人教六年级数学上册全册教案之：第4课时 圆的面积

人教六年级数学上册全册教案之：第4课时圆的面积
学习目标：
1.理解圆的面积计算公式的推导过程,掌握求圆的面积的方法并能正确计算。

2.通过动手操作，培养自己运用转化的方法解决问题的能力。

学习重点：
掌握求圆的面积的方法并能正确计算。

学习难点：
理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。

使用说明与学法指导：
在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，把这些近似于等腰小三角形的小纸片按P67的方法拼一拼，课上小组合作探究拼成的图形的各部分和圆之间的联系，推导出圆的面积计算公式带★的可以选做。

知识储备
1.计算下面各题（组内比一比，看谁算得快）
72 = 92 = 102= 82 = 62 = 52 =
42= 32= 22= 112 = 122= 202=
2.小组合作回忆平行四边形的面积公式推导过程（组内交流后完成下面的填空）我们在推导平面图形的面积时多数是用（）的方法，即把所学的图形进行分割、拼摆转化成学过的图形，用旧知识解决问题，今天我们仍用这种方法探究圆的面积计算公式。

自主与合作学习
1．什么是圆的面积？圆的面积大小由什么决定。

2．小组合作动手操作，推导圆的面积计算公式。

拿出课前把圆分成若干（偶数份）等份剪开后的图形，把这些近似于等腰小三角形的小纸片按P67的方法拼一拼，再思考：
（1）拼成的图形是（），等分的份数（偶数份）越多，拼出的图形更接近（）形。

（2）拼成的近似的长方形的长和宽与圆的周长、半径有什么联系？面积呢？（结合拼成的图形组内交流并展示）
3.结合拼摆、推导的过程整理圆的面积计算公式。

（1）从拼摆的图中可以看出圆的半径是r，长方形的长是（），宽是（）。

（2）因为长方形的面积=（）×（）,所以圆的面积=（）×（）=（）。

（3）如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是（）。

4．运用圆的面积计算公式解决问题。

（1）圆形草坪的直径是20米，每平方米草皮8元，铺满草皮需要多少钱？
分析：已知圆的直径，求面积的方法是先算出圆的（），再算（），最后算（）。

列式解答：
（2）一个圆形蓄水池的周长是25.12米，这个蓄水池的占地面积是多少？
分析：已知圆的周长，求面积的方法：先算出圆的（），再算（），最后算（）。

列式解答：
达标检测
1.填空
（1）把一个圆平均分成若干等份（偶数份），剪开拼成一个近似的长方形。

这个长方形的长相当于（），长方形的宽就是圆的（）。

因为长方形的面积是（），所以圆的面积是（）。

（2）用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是7厘米，画出的这个圆的周长是（）厘米，这个圆的面积是（）平方厘米。

（3）要在一个边长为10厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，圆的面积是（）。

剩下部分的面积是（）。

2．判断
（1）半径是2㎝的圆，它的面积和周长相等。

（）
（2）半圆面积是它的整个圆面积的一半。

（）
（3）两个圆的半径之比是1：2，面积之比也是1：2。

（）（4）圆的周长越长，圆的面积就越大。

（）
3．解决问题
（1）一只羊栓在草地的木桩上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草？
★（2）在一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸上剪一个最大的圆，还剩下多少平方厘米的纸没用？
整理学案
一、六年级数学上册应用题解答题
1．赵叔叔加工一批零件，计划每小时加工125个，6小时完成，实际工作效率提高20%。

实际多少时间可以完成？
2．一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两站同时相对开出，在距中点5千米处相遇．已知快、
慢车的速度比是3：2，甲、乙两站相距多少千米？（用方程解）
3．学校组织五年级少先队员参加义务植树活动。

全体少先队员分成栽树和挖坑两组，且栽树和挖坑的人数比是3：4，如果从栽树组调2个人到挖坑组，那么栽树组和挖坑组人数的比是2：3，有多少先队员参加了这次植树活动？
4．下图中，涂色部分甲比乙的面积大211.25cm 。

求BC 的长。

5．我们已经学习了“外方内圆”（如下图1）的问题，现在让你继续研究，你会有新的发现。

28846450.2413.76S S S π=-=⨯-⨯=-=正阴影圆
（1）图2的阴影部分面积是多少？（列式计算）
（2）通过上面两个图形的计算，你是否有所发现，按你的发现，那么如图3这样正方形中有16个小圆，阴影部分的面积是（ ）。

6．如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。

小圆的半径是2cm ，大圆的半径是6cm 。

（1）当小圆从大圆上的点A 出发，沿着大圆滚动，第一次回到点A 时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？
（2）小圆未滚动时，小圆上的点M 与大圆上的点A 重合，从小圆滚动后开始计算，当点M 第10次与大圆接触时，点M 更接近大圆上的点（ ）。

（括号里填A 、B 、C 或D 。

）
7．一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要12天。

现在乙队先工作几天，剩下的由甲队单独完成。

工作中各自的工作效率不变，全工程前后一共用了14天，共得劳务费2万元。

如果按各自的工作量计算，甲、乙各获得多少万元？
8．果园里的桃树比苹果树少50棵，苹果树的1
3
和桃树的40%相等，梨树的棵数与苹果树的
棵数之比是2∶3，果园里这三种树各有多少棵？
9．甲车间有男工45人，女工36人；乙车间女工人数是男工人数的120%．如果把两个车间的工人合在一起，那么男工和女工的人数正好相等．乙车间共有工人多少人？
10．佳惠超市按商品标价的80%进行促销。

光明小学在此超市按促销价购买了200支钢笔，共付2040元。

（1）每支钢笔的标价是多少元？
（2）如果每支钢笔超市的进价是8.5元，问超市是在进价基础上加价百分之几将这200支钢笔卖给光明小学的？
11．一辆大巴从广州开往韶关，行了一段路程后，离韶关还有210千米，接着又行了全程的20%，这时已行路程与未行路程的比是3:2。

广州到韶关两地相距多少千米？（用方程解）12．某地为提倡节约用电，推行“阶梯电价“．其计费规则为：居民用电300度及以内，每度电0.5元；用电超过300度至500度部分，每度电加价10%；用电超过500度部分，每度电加价50%，张阿姨家七月份交了216元电费，这个月她家一共用电多少度？
13．明明和媛媛分别看两本不同页数的故事书．
14．数与形。

（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。

2221213
-=+= 2232325
-=+= 2243437
-=+= 2254==
-
22
65==
-
（2）根据上面的规律，完成下面的算式。

1002－992＝（ ）＋（ ）＝（ ） 20202－20192＝（ ）＋（ ）＝（ ）
15．一张桌子可以坐6人，两张桌子拼起来可以坐10人，三张桌子拼起来可以坐14人．像这样共几张桌子拼起来可以坐50人？
16．列出综合算式，不计算。

一根电线先截去它的40％，还剩下12米，再截去多少米后，这时正好剩下这根电线全长的14
？ 17．汽车往返甲、乙两地．去的时候平均每小时行50千米，返回的时候平均每小时行60千米，汽车往返两地平均每小时行多少千米？
18．甲、乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，经过5小时相遇，相遇后两车又行驶了3小时，这时甲车离B 地还有230千米，乙车离A 地还有160千米，求A 、B 两地的距离是多少千米？
19．两个仓库里共有560箱苹果。

如果从甲仓库里搬出29
到乙仓库，两个仓库的苹果箱数就一样多了。

（1）请用线段图表示出乙仓库原来的苹果箱数。

（2）乙仓库原来有苹果多少箱？
20．涛涛读一本故事书，第一天读了这本书的1
6
，第二天读了这本书的
1
5
，这时还剩95页
没有读。

这本故事书共有多少页？
21．六（1）班女生人数比全班人数的3
5
多2人，男生有22人，全班有多少人？
22．一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
23．甲、乙两站相距不到500千米，A、B两列火车从甲、乙两站相对开出，A车行至210
千米处停车，B车行至270千米处停车，这时两车相距的正好是甲、乙两站距离的1
9
，甲、
乙两站的距离是多少？
24．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲车的速度是40千米/时，当两车在途中相遇时，甲、乙两车所行的路程比为8：7．相遇后，两车立即返回各自的出发地，
这时甲车把速度提高了25%，乙车速度不变．当甲车返回A地时，乙车距B地还有4
5
小时
的路程．
（1）乙车每小时行多少千米?
（2）A、B两地之间的路程是多少千米?
25．水果店运进一批桂园，第一天售出1
2
，第二天售出余下的3
5
，还剩36千克没有卖，这
批桂园有多少千克？
26．搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，问丙帮助甲、乙各多少时间？
27．一个工程队修一条公路，第一天修45米，第二天修全长的1
4
，第二天修的米数又恰好
比第一天多1
5
，这条公路全长多少米？
28．如图，长方形的长AD与宽AB的比为5∶3，E、F为AB边上的三等分点，某时刻，甲从A点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动。

甲、乙、丙三人的速度比为4∶3∶5，他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？
29．操场上有108名同学在锻炼身体，其中女生占2
9
，后来又来了几名女生，这时女生人数
占
3
10
，后来又来了几名女生？
30．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，两车在离中点20千米处相遇，已知甲车每小时行50千米，乙车每小时比甲车多行20%，求A、B两地间的路程。

31．图中，三角形AOC的面积是8平方厘米，求涂色部分的面积。

32．用边长为1厘米的小正方形拼长方形，如下图，图1的周长是4，图2的周长是6，图3的周长是8.
（1）你发现第几幅图和周长之间有什么关系吗？把你的发现写出来．
（2）你的发现对吗？请画出图4和图5验证一下．
（3）按照上面的规律，图20的图形周长是多少？请把你的思考过程写出来．
33．探索规律．
用小棒按照如图方式摆图形．
（1）摆1个八边形需要根小棒，摆2个需要根小棒，摆3个需要根小棒．
（2）照这样摆下去：
①摆n个八边形需要多少根小棒？n＝1000呢？
②64根小棒可以摆多少个八边形？
34．观察下面点阵中的规律，回答下面的问题：
①方框内的点阵包含了（）个点。

②照这样的规律，第12个点阵中应包含多少个点？
我是这样想的：
35．甲商品的价格比乙商品高20%，乙商品的价格比丙商品低25%，甲商品比丙商品便宜了百分之几？
36．有一批货物，第一天运走了全部的1
3
，第二天运走了剩下的一半，第三天运走了308千
克，正好运完。

这批货物一共有多少千克？
37．一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做40天完成，现在两人一起做，共用25天完成，其间甲休数是乙休息天数的2倍。

乙休息几天？
38．如图为某学校花坛，它由一个圆心角∠AOB＝30°，半径AO＝6米的扇形以及分别以AO、
BO的1
3
为直径的6个相等的半圆组成，求此花坛的面积。

39．商店购进一批自行车，购入价为每辆420元，卖出价为每辆500元，当卖出自行车的4 5
多20辆时，已获得全部成本，当自行车全部卖完时，共盈利多少元？
40．一批零件平均分给甲、乙两人来做．两人同时加工，当甲完成时乙还有18个没有做．已知甲、乙两人每小时生产零件个数的比是5：4．这批零件一共多少个？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、六年级数学上册应用题解答题
1．5小时
【分析】
计划每小时加工125个，即为工作效率，实际工作效率提高20%，那么每小时完成150个，求出工作总量，然后除以实际的工作效率，得到实际的时间。

【详解】
()
125120%
⨯+
125 1.2
=⨯
150
=（个）
1256150
⨯÷
750150
=÷
5
=（小时）
答：实际5小时可以完成。

【点睛】
本题考查的是工程问题，=÷
工作时间工作总量工作效率，随后也可以按照正反比例求解。

2．50千米
【详解】
5×2=10（千米）
设慢车行了x千米，则快车行了（x+10）千米，则有：
（x+10）：x=3：2
3x=（x+10）×2
3x=2x+20
x=20
20+10=30（千米）
20+30=50（千米）
答：甲、乙两站相距50千米
3．70人
【解析】
【分析】
参加的总人数为单位“1”。

开始时，栽树组占总人数的
3
34
+
，调动后，栽树组占总人数的
2
23
+
【详解】
2÷（
32
3423
-
++
）=70（人）
4．6厘米
【分析】
因为涂色部分甲比乙的面积大2
11.25cm，也就是（甲＋空白扇形）－（乙＋空白扇形）＝11.25cm2，即半圆面积－三角形面积＝11.25cm2，所以三角形面积＝半圆面积－11.25，通过圆形面积公式和三角形面积公式进而可计算出BC的长。

【详解】
根据分析，列式如下： [3.14×（10÷2）2÷2－11.25]×2÷10 ＝[39.25－11.25]×2÷10 ＝28×2÷10 ＝5.6（厘米）
答：BC 的长是5.6厘米。

【点睛】
本题考查与圆形和三角形相关的计算，找到半圆面积－三角形面积＝11.25cm 2是解答本题的关键。

5．（1）13.76（2）13.76。

【分析】
（1）图2的阴影部分面积是用正方形的面积减去4个小圆的面积。

（2）把图2的计算结果和图1的结果进行对比，会有所发现。

用正方形的面积减16个小圆的面积进行图3的阴影部分的面积的验证。

【详解】
（1）2
88(42)4S π=⨯-⨯÷⨯阴影
26424π=-⨯⨯
6416π=- 6450.24=-
＝13.76
（2）两个图形的阴影部分的面积相等，都是13.76。

图3的阴影面积
288(22)16S π=⨯-⨯÷⨯阴影
6416π=- 6450.24=-
＝13.76 【点睛】
本题是计算组合图形的面积，能知道用正方形的面积减去里面一个或多个圆的面积就是阴影部分的面积是解答本题的关键。

6．（1）50.24厘米 （2）B 【分析】
（1）当小圆从大圆上的点 A 出发，沿着大圆滚动，第一次回到点 A 时，小圆的圆心走过
路线的长度是半径为6＋2＝8厘米的圆一周的长度；
（2）小圆的半径是2cm ，大圆的半径是6cm，则小圆滚动3圈后才能回到A点，这个过程中M点与大圆接触3次；M第9次与大圆接触时，小圆又回到A点，小圆第10次与大圆
接触时，是走了大圆一周的1
3
，即12.56厘米，更接近于B点。

【详解】
（1）2×3.14×（2＋6）
＝2×3.14×8
＝50.24（厘米）
答：小圆的圆心走过路线的长度是50.24厘米。

（2）根据分析可得，当点M 第10次与大圆接触时，点M 更接近大圆上的点B。

【点睛】
本题考查圆的周长，解答本题的关键是分析圆的运动轨迹。

7．甲0.5万元；乙1.5万元
【详解】
甲工作的天数：
111
(141)()
121214
⨯-÷-=
11
630
÷=5（天）
乙工作的天数：1459
-=（天）
甲、乙工作量的比：
11
(5):(9)1:3 2012
⨯⨯=
甲获得的钱：
1
20.5
13
⨯=
+
（万元）
乙获得的钱：
3
2 1.5
13
⨯=
+
（万元)
8．桃树250棵，苹果树300棵，梨树200棵【分析】
将桃树棵数看作单位“1”，桃树的40%÷苹果树的1
3
＝苹果树占桃树的对应分率，确定50棵
的对应分率，用50棵÷对应分率＝桃树棵数；桃树棵数＋50＝苹果树棵数；根据梨树的棵数与苹果树的棵数之比是2∶3，确定梨树占苹果树的分率，用苹果棵数×梨树对应分率＝梨树棵数。

【详解】
桃树：
1 5040%1
3
⎛⎫
÷÷-
⎪
⎝⎭
() =50 1.21
÷-=500.2
÷
250
=（棵）
苹果树：250＋50＝300（棵）
梨树：
2
300=200
3
（棵）
答：桃树有250棵，苹果树有300棵，梨树有200棵。

【点睛】
部分数量÷对应分率＝整体数量，两数相除又叫两个数的比。

9．99人
【解析】
【详解】
45﹣36=9(人)
120%：1=6：5
9÷(6﹣5)×(6+5)
=9×11
=99(人)
答：乙车间共有工人99人．
10．（1）12.75元
（2）20%
【分析】
（1）用总价除以钢笔数量，求出每支钢笔售价，再用每支钢笔的售价除以它占原标价的百分率，求出每支钢笔标价；
（2）先算出每支钢笔的售价，再用售价比进价多的部分除以进价，求出超市是在进价基础上加价百分之几将这200支钢笔卖给光明小学的。

【详解】
（1）2040÷200÷80%
＝10.2÷80%
＝12.75（元）
答：每支钢笔的标价是12.75元。

（2）（2040÷200－8.5）÷8.5
＝1.7÷8.5
＝20%
答：超市是在进价基础上加价百分之二十将这200支钢笔卖给光明小学的。

【点睛】
本题考查百分数，解答本题的关键是理解按80%进行促销是指售价占标价的百分之八十。

11．350千米
【分析】
分析题干，根据这时已行路程与未行路程的比是3∶ 2，则未行路程占全程的
25，而全程的2
5
与全程的20%的和是210千米，可得到等量关系广州、韶关两地相距多少千米×（20%＋2
5
）＝210，据此列出方程解答即可。

【详解】
解：设广州到韶关两地相距x 千米。

220%2105x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
3
2105
x = 333210555
x ÷=÷ 350x =
答：广州到韶关两地相距350千米。

【点睛】
本题考查列方程解决问题、百分数、比的意义，解答本题的关键是根据题意找到等量关系：广州、韶关两地相距多少千米×（20%＋2
5
）＝210。

12．410度 【详解】
300×0.5＝150（元） 0.5×（1+10%）＝0.6（元） （500﹣300）×0.6 ＝200×0.6 ＝120（元） 150+120＝270（元） 270＞216 （216﹣150）÷0.6 ＝66÷0.6 ＝110（度） 300+110＝410（度）
答：这个月她家一共用电410度． 13．明明184页；媛媛140页 【详解】 92÷1
2=184（页）
（92+13）÷75%=140（页）
14．（1）
＝5＋4 ＝9； ＝6＋5 ＝11
（2）100；99；199 2020；2019；4039 【分析】
观察可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1，相邻两个数的平方的差等于这两个数的和，据此分析。

【详解】 （1）
2221213
-=+=
2232325
-=+= 2243437
-=+= 2254=5+4=9- 2265=6+5=11
- （2）根据上面的规律，完成下面的算式。

1002－992＝100＋99＝199
20202－20192＝2020＋2019＝4039 【点睛】
数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

15．12张 【分析】
第一张桌子可以坐6人； 拼2张桌子可以坐6＋4×1＝10人； 拼3张桌子可以坐6＋4×2＝14人；
故n 张桌子拼在一起可以坐6＋4（n －1）＝4n ＋2． 【详解】
解：设第n 张桌子可以坐50人． 4n ＋2＝50 n ＝12
答：像这样12张桌子拼起来可以坐50人．
16．()112140%140%4
⎛
⎫÷-⨯-- ⎪⎝
⎭
【分析】
根据题意可得，12米占这根电线总长度的()140%-，据此求出这根电线总长度。

因为第二次截取的长度占这根电线长度的1140%4⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，最后求出第二次截取的长度即可。

【详解】
()112140%140%4⎛
⎫÷-⨯-- ⎪⎝
⎭
＝20×0.35 ＝7.5（米）
答：需再截去7.5米，这时正好剩下这根电线全长的四分之一。

【点睛】
本题考查百分数，解答本题的关键是找准单位“1”。

17．
600
11
千米 【详解】 （1+1）÷（115060
+）， =2÷11
300
， =
600
11
（千米）；
答：汽车往返两地平均每小时行600
11
千米．
18．975千米【分析】
根据题意，甲、乙两车5小时行完全程，则两车每小时共行全程的1
5。

相遇后两车又行驶了
3小时，行驶了全程的3
5。

把全程看作单位“1”，则两车剩下的路程共占全程的（1－
3
5
），用
两车剩下的路程之和除以（1－3
5
）即可求出全程。

【详解】
1 5×3＝
3
5
（230＋160）÷（1－3
5
）
＝390÷2 5
＝975（千米）
答：A、B两地的距离是975千米。

【点睛】
已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。

明确“两车每小时共行全程的1
5
”和
“两车剩下的路程共占全程的（1－3
5
）”是解题的关键。

19．（1）见详解；（2）200箱【分析】
（1）把甲仓库的苹果箱数看作单位“1”，甲仓库减去甲仓库的2
9
等于乙仓库加甲仓库的
2
9
，
据此画图。

（2）由图可知，乙仓库是甲仓库的（1－2
9
－
2
9
），已知两个仓库的苹果总箱数，除以两个
仓库的分率之和，求出单位“1”甲仓库的苹果箱数，进而求出乙仓库的苹果箱数。

【详解】
（1）画图如下：
（2）560÷（1－2
9
－
2
9
＋1）
＝560÷14 9
＝360（箱）
360×（1－2
9－
2
9
）
＝360×5 9
＝200（箱）
答：乙仓库原来有苹果200箱。

【点睛】
此题考查了分数除法的应用，找准单位“1”，进而表示出另一个量所占单位“1”的分率是解题关键。

20．150页
【分析】
第一天读了这本书的1
6
，第二天读了这本书的
1
5
，都是以这本书为单位“1”，那么还剩下这
本书的19
30
，量率对应求单位“1”。

【详解】
1119
1
6530
--=
19
95150
30
÷=（页）
答：这本故事书共有150页。

【点睛】
本题考查的是分数除法应用题，在用量率对应求单位“1”时，量和分率一定要相互对应。

21．60人
【分析】
将全班人数看作单位“1”，男生人数＋2刚好是全班人数的1－3
5
，用男生人数÷对应分率即
可。

【详解】
（22＋2）÷（1－3
5
）
＝24÷2 5
＝60（人）
答：全班有60人。

【点睛】
关键是确定单位“1”，找到部分数量以及对应分率。

22．10天
【分析】
我们通常把工作总量“一项工程”看成单位“1”．工作效率=工作量÷工作时间=1÷工作时间，即
工作时间的倒数．设这项工程为单位“1”，则甲乙合作的工作效率是
1
12
，乙丙合作的工作效
率为
1
15
，甲丙合作的工作效率为
1
20
．因此甲乙丙三队合作的工作效率的两倍为
1
12
＋
1
15
＋
1 20，所以甲乙丙三队合作的工作效率为（
1
12
＋
1
15
＋
1
20
）÷2＝
1
10
．因此三队合作完成这
项工程的时间为1÷
1
10
＝10（天）．
【详解】
1÷[（
1
12
＋
1
15
＋
1
20
）÷2]
＝1÷[1
5
÷2]
＝1÷
1 10
＝10（天）
答：甲乙丙三队合作需10天完成．
23．千米
【详解】
①如果两车未相遇，则甲乙两站之间的距离是：
（210+270）÷（1﹣1
9
）
=480
8
9÷，
=540（千米）．
超过500千米，不合题意；
②如果两车相遇过，则甲乙两站之间的距离是：
（210+270）÷（1+ 1
9
）
=480
10
9÷，
=432（千米）．
不超过500 千米，满足题意；
答：甲乙两站之间的距离是432千米．24．（1）35千米;(2) 300千米
【详解】
（1）40×7
8
=35（千米）
答：乙车每小时行35千米．
（2）甲到A时，乙行驶路程占全程为：
(35×
8
15
)÷[40×(1+25%)]=
28
75
所以全程为：
(4
5
×35)÷(
7
15
-
28
75
)
=300(米) 25．180千克【详解】
36÷（1-1
2
-
1
2
×
3
5
)=180(千克）
26．3小时，5小时
【分析】
把一个仓库的货物量看作单位“1”，甲乙丙搬完两个仓库也就是完成了2个单位量，设他们搬完货物花了x小时，根据“工作效率×工作时间＝工作量”列方程即可解答。

【详解】
解：设他们搬完两个仓库货物花了x小时。

（
1
10
＋
1
12
＋
1
15
）×x＝2
1
4
x＝2 x＝8
（1－
1
10
×8）÷
1
15
＝1
5
÷
1
15
＝3（小时）
8－3＝5（小时）
答：丙帮助甲搬运了3小时，帮乙搬运了5小时。

【点睛】
把一个仓库的货物量看作单位“1”，甲乙丙搬完两个仓库也就是完成了2个单位量，这是解答本题的关键。

27．216m
【详解】
11 451216
54m
⨯+÷=
（）（）
答：这条公路全长216米．
28．28分
【分析】
长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，且另一个顶点恰好在该长方形的对边上。

所以只要讨论三人中有两个人在长方形的顶点上的情况，因为长方形的长AD与宽AB的比为5∶3，所以将长方形的长5等份，宽3等份，将其周长分为16段，又因为甲、乙、丙三人的速度比为4∶3∶5，所以他们所行的路程比也是4∶3∶5，设甲走4段用1个单位时间，那么一个单位时间内乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间内甲、乙、丙三人最多有一人走了整数段，所以只考虑整数单位时间。

然后对到达顶点的情况一一列举即可，得到满足条件的单位时间点，再根据第一次构成长方形中最大的三角形的时间是12分钟，从而求出一个单位时间相当于多少分钟，根据列表知道第二次构成最大三角形需要几个时间单位，求出再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形，据此解答。

【详解】
根据分析将长方形的长为5等份，宽为3等份，那么长方形的周长为16段，设甲走4段用1个单位时间，那么一个单位时间内乙、丙分别走3段、5段，根据分析又知道只有整数单位时间才符合题意，所以只考虑整数单位时间，所以三人到达顶点的情况列表如下：
通过列表可知2个单位时间时，甲和丙重合，不满足条件，3个单位时间时，甲在AD上，三人第一次构成最大的三角形，所以一个单位时间为12÷3＝4（分）；
10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A点上，第二次构成最大的三角形，
4×10－12
＝40－12
＝28（分）
答：再过28分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形。

【点睛】
此题考查的是行程问题，解题的关键是理解长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半。

29．12名
【分析】
原来108名同学看作单位”1”，根据乘法求出原来男生的人数，再把后来一共的同学看作单
位“1“，则原来男生人数占现在人数的
3
(1)
10
-，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数
用除法，求出现在的学生数，再进一步得出结论。

【详解】
原来男生人数：
2
108(1)
9
⨯-
7
108
9
=⨯
84
=（名）
后来学生总数：
3
84(1)
10
÷-
7
84
10
=÷
120
=（名）
12010812
-=（名）
答：后来又来了12名女生。

【点评】
明确这一过程中男生人数没有变，根据前后男生占总人数的分率列出等量关系式是完成本题的关键。

30．440千米
【分析】
已知甲车每小时行50千米，乙车每小时比甲车多行20%，则乙车的速度是50×（1＋20%）＝60（千米/时），两车在离中点20千米处相遇，由此可知，乙车比甲车多行了20×2＝40（千米），用乙车行驶的路程－甲车行驶的路程＝40，据此列方程、解方程即可。

【详解】
解：设甲、乙两车行驶了x小时。

50×（1＋20%）x－50x＝20×2
60x－50x＝40
10x＝40
x＝4
（50＋60）×4
＝110×4
＝440（千米）
答：A、B两地间的路程是440千米。

【点睛】
本题考查相遇问题，明确等量关系是解题的关键。

31．68平方厘米
【分析】
涂色部分的面积，相当于是圆面积的3
4
，三角形的底和高恰好都是半径，三角形面积是半径
的平方除以2，可以求出半径的平方，进而求得圆的面积。

【详解】
半径的平方：8216
⨯=（平方厘米）
圆的面积：16 3.1450.24
⨯=（平方厘米）
涂色部分的面积：
3
50.2437.68
4
⨯=（平方厘米）
答：涂色部分的面积是37.68平方厘米。

【点睛】
本题用到了整体思想，求出半径的平方即可求圆的面积，无需计算半径。

32．（1）第几幅图加1的和乘2是它的周长
（2）
（3）图20是第20幅图，所以周长是（20＋1）× 2＝42（厘米）．
【详解】
略
33．（1）8，15，22
（2）①（7n+1）根，7001根
②9个
【详解】
根据图示，发现这组图形的规律：摆1个八边形，需要小棒根数：8根；摆2个八边形，需要小棒根数：8+7＝15（根）；摆3个八边形，需要小棒根数：8+7+7＝22（根）；……摆n个八边形，需要小棒根数：8+7（n﹣1）＝（7n+1）根．据此解答．
（1）根据分析可知：摆1个八边形，需要小棒根数：8根；摆2个八边形，需要小棒根数：8+7＝15（根）；摆3个八边形，需要小棒根数：8+7+7＝22（根）．
（2）①摆n个八边形，需要小棒根数：8+7（n﹣1）＝（7n+1）根；当n＝1000时，小棒根数为：7×1000+1＝7001（根）．
②7n+1＝64，解得：n＝9．
【点睛】
本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现这组数据的规律，并运用规律做题．34．①13；②34个；我是这样想的：竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34（个）。

【分析】
①第（1）个点阵有1个点，第（2）点阵有4个点，第（3）个点阵有7个点，第（4）个点阵有10个点，从第（2）开始，每一个点阵比前一个多3个点，则第（5）有10＋3＝13个点。

②竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34 （个）
【详解】
①方框内的点阵包含了13个点。

②12＋11＋11＝34 （个）；我是这样想的：竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34 （个）。

【点睛】
本题主要考查学生的观察和分析问题的能力。

35．10%
【分析】
因为没有直接给出甲、乙、丙商品的价格，所以可假设丙商品价格为1，则乙商品可表示为1×（1－25%）；甲商品可表示为1×（1－25%）×（1＋20%），待求出甲商品的相对价格，再运用（大－小）÷大这个公式，可求出甲商品比丙商品便宜了百分之几。

【详解】。