【全国校级联考】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校(K12联盟)2018届高三上学期期末联

K12联盟2018届高三年级第一学期期末检测联考
数学（理科试题）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，故选C.
点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.
2. （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原式......................
3. 已知复数（，）满足，则的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】复数（，），，它的几何意义是以为圆心，1为半径的圆以及内部部分．满足的图象如图中圆内阴影部分所示：
则概率
故选B.
4. 在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含有项的系数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】第五项的二项式系数最大，则，通项为，令，故系数是
.
5. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）
A. 9
B. 12
C. 18
D. 24
【答案】B
【解析】∵，不等式恒成立
∴
∵
当且仅当a=3b时取等号，
∴的最大值为12
故选：B
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
6. 函数在上单调递增，则的取值不可能为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴令，即
∵在上单调递增
∴且
∴
故选D.
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若，其前项和为.研究程序框图可知，当
时，还要循环一次，，，判断是，退出程序，输出
【点睛】本题主要考查算法与程序框图.程序框图问题的解法：(1)解答程序框图的相关问题，首先要认清程序框图中每个“框”的含义，然后按程序框图运行的箭头一步一步向前“走”，搞清每走一步产生的结论．(2)要特别注意在哪一步结束循环，解答循环结构的程序框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．
8. 已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A. 34
B. 22
C. 12
D. 30
【答案】B
【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示：
其中，正方体是棱长为，，，
∴
∴
故选B.
9. 已知双曲线：（，）的焦点为，，抛物线：的准线与交于、两点，且与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线为，其焦点为，准线为，代入方程解得.由于与构成等边三角形，则，即，分子分母同时除以得，解得.由于，故椭圆焦点在轴
上，且离心率为.
10. 本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（）
A. 330种
B. 420种
C. 510种
D. 600种
【答案】A
【解析】种类有（1）甲，乙，丙，方法数有；（2）甲，乙，丙；或甲，乙，丙；或甲，
乙，丙——方法数有；（3）甲，乙，丙；或甲，乙，丙；或甲，乙，丙——方法数有.故总的方法数有种.
【点睛】解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．11. 圆：，点为直线上的一个动点，过点向圆作切线，切点分别为、，则直线过定点（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设，画出图象如下图所示，根据直角三角形射影定理可知，即直线方程为，四个选项中，只有选项符合，故选.
12. 已知函数若存在，，且，使，则实数的取值范围为（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】当时，，，故符合题意，排除选项，当时，
画出图象如下图所示，由图可知此时符合题意，排除选项，故选.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 在中，内角、、所对的边分别是、、，若，则的大小为__________．
【答案】
【解析】∵
∴根据正弦定理可得
∵
∴，即
∵
∴
故答案为.
14. 已知向量，向量在向量方向上的投影为，且，则__________．
【答案】
【解析】设向量与间的夹角为.
∵
∴
∵
∴
∵向量在向量方向上的投影为
∴，即
∴
∴
故答案为.
15. 如图1，在矩形中，，，是的中点；如图2，将沿折起，使折后平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】取的中点为，连接，，延长到使，连接，，，则∥，所以为异面直线和所成角或它的补角.
∵
∴，且
在中，根据余弦定理得.
∴
同理可得，
又∵平面平面，平面平面，平面
∴平面
∵平面
∴
∴，即
同理可得，
又∵
∴在中，
∵两直线的夹角的取值范围为
∴异面直线和所成角的余弦值为
故答案为.
点睛：对于异面直线所成的角，一般是通过平移的方法形成异面直线所成的角（或其补角），再根据其所在三角形的边角关系，计算其大小，要注意异面直线所成的角是锐角或直角，若计算出是钝角时，其补角才是异面直线所成的角.
16. 若函数，若对任意不同的实数、、，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】要使对任意的，成立，也即是最小值的两倍要大于它的最大
值.，当，即时，，由基本不等式得，根据上面的分析，则有，解得，即；当，即时，，有基本不等式得，根据上面的分析，则有，解得，即.综上所述.
【点睛】本题主要考查函数的最大值和最小值，考查对于新概念或定义的理解.解题的突破口在于“对任意不同的实数、、，不等式恒成立”既然是恒成立，也就是左边相加要比右面的最大值还要大，合起来就是要最小值的两倍，比最大值还要大.根据这个分析利用分类讨论，结合基本不等式来求.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列满足，且．
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）令，，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用分离常数法，将已知化简得，由此求得的通项公式，进而求得的通项公式.（2）由（1）化简利用分组求和法求得的值.
试题解析：（1），且，
∴，即，∴，
数列是等差数列，∴，
∴，∴．
（2）由（1）知，∴，
∴，
．
18. 在如图所示的几何体中，，，平面，在平行四边形中，，，
．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】【试题分析】（1）连接交于，取中点，连接，，利用中位线证明，四边形为平行四边形，从而，由此证得平面.（2）以为原点，，，的方向为
轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来求二面角的余弦值. 【试题解析】
（1）证明：连接交于，取中点，连接，，
因为，，又，
所以，，从而，平面，平面，
所以平面．
（2）在平行四边形中，由于，，，则，又平面，则以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，
，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则由
令，得，，所以，
，设平面的一个法向量为，
则由即
令，得，，所以，
，所以，
所以所求二面角的余弦值为．
19. 某市县乡教师流失现象非常严重，为了县乡孩子们能接受良好教育，某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要1万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要3万元，已知现在该市县乡中学无多余教师，为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市50所县乡中学在过去三年内的教师流失数，得到如表的频率分布表：
以这50所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师数发生的概率，记表示两所县乡中学在过去三年共流失的教师数，表示今年为两所县乡中学招聘的教师数．为保障县乡孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘．
（1）求的分布列；
（2）若要求，确定的最小值；
（3）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【答案】（1）见解析（2）15（3）
【解析】【试题分析】（1）先由频率及计算出概率，两所学校流失教师数可能取值为，利用相互独立事件的概率计算公式计算出分布列.（2）由（1）易求得的最小值为15.（3）分别计算出
时，招聘教师所需费用的期望值，通过对比期望值确定选较为合适.
【试题解析】
解：（1）由频数分布表中教师流失频率代替教师流失概率可得，一所县乡中学在三年内流失的教师数为6,7,8,9的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2．
所有可能的取值为：12,13,14,15,16,17,18，
且，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
（2）由（1）知，，
故的最小值为15．
（3）记表示两所县乡中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）．
当时，的分布列为：
；
当时，的分布列为：
．
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．
20. 已知直线：与圆相交的弦长等于椭圆：（）的焦距长．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为原点，椭圆与抛物线（）交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、
与轴分别交于、两点，求证：为定值．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）利用圆心到直线的距离计算出直线与圆相交的弦长，得到.利用
求得，得到椭圆方程.（2）设出三个点的坐标，利用点斜式写出直线的方程，令求得
两点的坐标，代入并利用两点在椭圆上进行化简.
【试题解析】
解：（1）由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，
直线与圆相交的弦长为，则，，
又∵，∴，
∴椭圆的方程．
（2）证明：由条件可知，，两点关于轴对称，设，，则，
由题可知，，，所以，．
又直线的方程为，令得点的横坐标，
同理可得点的横坐标，
所以
，
即为定值．
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆相交所得弦长求法，考查点斜式方程和点与圆锥曲线的位置关系.由于题目涉及直线和圆相交所得弦长，故先利用点到直线距离公式，利用直角三角形求得弦长即.由于两点是由直线交轴而得，故利用点斜式写出直线方程，然后令求出坐标.
21. 已知函数有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）设，（）是的两个零点，证明：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，然后对分成两类，结合函数两个零点，研究函数的单调区间，由此求得的取值范围.（2）将要证明的不等式，利用函数，等价转化为证明，构造函数令，利用导数求得由此证得不等式成立.
【试题解析】
解：（1）∵，．
（2）当时，在上恒成立，∴在上单调递增，显然不符合题意．
（3）当时，由，得，
当→，→时都有→，
当，即时有两个零点．
（2）要证，即证，
由已知，，
即证，
即证，即证，即证，
又∵，且在单调递增，
故只需证，即证，
令且，
∵，
∴在单调递减，∴，
∴在上恒成立，
∴，故原命题得证．
【点睛】本小题主要考查利用导数求单调区间讨论函数的零点问题，考查利用导数证明不等式的问题.导数的主要作用在于利用导数研究函数的图象与性质，主要是单调性，求导后，导函数一般为二次函数、一次函数，或者类似一次、二次函数的形式.如本题中，就是一种类似一次函数的导函数.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于、两点，且点的坐标为，求的值．
【答案】（1），（2）9
【解析】试题分析：（1）对直线的参数方程消参即可得直线的普通方程，根据即可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线方程转化为标准形式的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，结合韦达定理即可求出的值．
试题解析：（1）：，：，
即，所以的普通方程是．
（2）将直线方程转化为标准形式的参数方程：（为参数），
代入中得：，.
设，对应的参数分别为，，则，则．
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）3（2）
【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式的性质可得的最大值；（2），恒成立，等价于，即，对进行分类讨论，去绝对值，即可解得实数的取值范围.
试题解析：（1），
所以的最大值是3．
（2），恒成立，等价于，即．
当时，等价于，解得；
当时，等价于，化简得，无解；
当时，等价于，解得．
综上，实数的取值范围为．
点睛：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用.其中灵活应用分类讨论的思想是解题的关键.。