2019年高考文科数学一轮单元卷：第十八单元圆锥曲线A卷(含答案)

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）
第十八单元 圆锥曲线
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．双曲线2
2=13
x y -的焦点坐标是（ ）
A ．()2,0-，
(
)
2,0
B ．()2,0-，()2,0
C ．(0)2，2)
D ．
()02-，，()0,2
2．若双曲线2
2(0)5
y x m m -=>的焦距等于离心率，则m =（ ）
A ．120
B ．110
C ．15
D ．14
3．若双曲线()22
2109
y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．18
D ．36
4．设椭圆2
2:14
x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，则AF BF
+的值是（ ） A ．2
B ．23
C ．4
D ．43
5．设1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 为椭圆上的点，且128F F =，1210PF PF +=，则椭圆的短轴长为（ ） A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
6．双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．20x y ±=
B ．20x y ±=
C 0y ±=
D ．0x ±=
7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若5PF =，则PFK △的面积为（ ） A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
8．已知双曲线2222:1-=x y C 的离心率为5
3
，其左焦点为()15,0F -，则双曲线C 的方程为（ ）
A C ．22
1169x y -=
D ．22
1916
x y -=
9的一条渐近线方程为20x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、
右焦点，点P 在双曲线C 上，且15PF =，则2PF =（ ） A ．1
B ．3
C ．1或9
D ．3或7
10．双曲线22
221(00x y E a b a b
-=>>：，）5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，
若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ）
A B ．22C ．1
D ．2
11．如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2
p
x =-
上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π 12．已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ） A ．()4,0
B ．()3,2
C ．()0,4-
D ．()4,1
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．抛物线22y x 的焦点到准线的距离为__________．
14．已知F 为双曲线220()3C x my m m ：－＝＞的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为______．
15．设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点与抛物线216y x =6方程为__________．
16．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为
4
π
的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，4AB =，则该抛物线的方程为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设命题p ：对任意实数x ，不等式2
20x x m -+≥恒成立；命题q :表示焦点在x 轴上的双曲线．
（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数t 的取值范围．
18．（12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，过点2F 作
直线交椭圆C 于M 、N 两点，1F MN △的周长为42． （1）求椭圆C 的方程； （2）若1234
F F M π
∠=，求弦长MN ．
19．（12分）已知点()1,P m 在抛物线()2
:20C y px p =>上，F 为焦点，且3PF =．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点()4,0T 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OA OB ⋅的值．
20．（12分）抛物线22(0)y px p =>上的点P 到点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的距离与到直线0x =的距离之差为1，过
点(),0M p 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线的方程；
（2）若ABO △的面积为43，求直线l 的方程．
21．（12分）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为
4
π
的直线与抛物线相交于A ，B 两点．
（1）用p 表示AB ；
（2）若3OA OB ⋅=-求这个抛物线的方程．
22．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()20，，右顶点为（O 为原点）
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线1l ：2=+y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且2⋅>OA OB ，求k 的取值范围．
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）
第十八单元 圆锥曲线
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B
【解析】因为双曲线方程为2
213
x y -=，所以焦点坐标可设为(),0c ±，
因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为()2,0±，选B ． 2．【答案】A
【解析】双曲线2
205
y x m m -=（＞）的焦距等于离心率．可得：55+=m m e m ，
即155m
e m m m =+
+120
m =．故选A ． 3．【答案】C
【解析】由双曲线的方程22
219
y x a -=，可得一条渐近线的方程为3a y x =-，
所以1
133
a -⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选C ．
4．【答案】C
【解析】设椭圆的右焦点为2F 连接2AF ，2BF ，
因为OA OB =，2 OF OF =，所以四边形2AFBF 是平行四边形． 所以2BF AF =，所以224AF BF AF AF a +=+==，故选C ． 5．【答案】A
【解析】由题意，椭圆满足1210PF PF +=，128F F =， 由椭圆的定义可得210a =，28c =，解得5a =，4c =，
又22222549b a c =-=-=，解得3b =，所以椭圆的短轴为26b =，故选A ． 6．【答案】C
【解析】由题意得222
2212
c a b b e a a a +==+，∴3b a = 又双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =±，
∴双曲线的渐近线方程是3y x =30x y ±=，故选C ． 7．【答案】A
【解析】由抛物线的方程24y x =，可得()1,0F ，()1,0K -，准线方程为1x =-， 设()00,P x y ，则015PF x =+=，即04x =，不妨设()00,P x y 在第一象限，则()4,4P ，
所以011
24422
PKF S FK y =⨯=⨯⨯=△，故选A ．
8．【答案】D
【解析】∵双曲线2222:1x y C a b -=的离心率为5
3
，其左焦点为()15,0F -，
∴5c =，
53
c a =，∴3a =，∵222c a b =+，∴2
16b =， ∴双曲线C 的标准方程为22
1916
x y -=，故选D ．
9．【答案】C
【解析】由双曲线的方程，渐近线方程可得
11
22
a a =⇒=， 因为222415c a
b =+=+=，所以5
c =，所以521c a -=-<，
或9，故选C ．
10．【答案】D
【解析】因为FM b =，OF c =，所以OM a =，故
12
ab
=，即2ab =， 由5c a =，所以22
2
5a b a
+=，即2b a =，故1a =，2b =，双曲线的实轴长为2．故选D ． 11．【答案】C
【解析】由抛物线定义可知：1F AA A =，1BB BF =，设1BB t =， ∵113AA BB =，∴4AB t =，作1BH AA ⊥交1AA 于H ，则2AH t = 在Rt ABH △中，cos 3HAB π∠=，∴直线AB 的倾斜角为3
π
，故选C ． 12．【答案】C
【解析】设A ，B 的坐标为()11x y ，，()22x y ，，2
8
x y =，4x y '=，
PA ，PB 的方程为()1114x y y x x -=-，()2224
x
y y x x -=-
由22118x y =，2
2
228
x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-
切线PA ，PB 都过点(),4P b ，(),4P b ，2244x
b y =⨯-，
故可知过A ，B 两点的直线方程为44
b
x y =-，
当0x =时，4y =，直线AB 恒过定点()04-，
，故选C ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．2
【解析】根据题意，抛物线22y x =的标准方程为22
x y =， 其焦点坐标为
2（，准线方程为2
y = 22
． 14．3【解析】双曲线2
2
30C x my m m =>：﹣（）可化为
22
133
x y m -=，
∴一个焦点为
)
，一条渐近线方程为0x =，
∴点F 到C
15．【答案】
22
1248
x y += 【解析】由题意知抛物线216y x =的焦点为4,0（），∴4c =，∵46
c e a a =
==26a = ∴2
2
2
8b a c =-=，∴椭圆的方程为
221248x y +=．故答案为22
1248
x y +=． 16．【答案】22y x =
【解析】直线AB 方程为2p y x =-，代入抛物线方程并整理得22
304
p x px -+
=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x p +=，又12AB x x p =++，∴34p p +=，1p =， ∴抛物线方程为22y x =，故答案为22y x =．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）1m ≥；（2）(]0,1．
【解析】（1）∵不等式220x x m -+≥恒成立，∴440m ∆=-≤，1m ≥， ∴当1m ≥时，p 为真命题．
（2）因为方程22
1x y m t m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线．∴0 0->>⎧⎨
⎩
m t m ，得>m t ； ∴当m t >时，q 为真命题．∵p 是q 的充分条件，∴{}{}1m m m m t ≥⊆≥，∴1t ≤ 综上，t 的取值范围是(]0,1．
18．【答案】（1）2
212
x y +=；
（242． 【解析】（1）因为焦距为2，所以22c =，即1c =．
又因为1F MN △的周长为42，结合椭圆定义可得442a =，所以2a =． ，于是椭圆C 的方程（2，所以直线MN 的斜率，所以直线MN 的方程为1y x =-，
y 可得2
340x x -=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则，210x x =，
19．【答案】（1）28y x =；（2）16-．
【解析】（1）抛物线()2
:20C y px p =>，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由132
p PF =+=得4p =．
∴抛物线C 得方程为28y x =．
（2）依题意，可设过点()4,0T 的直线l 的方程为4x ty =+，
由28 4
y x
x ty =+⎧⎨
⎩=得28320y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232y y =-， ∴22
2212111688
x x y y =
⨯=，∴121216OA OB x x y y ⋅=+=-． 20．【答案】（1）24y x =；（2）2=-y x 或2=--y x ． 【解析】（1）设()00,P x y ，由定义知02
p PF x =+，所以，0012p x x ⎛
⎫+-= ⎪⎝⎭，所以2p =，
所以，抛物线方程为24y x =；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）知()2,0M ；若直线l 的斜率不存在，则方程为2x =，此时42AB =ABO △的面积为42l 的斜率存在；
设直线l 的方程为()2y k x =-，带入抛物线方程得：()2222
4140k x k x k -++=
()2
2
2
161160k k ∆=+->，所以，12244x x k +=+，124x x =，所以22
2
4211k AB k k
+=+， 点O 到直线l 的距离为221=+k
d k 2
2222142114321++=+k k k k k
1=±k ． 所以，直线l 的方程为2=-y x 或2=--y x ． 21．【答案】（1）4=AB p ；（2）24=y x ．
【解析】（1，过点F 且倾斜角为
设()11,A x y ，()22,B x y 得22
304p x px -+
=， ∴213+=x x p ，2
124
=p x x ，∴124=++=AB x x p p
（2）由（1）知，123+=x x p ，2
124
=p x x
∴⋅=OA OB x x ，解得24=p ，∴2=p
∴这个抛物线的方程为24=y x ．
22．【答案】（1）2213-=x y ；（2）331133，，⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
．
由2⋅>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，
11
故k 的取值范围为313，⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭。