高考数学一轮复习课时分层训练39平行关系文北师大版

课时分层训练(三十九) 平行关系
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2018·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
【导学号：00090250】A．m∥α，n∥α，则m∥n
B．m∥n，m∥α，则n∥α
C．m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C[对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；
对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或nα，故B不正确；
对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；
对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．] 2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
图7­4­6
A．①③B．②③
C．①④D．②④
C[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]
3．(2017·山东济南模拟)如图7­4­7所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC 交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
图7­4­7
A ．异面
B ．平行
C ．相交
D ．以上均有可能
B [在三棱柱AB
C ­A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1. ∵AB 平面ABC ，A 1B 1平面ABC ，
∴A 1B 1∥平面ABC ．
∵过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ， ∴DE ∥A 1B 1，∴DE ∥AB ．]
4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ．若m ⊥α，n α，则m ⊥n
C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α
B [若m ∥α，n ∥α，则m ，n 平行、相交或异面，A 错；若m ⊥α，n
α，则m ⊥n ，
因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n α，D
错．]
5．给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题：
①若l 与m 为异面直线，l α，m β，则α∥β； ②若α∥β，l α，m β，则l ∥m ；
③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中，l 与m 也可能异
面；③中，⎩⎪⎨⎪
⎧
l ∥γ，l α，
α∩γ＝n
⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．]
二、填空题
6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件：
①a α，b β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥B ．
其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)． ②④ [在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交． 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．
在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，从而α∥β，④满足．]
7．如图7­4­8所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若
EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
图7­4­8
2 [在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.
又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝1
2
AC ＝ 2.]
8．(2016·衡水模拟)如图7­4­9，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．
图7­4­9
平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．
由于N 为△BCD 的重心，
所以B ，N ，E 三点共线，
且EM MA ＝EN NB ＝1
2
，所以MN ∥AB ． 于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC ．]
三、解答题
9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7­4­10所示．
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.
【导学号：00090251】
图7­4­10
[解](1)点F，G，H的位置如图所示. 5分
(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：
因为ABCD­EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC＝FG. 7分
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH. 9分
又CH平面ACH，BE平面ACH，
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH. 12分
10．(2018·雅安模拟)如图7­4­11所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2.
(1)求证：AC∥平面BEF；
(2)求四面体BDEF的体积．
图7­4­11
[解] (1)证明：设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连接FG ，OG ， 所以，OG ∥DE ，且OG ＝1
2DE .
因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ， 所以AF ∥OG ，且OG ＝AF ，
从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥OA ． 3分
因为FG 平面BEF ，AO
平面BEF ，
所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .
6分
(2)因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，
所以AB ⊥平面ADEF .因为AF ∥DE ，∠ADE ＝90°，DE ＝DA ＝2AF ＝2 所以△DEF 的面积为S △DEF ＝1
2×ED ×AD ＝2，
9分 所以四面体BDEF 的体积V ＝13·S △DEF ×AB ＝4
3
.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1. 在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )
图7­4­12
A ．AC ⊥BD
B ．A
C ∥截面PQMN C ．AC ＝BD
D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° C [因为截面PQMN 是正方形， 所以MN ∥PQ ，则MN ∥平面ABC ， 由线面平行的性质知MN ∥AC ， 则AC ∥截面PQMN ，
同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ， 则AC ⊥BD ，故A ，B 正确．
又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确．]
2．(2018·安庆模拟)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1、BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝2
3BD 1.则以下四个说法：
(1)MN ∥平面APC ； (2)C 1Q ∥平面APC ； (3)A 、P 、M 三点共线； (4)平面MNQ ∥平面APC ．
其中说法正确的是________．(填序号)
【导学号：00090252】
(2)(3) [(1)连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM 、CN ， 易得AM 、CN 交于点P ，即MN
平面PAC ，所以MN ∥平面APC 是错误的；
(2)由(1)知M 、N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ， 所以C 1Q ∥平面APC 是正确的；
(3)由(1)知A ，P ，M 三点共线是正确的； (4)由(1)知MN 平面PAC ，
又MN 平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的．
]
3．(2018·湘潭模拟)如图7­4­13，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，
PD ⊥底面ABCD ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点．
(1)证明：PA ∥平面BMQ ；
(2)已知PD ＝DC ＝AD ＝2，求点P 到平面BMQ 的距离．
图7­4­13
[解] (1)证明：连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为∠ADC ＝90°，Q 为AD 的中点，所以
N 为AC 的中点．
当M 为PC 的中点，即PM ＝MC 时，MN 为△PAC 的中位线，
故MN ∥PA ，又MN 平面BMQ ，所以PA ∥平面BMQ .
(2)由(1)可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P ­BMQ ＝V A ­BMQ ＝V M ­ABQ ，
取CD 的中点K ，连结MK ，所以MK ∥PD ，MK ＝1
2PD ＝1，
又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD ．
又BC ＝12AD ＝1，PD ＝CD ＝2，所以AQ ＝1，BQ ＝2，MN ＝1
2PA ＝2，
所以V P ­BMQ ＝V A ­BMQ ＝V M ­ABQ ＝13·12·AQ ·BQ ·MK ＝1
3
S △BQM ＝1
2
·BQ ·MN ＝2，
则点P 到平面BMQ 的距离d ＝3V P ­BMQ S △BMQ ＝2
2
.。