三角函数一线三等角-答案

三角函数一线三等角 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人
得分 一、单选题
1．在ABC 中，若tanA=1，cosB=
22，则下列判断最确切的是（ ） A ．ABC 是等腰三角形
B ．AB
C 是等腰直角三角形 C ．ABC 是直角三角形
D ．ABC 是一般锐角三角形
2．在Rt ABC 中，390,2,2
C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值是（ ）． A ．34 B ．43 C ．74
D ．477
3．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A ．越来越小
B ．不变
C ．越来越大
D ．无法确定 4．下列计算错误的有（ ）
①sin60sin30sin30︒-︒=︒；②22sin 45cos 451︒+︒=；③213tan 603
︒=；④cos304tan 30sin 30︒︒=
︒． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知α∠为锐角，且1sin 2α=
，则α∠= （ ） A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒ 评卷人
得分
二、填空题 6．如图，在Rt ABC 中，30B ∠=︒，6BC =，点D 是BC 的中点，DEF 是等腰直角三角形，3DE DF ==，线段EF 与线段AB 相交于点Q ，将DEF 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合的过程中，线段DQ 的长度的取值范围______．
7．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，则图中阴影部分面积为 ___．
8．如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点 M ，BM 与EF 交于点P ，再展开．则下列结论中：①CM =DM ；②∠ABN =30°；③AB 2=3CM 2；④△PMN 是等边三角形．正确的有 ____
评卷人
得分
三、解答题 9．计算：（1）3tan 230°360°－2sin 245°； （2）(2019－π)0－4cos 30°＋2
12-⎛⎫ ⎪⎝⎭
＋|13． 10．[模型建立](一线三等角)
（1）如图1，等腰Rt ABC 中，90,,ACB CB CA ∠=︒=直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点,D 过点B 作BE ED ⊥于点,E 求证：BEC CDA ≌；
[模型应用]
（2）如图2，直线14:43
l y x =
+与坐标轴交于点,A B 、直线2l 经过点A 与直线1l 垂直，求直线2l 的函数表达式．
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点()6,8,B -过点B 作BA x ⊥轴于点A BC y ⊥、轴于点,C 点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线22y x =-+上的动点且在第四象限内．若CPD △成为等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．
11．数学模型学习与应用．【学习】如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，BC AC ⊥于点C ，DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得∠1=∠D ；又90ACB AED ∠=∠=︒，可以通过推理得到ABC ≌DAE △．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；
(1)【应用】如图2，点B ，P ，D 都在直线l 上，并且ABP APC PDC α∠=∠=∠=．若BP x =，2AB =，5BD =，用含x 的式子表示CD 的长；
(2)【拓展】在ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，连接AD ，DE ，
B ADE
C ∠=∠=∠，5AB =，6BC =．若CDE △为直角三角形，求C
D 的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点．AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B 的坐标．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先根据正切值、余弦值求出A ∠、B 的度数，再根据三角形的内角和定理可得C ∠的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】
A ∠、
B 是AB
C 的内角，且tan 1A =，cos B =， 45A ∴∠=︒，45B ∠=︒，
18090C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．
2．C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求得AC 的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：AC =，
∴sin B ＝AC AB ＝22= 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC 的长，正确理解正弦的定义是解题关键． 3．A
【解析】
【分析】
根据杠杆原理及cos α的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】
解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cos α的值越来越大，
又∵动力臂1cos L L α=⋅，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
利用特殊角的三角函数值逐个代入计算判断即可；
【详解】
解：
①1sin 60sin 302
︒-︒=，1sin302︒=，故左右不相等，错误；
②222211sin 45cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭
，正确；
③22tan 603︒==，错误；
④cos3024tan 301sin 302
︒︒===︒
错误的有3个，
故选择：C
【点睛】
本题主要考查特殊三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】
∵α∠为锐角，且1sin 2
α=
， ∴30α∠=︒．
故选A ．
【点睛】
此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
6．3232DQ ≤≤ 【解析】
【分析】
由旋转的性质可得DE =CD =3，由点Q 在EF 上运动，可得当点Q 与点E 重合时，DQ 有最大值为3，当DQ ⊥EF 时，DQ 有最小值，由锐角三角函数可求解．
【详解】
解：∵BC =6，点D 是BC 的中点，
∴CD =BD =3，
∵将△DEF 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合，
∴DE =CD =3，
∵线段EF 与线段AB 相交于点Q ，
∴点Q 在EF 上运动，
∴当点Q 与点E 重合时，DQ 有最大值为3，
如图，连接DQ ，当DQ ⊥EF 时，DQ 有最小值，
∵△DEF 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠E =45°，
sin DQ E DE ∴==
DQ DE ∴==
∴DQ
3,DQ ≤≤
3,DQ ≤≤ 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
7．1 【解析】
【分析】
设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL ”证明Rt △AB ′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE =∠B ′AE ，再根据旋转角求出∠DAB ′=60°，然后求出∠DAE =30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD 的面积-四边形ADEB ′的面积，列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，设B C ''与CD 的交点为E ，连接AE ，
在Rt AB E '和Rt ADE △中，
AE AE AB AD '=⎧⎨=⎩
， ()Rt AB E Rt ADE HL ∴'≌，
B AE DAE ∴∠'=∠，
∵旋转角为30°，
60DAB ∴∠'=︒，
160302
DAE ∴∠=⨯︒=︒，
33tan 133DE AD DAE ∴=⋅∠=⨯=， ∴阴影部分的面积=133211211233ADE ABCD S S ⎛⎫-=⨯-⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭
△正方形， 故答案为：313
-．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE =∠B ′AE ，从而求出∠DAE =30°是解题的关键，也是本题的难点． 8．②③④
【解析】
【分析】
根据题给条件，证不出①CM DM =；BMN ∆是由BMC ∆翻折得到的，故BN BC =，又点F 为BC 的中点，可知：1sin 2
BF BNF BN ∠==，求出30BNF ∠=︒，继而可求出②30ABN ∠=︒；在Rt BCM ∆中，30CBM ∠=︒，继而可知3BC CM =，可以证出③223AB CM =；求出60NPM NMP ∠=∠=︒，继而可证出④PMN ∆是等边三角形．
【详解】
解：如图示，
BMN ∆是由BMC ∆翻折得到的，
BN BC ∴=，又点F 为BC 的中点，
在Rt BNF △中，1sin 2
BF BNF BN ∠==， 30BNF ∴∠=︒，60FBN ∠=︒，
9030ABN FBN ∴∠=︒-∠=︒，故②正确；
在Rt BCM △中，1302CBM FBN ∠=∠=︒，
tan tan 30CM CBM BC ∴∠=︒=
=
BC ∴=，223AB CM =故③正确；
9060NPM BPF MBC ∠=∠=︒-∠=︒，9060NMP MBN ∠=︒-∠=︒，
PMN ∴∆是等边三角形，故④正确；
由题给条件，证不出CM DM =，故①错误．
故答案是：②③④．
【点睛】
本题考查翻折变换，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（1）3；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据特殊三角函数值可直接进行求解；
（2）根据特殊三角函数值及二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】
解：（1）原式=22
321313⨯⨯=+-=⎝⎭⎝⎭；
（2）原式=14414-++=． 【点睛】 本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．
10．（1）答案见解析；（2）直线l 2的函数表达式为：y ＝3944x --；（3）点D 的坐标为2238,3
3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(8，﹣14)或1626,3
3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出
∠DAC=∠ECB，最后由角角边证明：△BEC≌△CDA；
（2）如图2，仿照（1）作辅助线，构建三角形全等，同理证明△BOA≌△AED，求出点D 的坐标为（-7，3），最后利用待定系数法可得直线l2的函数表达式；
（3）分三种情况：①如图3，∠CPD=90°时，②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，③如图5，∠CDP=90°，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D 的坐标．
【详解】
（1）如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BEC=90°，
又∵∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
ADC CEB
DAC ECB AC BC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）如图2，在l2上取D点，使AD=AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，
∵直线y=43
x+4与坐标轴交于点A 、B ， ∴A （-3，0），B （0，4），
∴OA=3，OB=4，
由（1）得△BOA ≌△AED ，
∴DE=OA=3，AE=OB=4，
∴OE=7，
∴D （-7，3）
设l 2的解析式为y=kx+b ，
∴3703k b k b
-+⎧⎨-+⎩＝＝ 解得3494k b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
＝＝ ∴直线l 2的函数表达式为：y ＝3944
x --； （3）点D 的坐标为223833⎛⎫- ⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或16263
3⎛⎫- ⎪⎝⎭， 分三种情况：
①如图3，∠CPD=90°时，过P 作MH ∥x 轴，过D 作DH ∥y 轴，MH 和DH 交于H ，
∵△CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°，
∴CP=PD，
同理得△CMP≌△PHD（AAS），
∴DH=PM=6，PH=CM，
设PH=a，则D（6+a，a-8-6），
∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内．∴a-8-6=-2（6+a）+2，
解得：a=4
3
，
∴D（2238
,
33
）；
②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，过D作DE⊥y轴于E，
∵△CPD是等腰直角三角形，
同理得△AOC≌△CED，
∴OA=CE=6，OC=DE=8，
∴D（8，-14）；
③如图5，∠CDP=90°，过点D作MQ∥x轴，延长AB交MQ于Q，则∠Q=∠DMC=90°，
∵△CDP是等腰直角三角形，
同理得△PQD≌△DMC，
∴PQ=DM，DQ=CM，
设CM=b，则DM=6-b，AQ=8+b，
∴D（6-b，-8-b），
∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内，
∴-8-b=-2（6-b）+2，
解得：b=2
3
，
∴D（1626
,
33
-）；
综上，点D的坐标为
2238
33
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，或（8，﹣14）或
1626
33
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
【点睛】
本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一
次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，构建全等三角形依次解决问题．
11．(1)21522CD x x =-+ (2)3
(3)()3,1或()1,3-
【解析】
(1)
解：∵ABP APC PDC α∠=∠=∠=，
∴A APB APB CPD ∠+∠=∠+∠，
∴A CPD ∠=∠，
又∵ABP PDC ∠=∠，
∴ABP △∽PDC △，
∴
AB BP PD CD =， 即25x CD x
=-， ∴21522
CD x x =-+． (2)
解：如图4，当90CED ∠=︒时，
∵ADE C ∠=∠，CAD DAE ∠=∠，
∴ACD △∽ADE ，
∴90ADC AED ∠=∠=︒，
∵B C ∠=∠，90ADC ∠=︒
∴点D 为BC 的中点，
∴116322CD BC ==⨯=． 如图5，当90EDC ∠=︒时，
∵B C ∠=∠，
∴90BAD EDC ∠=∠=︒，
过点A 作AF BC ⊥，交BC 于点F ，
∴132BF BC =
=，3cos 5BF AB B AB BD ===， 2563
BD =>，不合题意，舍去， ∴3CD =．
(3)
解：分两种情况：
①如图6所示，过A 作AC ⊥y 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，则∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形
∵点A 的坐标为（2，4），
∴AD ＝2，OD ＝CE ＝4，
∵∠OBA ＝90°，
∴∠OBE +∠ABC ＝90°，
∵∠ABC +∠BAC ＝90°，
∴∠BAC ＝∠OBE ，
在△ABC 与△BOE 中，
90C BEO BAC OBE AB BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△BOE （AAS ），
∴AC ＝BE ，BC ＝OE ，
设OE ＝x ，则BC ＝OE ＝CD ＝x ，
∴AC ＝BE ＝x －2，
∴CE ＝BE +BC ＝x －2+x ＝OD ＝4，
∴x ＝3，x －2＝1，
∴点B 的坐标是（3，1）；
②如图7，同理可得，点B 的坐标（－1，3），
综上所述，点B 的坐标为（3，1）或（－1，3）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．。