精品解析：广东省汕头市达濠华侨中学东厦中学2021届高三上学期第三次联考数学(理)试题(解析版)

度第一学期高三级第三次联考试卷
理科数学
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）
1. 已知集合则
A. [－1，4)
B. [0，5)
C. [1，4]
D. [－4，－1) [4，5) 【答案】B
【解析】
由题意得，故.
选B．
2. 已知为虚数单位，则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用复数模的运算化简复数的分子，再利用复数除法运算来化简，最后取的共轭复数得到结果. 【详解】，所以，故选C.
【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数除法的运算以及共轭复数的概念，属于基础题.
3. 已知向量，且，则m=( )
A. −8
B. −6
C. 6
D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
4. 已知函数，则
A. 是奇函数，且在R上是增函数
B. 是偶函数，且在R上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数
D. 是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
分析：讨论函数性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且
即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
5. 设实数满足则的最小值为（）
A. －5
B. －4
C. －3
D. －1
【答案】A
【解析】
【分析】
画出线性区域，平移直线，由此求得的最小值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为.
【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值的问题.画出可行域后，平移直线到可行域边界的位置，由此求得最大值或者最小值.属于基础题.
6. 广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）
广告费 2 3 4 5 6
销售额29 41 50 59 71
由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为（）
A. 118.2万元
B. 111.2万元
C. 108.8万元
D. 101.2万元
【答案】B
【解析】
分析：平均数公式可求出与的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出，再将代入回归方程得出结论.
详解：由表格中数据可得，，
，解得，
回归方程为，
当时，，
即预测广告费为10万元时销售额约为，故选B.
点睛：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题.回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
7. 给出下列命题，其中错误命题的个数为( )
（1）直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；
（2）直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线、不垂直，则过的任何平面与都不垂直；
（4）若直线和共面，直线和共面，则和共面
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
分别利用空间点线面位置关系的公理和定理，对四个命题逐一判断其是否为错误命题，由此得出正确的选项.
【详解】对于（1）,若直线在平面内，这时直线和平面不平行，但是平面内有直线和是平行的，故（1）错误.对于（2）, 若直线在平面内，这时直线和平面不垂直，但是平面内有直线和是垂直的，故（2）错误.对于（3），根据线面垂直的定义可知，（3）是正确的.对于（4），有可能是异面直线，故（4）错误.终上所述，有个命题是错误命题，故选C.
【点睛】本小题考查空间点线面的位置关系.主要解题的思路是对每个命题，举出反例，由此判断命题是否正确.属于基础题.
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；不满足进行循环的条件，故输出结果为4，故选C.
9. 已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数
的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称
D. 关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知求出，再令,即得函数图象的对称中心，令，即得函数图象的对称轴方程.
【详解】因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以函数的周期为，
，，
将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数图象，
图象关于轴对称，
，即，
又，，
令，
解得，
时，，所以的图象关于点对称.
令，
所以函数对称轴方程为.
所以选项错误.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10. 已知数列满足，则
A. 0
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用题目所给的递推公式，求得的值，归纳得到数列是周期为的周期数列，由此得出选项.
【详解】依题意，，，……，依次类推，是以为周期的周期数列.故.故选B.
【点睛】本小题主要考查递推数列求数列每一项的值，考查周期数列的判断.根据递推公式，由的值，求出后面几项的值，找到规律，即周期性，由此得到选项，属于基础题.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为（）
A. B. 1
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出△ABF1的周长和面积，可得内切圆半径．
【详解】法一：不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2横坐标代入方程中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，又，所以面积，△ABF1的周长为，所以内切圆半径r＝．
故选：D.
法二：由椭圆的通径公式可得|AB|＝＝3，则S＝2×3×＝3，C＝4a＝8，则r＝.
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查三角形内切圆半径．椭圆中过一个焦点的弦与另一焦点构成的三角形的周长为长轴长的2倍，即．
12. 已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R.若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，则实数a的取值范围是( )
A. [e，＋∞)
B. [，＋∞)
C. [，e2)
D. [e2，＋∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题逐步进行转化．由题意得到对所有的x∈(e，e2]恒成立，由于b≤0，故只需对任意的x∈(e，e2]恒成立，再进一步转化为alnx≥x，即对任意的x∈(e，e2]恒成立，只需求出函数的最大值即可．
【详解】由题意可得bx2≤alnx－x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]恒成立，
所以对所有的x∈(e，e2]恒成立．
由于b∈(－∞，0]，
所以对任意的x∈(e，e2]，都有恒成立，
即alnx≥x对所有的x∈(e，e2]恒成立，
所以对所有的x∈(e，e2]恒成立．
令，则h′(x)＝>0，
所以h(x)在区间(e，e2]上单调递增，
故h(x)max＝h(e2)=．
所以a≥.
所以实数a的取值范围是[，＋∞)．
故选B.
【点睛】（1）分离参数法解决恒成立问题是常用的方法，通过分离参数可将恒成立问题转化为求函数的最值的问题．
（2）对于含有多个变量的恒成立问题，可通过逐步消去参数的方法求解，但求解的原则仍为转化成求最值的问题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13. 的展开式中的常数项是__________．
【答案】
【解析】
分析：利用展开式中的常数项为，项的系数为，从而可得结果.
详解：的展开式通项为，
展开式中的常数项为，
项的系数为，
的展开式中的常数项是，故答案为.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
14. 在中，，，. 若，，且
，则的值为______________.
【答案】
【解析】
,则
.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
15. 如图，在平面四边形中，，，，，则四边形
的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
采用分割法对三角形进行分割，利用余弦定理求得可判断三角形的形状以及解三角形ADC，然后由三角形的面积公式可得结果.
【详解】
连接，在中，，
利用余弦定理得：，
解得，
则是直角三角形，所以.
，
过点作，
则，
，
则==
故答案为.
【点睛】本题主要考查余弦定理及两角差的正切公式，属于简单题.
16. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为________________
【答案】
【解析】
【分析】
由三视图可知该几何体为四棱锥，画出直观图后，找到球心的位置，计算出半径，由此求得球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出直观图如下图所示，其中为侧面等边三角形的中心，为底面正方形的中心，在中，,故外接球的半径为
，故外接球的表面积为.
【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查几何体外接球的表面积与体积的求法.外接球的球心的找法，先找到一个面的外心，球心在这个外心的正上方，然后再找另一个面的外心，球心也同样再这个外心的正上方，由此得到球心的位置，再解三角形得到外接圆的半径，从而求得外接球的表面积或者体积.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17. 的内角为的对边分别为，已知．
（1）求的最大值；
（2）若，当的面积最大时，的周长；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得，解得B,代入化简得，根据三角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法，(2)先根据
余弦定理得，再根据基本不等式求最大值，此时的面积取最大，根据最大值等号取法确定值，即得三角形周长.
试题解析：
（1）由得：，
，即，，；
由，
令，原式，
当且仅当时，上式的最大值为．
（2），即，当且仅当等号成立；，
周长．
点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
18. 已知等比数列的公比，且是的等差中项，数列满足，数列的前项和为.
(1)求的值.
(2)求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用等差中项的性质以及等比数列的通项公式，列方程，解方程求得的值.（2）由（1）求得
的表达式，然后利用累加法以及错位相减法求得的通项公式.
【详解】解.（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.
（2）设，数列前n项和为.由解得.
由（1）可知，所以，
故，
.设
所以，
因此，又，所以.
【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，还考查了累加法求数列的通项公式，以及错位相减求和法.
19. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由所以．又因为底面平面；（2）如图以为原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和
．
试题解析：（1）连结，因为在中，，所以，所以．因为，所以．
又因为底面，所以，因为，
所以平面
（2）
如图以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
．因为是棱的中点，所以．
所以，设为平面的法向量，
所以，即，
令，则，所以平面的法向量
因为是在棱上一点，所以设．
设直线与平面所成角为，
因为平面的法向量，
所以．
解得，即，所以
考点：1、线面垂直；2、线面角.
20. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取
名考生，记成绩不超过
．．．分的考生人数为，求.（精确到）
附：①，；②，则，
；③.
【答案】（1）分；（2）634人；（3）0.499
【解析】
【分析】
（1）根据平均数公式计算；
（2）根据正态分布的对称性计算P（z≥84.81），再估计人数；
（3）根据二项分布的概率公式计算P（ξ≤3）．
【详解】（1）由题意知：
中间值
概率
∴，
∴名考生的竞赛平均成绩为分.
（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，
∴.
【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
21. 设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对恒成立，求实数取值范围；
（3）求整数的值，使函数在区间上有零点．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）求得，得到，即可利用点斜式方程求解切线的方程；（2）由，
对恒成立，转化为，设，求得，即可利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解的取值范围；（3）令得，可判定得的零点在上，利用导数得到在上递增，即可利用零点的判定定理，得到结论．
【详解】（1），∴，
∴所求切线方程为，即
（2）∵，对恒成立，∴，
设，令，得，令得，
∴在上递减，在上递增，
∴，∴
（3）令得，当时，，
∴的零点在上，
令得或，∴在上递增，又在上递减，
∴方程仅有一解，且，
∵，
∴由零点存在的条件可得，∴
【点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数的几何意义求解曲线上某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值（最值）、以及不等式的恒成立问题等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的综合性，属于中档试题．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将代入，可得，设两点的极坐标方程分别为，则是方程的两根，利用求解即可．
【详解】（1）将方程消去参数a得，
∴曲线普通方程为，
将代入上式可得，
∴曲线的极坐标方程为：．
（2）设两点的极坐标方程分别为,
由消去得，
根据题意可得是方程的两根，
∴，
∴．
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，弦长公式，属于中档题.
23. 已知函数.
（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；
（2）若函数，求函数的值域.
【答案】（1）实数的最小值为；（2）函数的值域为.
【解析】
试题分析：（1）h（x）-|x-2|≤n对任意的x＞0恒成立，等价于对任意的x＞0，由
此能求出实数n的最小值（2）推导出，由此能求出数
的值域．
试题解析：
（1）对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立，
等价于对任意的
因为，
当且仅当时取等号，所以，得.
所以实数的最小值为.
（2）因为，
所以，
当时，，
当时，.
综上，.
所以函数的值域为.
点睛：本题考查不等式恒成立，考查函数的值域的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
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