法求解.对于复合函数单调性的确定,应明确:由两个函 数复合而成时,同增或同减则为增,一增一减则为减,即同增异减. 4.图象的对称性:判断函数f(x)=Asin(ωx+φ)(或g(x)=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>0)的图象对称性的方法: 当x=x0时, f(x)(或g(x))取到最值,则f(x)(或g(x))的图象关于直线x=x0轴对称;若f(x0)=0(或g(x0)=0),则 f(x)(或g(x))的图象关于点(x0,0)中心对称.
2
=f(x)的图象向左平移 个单位得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的一个减区间为( )
6
A.
3
,
0
B.
4
,
4
C.
0,
3
答案 D
D.
4
,
3
解析
由题意得f(x)=2sin
ωx
3
,
T 2
=
2
,所以ω=2,则f(x)=2sin
2x
3
.从而g(x)=2sin
2.在平移变换中,可以通过关键点的平移来判断平移方向和平移量.比如:由函数y=sin
2x
3
的
图象平移得到函数y=sin
2x
3
的图象,可分别令2x-
3
=0,2x+
3
=0,即相当于由点A
6
,
0
平移得
到点B
6
,
0
,即向左平移了
3
个单位.
3.在伸缩变换中,对于横坐标的伸缩,可用三角函数的最小正周期来判断伸缩量;对于纵坐标的伸
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)=
8
3 5
,且x0∈
10 3
,
2 3
,求f(x0+1)的值.
ωx 3
解析 (1)由已知可得, f(x)=3cos ωx+ 3 sin ωx=2 3 sin
.
易知正三角形ABC的高为2 3,从而BC=4.
所以函数f(x)的周期T=4×2=8,即 2 =8,ω= .函数f(x)的值域为[-2 3 ,2 3 ].
6
2 12
2(x+φ)+
3
=sin
2
x
12
+kπ+
3
=±sin
2
x
12
+
3
,k∈Z,即将函数y=sin
2x
3
的图象向右平移
12
个单位后所得的图象关于点
12
,
0
中心对称,故选A.
答案 A
1-1 已知函数f(x)=sin ωx- 3 cos ωx(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于 ,若将函数y
缩,可用三角函数的最值来判断伸缩量.
例1 (2015浙江金华中学月考,3,5分)将函数y=sin
关于点
12
,
0
中心对称
(
)
A.向右平移 个单位
12
B.向右平移 个单位
6
2x+
3
的图象经过怎样的平移后所得图象
C.向左平移 个单位
12
D.向左平移 个单位
6
解题导引 设平移后的解析式为
y=sin
2x
2φ
3
→由ห้องสมุดไป่ตู้称性
求出φ→结论
解析
设函数y=sin
2
x
3
的图象经过平移后所得图象的解析式为y=sin
2(x+φ)+
3
=sin
2x
2φ
3
,由函数y=sin
2x
2φ
3
的图象关于点
12
,
0
中心对称得sin
2
12
+2φ+
3
=
0,即2φ+ =kπ,k∈Z,得φ= k π- ,k∈Z.故y=sin
(1)在一个周期内,若最大值为M,最小值为m,则A= M m ,B= M m .
2
2
(2)ω影响周期,利用T= 2 可求出ω.
ω
(3)φ的求解有三种途径:
①代入法:把图象中一个已知点的坐标代入解析式.
②五点法:由特殊点确定.常利用最高点或最低点,也可以利用零点.
③运用逆向思维:由f(x)=Asin(ωx+φ)=Asin
ω
4
(2)因为f(x0)=
8
3 5
,由(1)有
f(x0)=2
3
sin
x0 4
3
=
8
3 5
,
即sin
x0 4
3
=
4 5
.
由x0∈
10 3
,
2 3
,知
x0 4
+
3
∈
2
,
2
,
所以cos
x0 4
3
=
1
4 5
2
=
3 5
.
故f(x0+1)=2
3
sin
x0 4
4
区间为原函数的减区间;减区间为原函数的增区间.
对于函数y=Acos(ωx+φ)的单调性的讨论与上类似.
(2)比较三角函数值的大小,往往是先利用奇偶性、周期性和诱导公式转化为同一单调区间上的
两个同名三角函数值,再利用单调性比较.
2.三角函数的对称性:
(1)轴对称:y=Asin(ωx+φ)+B的对称轴方程的求法:令ωx+φ=kπ+
∵|φ|<π,∴φ=
3
.故y=5sin
2 3
x
3
.
解法二(最值点法):将最高点坐标
4
,5
代入y=5sin
2 3
x
φ
,得
5sin
6
φ
=5,即sin
6
φ
=1,
∴ +φ=2kπ+ (k∈Z),∴φ=2kπ+ (k∈Ζ).
6
2
3
又|φ|<π,∴φ=
.故y=5sin
2 3
x
3
3
=2
3
sin
x0 4
3
4
=2 3 sin x0 + cos +cos
43
4
x0 +
43
sin
4
=2
3
4 5
2 3 25
2 2
=
7
6 5
.
3-1 如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件写出该函数的解析式.
解析 由题图知A=5,
.
解法三(起始点3 法):函数y=Asin(ωx+φ)的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x0正是由ωx0+
φ=0解得的.故
只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得φ.由图象易得x0=-
2
,
∴φ=-ωx0=-
2 3
×
2
=
3
.
栏目索引
谢谢观看
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下课
由 T = 5 -π= 3 ,得T=3π,
22 2
∴ω= 2
T
=2
3
.此时y=5sin
2 3
x
φ
.
下面求初相φ.
解法一(单调性法):∵点(π,0)在下降的曲线上,
∴
2 3
+φ∈
2k
2
,
2k
3 2
(k∈Ζ).
由sin
2 3
φ
=0,得
2 3
+φ=2kπ+π(k∈Z),∴φ=2kπ+
3
(k∈Ζ).
k 2
,
0
(k∈Z)
π
单调增区间:
kπ- 2 ,kπ+2 (k∈Z)
奇 函数
2.作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取 0 , 2 ,
3
π , 2 , 2π 来求出相应的x,通过列表、计算得出五点坐标,描点后得出图象.
26
66
从而有-
1 2
≤sin
2x
6
≤1,
则0≤2sin
2x
6
+1≤3,
故函数f(x)在区间
0,
2
上的值域为[0,3].
方法3 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式
已知图象求y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的步骤:首先确定A,B,再确定ω,最后确定φ,具体如下:
3
cos
2
2x
+cos
2x+1=
3 sin 2x+cos 2x+1=2
sin
2x
6
+1.故函数f(x)的最小正周期T=π.
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
2
6
2
3
6
故f(x)的单调递增区间为
k
3
, k
6
(k∈Z).
(2)由0≤x≤ ,得 ≤2x+ ≤ 7 ,
sin x
=sin 2x-cos 2x-1=
2
sin
2x
4
-1,
所以f(x)的最小正周期T= 2 =π.