水电站非恒定流计算_课程设计指导书

1 水电站非恒定流计算课程设计指导书
水电站非恒定流计算
课程设计指导书
简新平
河北工程大学水电学院
前言
水电站非恒定流，包括动力渠道涌波、调压室水位波动、压力管道水击等过程。

这些过程都属于水力非恒定流，是水电站设计中水力计算的难点，也是相应的水电站引水建筑物设计的控制工况。

课程设计的目的，是通过锻炼使同学们把握这些水电站非恒定流计算的方法，结合计算机的应用，锻炼解决比较复杂的计算问题的能力。

本指导书主要讲述动力渠道涌波、调压室水位波动、压力管道水击等过程的计算方法。

希望同学们在课程设计工程中，充分理解这些方法，并在此基础上灵活应用，利用计算机编程或者Excel表格计算。

最后，要求同学们不能在课程设计说明书中照抄本指导书中的内容，课程设计说明书应该根据自己的计算过程，独立编写。

第 1 章 扩散差分求解明渠一维非恒定流
1. 1 圣维南（Saint-Venant ）方程组
1. 1. 1 规范中的计算公式
运动方程：
)()(0v v A
q i i g x h g x v v t v q f -+-=∂∂+∂∂+∂∂ （1） 连续方程：
q x
Q
t A =∂∂+∂∂ （2） 以上为《水电站引水渠道及前池设计规范》（SL/T205—97）附录公式。

式中，A ——横断面积，2m Q ——流量，s m /3 v ——平均流速，s m / h ——水深，m 0i ——渠底纵坡 f i ——摩擦坡度
t ——时间
x ——沿渠底度量的距离向下游为正 g ——重力加速度
q ——横向进流量，入流为正，出流为负，因次为s m /2 p v ——横向进流流速沿下游方向的分量
对于求解的水电站引水渠道中的涌波，属于弱解，其差分格式应满足相容性、收敛性、稳定性及幅度耗散性。

计算的初始条件为渠道恒定流时的流速和水深。

上游边界条件，一般假定上游水位为常数，对于自动调节渠道是适宜的；对非自动调节渠道（通常设有侧堰）或有调节池布置的情况时，宜按实际情况建立其上游边界条件。

下游边界条件一般为出流量变化条件，此时忽略压力管道中的水弹性现象，假定机组过流量的变化就是前池出流量的变化。

1. 1. 2 公式的变化
对梯形断面，h mh b A )(+=，
t
z
B t h B t h mh b t h mh t h b t A ∂∂=∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂)2(2。

此时，B 为水面宽度。

对矩形断面，h B A *=，
t
z
B t h B t A ∂∂=∂∂=∂∂。

B 为水面宽度，也是矩形断面宽度。

事实上，对于非棱柱体，都有
t
h B t h h A t A ∂∂=∂∂∂∂=∂∂，B 为水面宽度。

当0=q 时，考虑到R C v i f 22
=（摩阻坡度），用s 代替x 表示沿渠底向下游的长度，
上述方程可简化为：
s s ∂∂-∂∂--=∂∂v
v h R
C v i g t v )(220 （3） B
1
s Q t h ∂∂-=∂∂ （4）
对于（3）式，结合上图理解如下： 由ds s
v dt t v dv ∂∂+∂∂=
，得到s v
v t v dt dv a ∂∂+∂∂==。

当地加速度(t v
∂∂，即时变加速度)是液体在重力的分力（0gi ）、摩擦阻力（R
C v g 22-）、
水压力差（s ∂∂-h g
）这三个力的合力下产生的总加速减去位变加速度(s
v v ∂∂，即迁移加速度)后的加速度值。

非恒定流的本质是，非恒定流在断面上的加速度随时间变化。

恒
定流不是没有加速度，而是流场内各点的加速度分布不随时间发生变化。

当地加速度为0、迁移加速度也为0时，为（恒定）均匀流。

从欧拉视角，如果停留在某一断面观察，则
t
v
∂∂是某一断面上速度随时间的变化率。

s v
v
∂∂可以这样理解，当时间增加dt 时，速度的增量为s v ds s v dt v dt s v v dv ∂∂=∂∂⋅=∂∂=，即s
v
v
∂∂为当时间变化时液体沿长度方向移动，而不同s 位置的速度不同（非恒定流或非均匀流时水深沿程变化，流量和动能沿程变化。

均匀流时水深、流量和动能沿程不变化。

）流速沿程变化。

t v ∂∂部分加速度导致液体之间交换能量，s
v
v ∂∂导致液体自身的势能和动能相互转化。

当水流为恒定流时，任一断面上，速度不随时间变化，
0=∂∂t
v 。

但是加速度的s v
v
∂∂部分可以不为0，考虑到
s
h
i h z s s z ∂∂+-=+∂∂=∂∂00)(，此时得到恒定渐变流的方程： R
C v g v s R C v s v g v s z 22
222)2(+∂∂=+∂∂=∂∂- 上式说明，恒定非均匀流时，势能沿程的变化，一方面转化为动能，一方面用来克服摩擦阻力。

加上流量沿程不变的连续性方程，就可以计算恒定非均匀流水面线。

对于（4）式，可以利用质量守恒来理解，进入水体和流出水体的流量不相等，会导致水水深变化。

1. 2 扩散差分法
1. 2. 1 几种差商
导数定义x x f x x f x f x
∆-∆+='∆)()(lim
)(，则差商x
x f x x f ∆-∆+)
()(是导数的近似，而
导数是差商的极限。

一阶差商可有向前、向后和中心差商三种情况。

（1） 一阶向前偏差商
),(t s f 在B 点处对s 的一阶偏差商：
s
t s f t s s f s B f A f ∆-∆+=∆-)
,(),()()(
（2） 一阶向后偏差商
),(t s f 在B 点处对s 的一阶偏差商：
s
t s s f t s f s A f B f ∆∆--=∆-)
,(),()()(
（3） 一阶中心偏差商
),(t s f 在B 点处对s 的一阶偏差商：
s
t s s f t s s f s C f A f ∆∆--∆+=∆-2),(),(2)()(
⎪⎭
⎫
⎝⎛∆∆--+∆-∆+=
s t s s f t s f s t s f t s s f ),(),(),(),(21
一阶中心偏差商，也可以看成是前后两偏差商的平均值。

显然，用中心偏差商来代
s ∆ s ∆
A
B s ∆
s ∆
替导数，较之用前后偏差商的精度为高。

差分格式收敛的必要条件是库朗（Courant ）条件[1]：
m ax
B
A g v s t ±
∆≤
∆
常用的显示差分格式有扩散格式、蛙跳格式等。

扩散格式在时间上取带权的差商代替微商，在空间上取中心差商。

蛙跳格式在时间和空间上均取中心差商。

1. 2. 2 扩散差分格式
i
i+1
用G 代表函数，在节点上取微商： 域内节点采用
t
G G G G
t G
i j i j i j i j
s t j i ∆⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=
∂∂+-+2)1(111)
,(αα （5）
s
G G s s G G s G
i j i j j j i j i j s t j i ∆-=--=∂∂-+-+-+2111111),( （6）
式中α称为权因子，它在[0,1]区间内取值。

显然，α取值不同式（7）右端值不同。

实践表明，1.0=α时，结果比较光滑；当0.1=α时，格式不稳定；当0=α时为拉克斯格式（Lax 格式，纯扩散格式，稳定格式）。

经验表明，α取较小值时，如1.0=α，常可得较好的成果。

当0.1=α时，
t G G t G
i j i j s t j i ∆-=∂∂+1),(
当0=α时，
t
G G G
t G
i j i j i j
s t j i ∆+-
=
∂∂+-+2111)
,( 如果在每个瞬时计算流段中，函数成线性变化，无论α取什么样的值，式（7）右
[1]
《水力学》（第四版）下册，清华大学水力学教研组编。

端则不变。

显而易见，若函数呈凹或凸曲线变化，则2
1
1i j i j i
j
G G G +-+<
或2
1
1i j i j i j
G G G +-+>。

因此，说明函数呈非线性变化时（河渠中非恒定流绝大多数如此），t G
∂∂的偏差商随α的
取值而改变，而且随着时间的推移不断地发展下去。

由此可见，α的取值是否符合实际的水流情况这是数值计算中α影响稳定性的原因。

t
i
域上边界节点为
t G G t G
i j i j s t j i ∆-=∂∂+1),( （7）
s
G G s G
i j i j s t j i ∆-=∂∂+1),( （8）
域下边界节点为
t G G t G
i j i j s t j i ∆-=∂∂+1),( （9）
s
G G s G
i
j i
j s t j i ∆-=∂∂-1),( （10）
方程（5）、（6）中的变系数及非导数项R C v 22
、B 、v 等，用i j B 、i j v 、i j R 、i j C 计算，
或者用2/)(11i j i j B B -++、2/)(11i j i j v v -++、… 等计算。

不难看出，当函数在j+1至j-1呈线性变化时，上面两种取法相同，否则，结果是不一致的。

根据上述规定，将偏微分方程（3）、（4）离散化，便得到整个变量域节点的代数型方程组。

1. 3 明渠非恒定流数值求解
考察明渠非恒定流方程：
s s ∂∂-∂∂--=∂∂v
v h R
C v i g t v )(220 （3） B
1
s Q t h ∂∂-
=∂∂ （4） 当沿长度方向离散渠道时，对于j s 处的域内节点j ，对长度的偏导数用中心差商计算，
s
G G s s G G s G
i j i j j j i j i j s t j i ∆-=--=∂∂-+-+-+2111111),( （11）
考虑到初始条件为恒定流以及恒定流计算方法，为保持计算的稳定性，动能项可以考虑用
s
v v i j i j ∆--+22
/])()[(2121 代替 s
v v v i j i j i j
∆--+21
1，保证在恒定流下数值的稳定性。

因为，
式（3）也可以写成：s s ∂∂-∂∂--=∂∂)
2()(2
220v h R
C v i g t v 。

根据式（11），可以将（3）、（4）离散成：
s v v s h h R
C v v i g t v
i j i j i j i j i j i j s t j i ∆--
∆---=∂∂-+-+4)()()2(21211120),( （12） s
B Q Q t h
i j i j s t j i ∆-=∂∂+-211),( （13）
对于渠道进口，运动方程离散为：
s v v s h h J i g t v
i i i i t i ∆--∆---=∂∂2)()()(2
021010)0,( （12）
其中，2/)(
20
01
2
1
1
1R C v v R C v v J i
i i i +
=，是为保证计算的稳定性并与初始恒定流一致而采
用。

对于渠道出口，运动方程离散为：
s
v v s h h J i g t v i i i i t i ∆--∆---=∂∂2)()()(220),(1-NJ NJ 1-NJ NJ NJ （12）
其中，2/)(
21
NJ 1
NJ 1
NJ 1NJ NJ
2NJ
NJ
NJ ----+
=R C
v v R C v v J i i i i ，NJ 为断面总数。

对梯形断面，结合以下公式计算：
mh b B 2+=，h mh b A )(+=
2
12m h b ++=χ，χ
A
m
h b h mh b R =
+++=
2
12)(
6/11R n
C =
，3/21
R n R C =
R AC K =，R C A K 222=，h z z +=0
第 2 章调压室水力计算的基本方程式
连续性方程：
动力方程：
其中，Q是压力管道引用流量。

是引水道的瞬时水头损失，一般包括沿程水头损失和局部水头损失：
上式中，沿程阻力系数，谢才系数，R是水力半径，d是管道直径。

连续性方程变形：
动力方程变形：
加速度以向下游为正。

非恒定流时，引水道的瞬时水头损失有方向，以速度向下游阻力向上游时为正，与速度方向有关：
对阻抗式调压室，应该计入阻抗孔造成的水力损失：
孔
孔孔
孔
以水流流入调压室为正。

水流流入调压室的流量
孔以流出调压室为正：
孔。

调压室阻抗系数
孔
在水流流入和流出调压室时的值一般不相同。

孔
是阻抗孔的面积。

第 3 章 水击计算的特征线法
3. 1 水击计算的基本方程式
运动方程：（考虑摩阻损失）
02=+∂∂+∂∂+∂∂D
v
v s v v t v s H g
λ （1） 连续方程：（考虑管轴线倾斜影响）
0sin 2=∂∂++∂∂+∂∂s
v g a v t H s H v θ （2） 式中，D 为管道直径，λ为沿程阻力系数，s 为长度，方向与恒定流时的水流方向一致。

管轴
线与水平线的夹角为θ。

水击波速为a 。

3. 2 特征线方程及特征方程组
特征线法的原理是：将偏微分方程组转化为特殊的全微分方程，即特征方程，然后再转化为一阶有限差分方程，求其近似解。

将基本方程式改写为：
021=+∂∂+∂∂+∂∂=D
v v s v v t v s H g L λ （3）
0sin 22=∂∂++∂∂+∂∂=s
v
g a v t H s H v L θ （4）
将上面两个方程式用一个待定系数ω进行线性组合如下：
021=+=L L L ω （5）
即
02sin 2
=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∂∂+∂∂+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂=D v v v g v s H t H g a v s v t v L λθωωωω （6） 设),(t s H H =，),(t s v v =是方程的解，则它们的全微分为
dt ds
s H t H dt dH ∂∂+∂∂= （7） dt
ds s v t v dt dv ∂∂+∂∂= （8） 如果
g
a v dt ds 2
ω+= （7） ω
g
v dt ds += （8） 则式（6）可以变为常微分方程：
02sin =+++D
v v v dt dH dt dv λθωω （9） 满足式（7）（8）的条件是：
a
g
±=ω （10）
因此
a v dt
ds
±= （11）
在s —t 平面上，式（11）代表两族曲线，称为特征线，式（11）称为特征线方程。

沿特征线，式（9）成立，称之为特征方程。

a v dt ds +=反映了水击顺波波峰的运动规律；a v dt
ds
-=反映了水击逆波波峰的运动规律。

因
此，称
a v dt ds +=代表的特征线为顺波特征线，用+c 表示；称a v dt
ds
-=代表的特征线为逆波特征线，用-
c 表示。

将ω的两个值代入式（9），并与式（11）对应组合，可得两个微分方程组：
沿+
c ： ⎪⎩
⎪⎨⎧+==+++a v dt
ds
D v v v a g
dt dH a
g
dt dv 02sin λθ （12） 沿-
c ： ⎪⎩⎪⎨⎧-==+--a v dt
ds
D v v v a g
dt dH a
g dt dv 02sin λθ （13） 上述两对常微分方程组统称为特征方程组。

这样我们就把求解偏微分方程组转化成为求解常微分形式的特征方程组。

在推导特征方一程组的过程中，没有做过任何数学近似。

因此，特征方程组的解就是原来偏微分方程组所描述的水击问题的解。

3. 3 特征方程组的求解
在特征方程组中，特征线方程(11)实际上分别是常微分方程(12)和(13)的约束条件。

只有沿着相应的特征线+
c 或-
c ，才能对常微分方一程(12)或(13)进行积分求解。

也即特征线法只能沿着特征线求解各个水击要素(水头H 和流速v )。

特征线法是一个近似的数值解法，且必须在特征线的交点上才有解。

但在s —t 坐标平面内任何一点可以是两条不同方向特征线的交点，那么就有无限多个交点。

而在实际中希望交点少，同时又满足解的精度和稳定性。

通常划分计算网格的方法有两种：特征网格法和等时段网格法（或称标准时段法）。

特征网格法在s —t 坐标平面内以特征线为网格，经过交点的两组特征线为
a v dt
ds
±=代表的曲线。

因为v 是x ，t 的未知函数，曲线的交点也是未知的。

因此，特征网格法的几乎每一个节点都要经过反复迭代，计算繁琐。

但此法直接求解，精度高，稳定性好，只是得不到有规律的解答。

一般在流速v 与波速a 相比不宜忽略时和波速并非常数时采用。

等时段网格法在s —t 坐标平面内预先划分相等的s ∆，t ∆，组成规则的矩形网格，网格的节点是固定的。

在流速v 与波速a 相比不宜忽略时，特征线方程为
a v dt
ds
±=，等时段网格法每一步都需要内插，计算程序复杂，误差较大，稳定性也较差，但是能给出有规律的解答。

对于水电站的引水管道，正常流速v 远小于波速a ，而波速a 在同一段管道内为常数，若忽略流速v ，特征线方程可以近似写成
a dt
ds
±=，则特征线在s —t 坐标平面内为两组直线族。

在s —t 坐标平面内划分网格时，取t a s ∆⋅=∆，则每个计算点都落在节点上。

这样就避免了内插，提高了精
度，简化了计算程序。

下面主要介绍这一方法。

（1）有限差分方程
一般情况下，a v <<，所以特征线方程可以近似写成a dt
ds
±=。

将式（12）中的特征方程各项同乘以g ds g adt //=，得：
02sin =+++ds gD
v v dt v dH dv g a
λθ （14） 然后沿顺波特征线+
c 积分可得（最后一项是阻力项沿长度积分，得到沿程损失）：
02sin =+
++⎰
⎰⎰
⎰
ds v v gD vdt dH dv g
a P
A
P
A
P
A
P
A
s s t t H H v v λ
θ （15）
或者（最后一项是阻力项与波速的乘积，即阻力做功的功率，沿时间积分，得到沿程损失）：
02sin =+++⎰⎰⎰⎰dt v v gD a vdt dH dv g a P
A P A
P A P A t t t t H H v v λθ （15'） 同理，将式（13）中的特征方程各项同乘以g ds g adt //-=，然后沿顺波特征线-
c 积分可得（最后一项是阻力项沿长度积分，得到沿程损失）：
02sin =---⎰⎰⎰⎰ds v v gD vdt dH dv g a P
B
P B
P B P B s s t t H H v v λθ （16） 或者（最后一项是阻力项与波速的乘积，即阻力做功的功率，沿时间积分，得到沿程损失）：
02sin =+
--⎰⎰⎰
⎰
dt v v gD a
vdt dH dv g
a P
B
P
B
P
B
P
B
t t t t H H v v λθ （16'）
由于上面两式中最后两项的被积函数v 或v v 随时间t 或位置s 的变化规律事先并不知道，因此，上面两个式子的积分不能完全实现。

实际计算中可采用近似值代替精确积分。

而且，除了摩阻很大的管道外，对于几大多数问题，采用一阶近似就可以满足要求。

一阶近似就是用已知点A 或B 的流速取代上面两个式子中被积函数中的流速（取时段初的流速）。

这样，式（15）和式（16）的积分结果为：
02sin )(=∆+∆+-+-s v v gD
t v v v g a H H A A A A P A P λ
θ （17）
02sin )(=∆-∆+--
-s v v gD
t v v v g a H H B B B B P B P λθ （18） （2）有限差分方程的应用
前面已提及，在有压管道的水击计算中，管道中的水流流速远小于水击波的传播速度，即
a v <<。

因此，特征线方程中的v 可以略去，特征线方程可以近似写成
a dt
ds
±=，特征线方程变成了斜率为a ±的直线。

分成了矩形网格。

特征方程的有限差分形式(17)和式(18)可改写成：
沿+c ： 0
2sin )(1
111111111=∆+∆+-+-----------s v v gD
t v v v g a H H j i j i j i j i j i j i j i λθ （19） 沿-
c ： 0
2sin )(1
11111111
1=∆-∆+--
--+-+-+-+-+
s v v gD
t v v v g a H H j i j i j i j i j i j i j i λθ （20） 其中，变量的上标表示时刻，下标表示网格节点对应的断面位置。

联立求解上面两个方程可得j 时刻，节点i 断面的水头和流速：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∆-+∆--++=
-+-+-----+---+---+--)(2)(sin )(2111111111111111111111j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i v v v v s gD v v t v v g a H H H λθ （21） ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∆--∆-++-=
-+-+-----+---+---+--)(2)(sin )()(2111111111111111111111j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i v v v v s aD v v t a g v v H H a g v λθ（22）
边界上，采用式（19）或（20）求解。

中间点采用式（21）或（22）求解。

3. 4 边界条件
3. 4. 1 水库
管道上游如果为水库，可以认为水位不变。

边界条件为：
常数==u j H H 0 （23）
其中u H 为已知的水库水位。

管道的下游出口，若淹没在下游水位以下，下游也是一个水库。

3. 4. 2 封闭端
引水式水电站联合供水方式，压力管道末端分岔，由几个支管分别给各机组供水。

当某台机组导叶关闭，此支管属于封闭端。

封闭端的边界条件是Q =0。

3. 4. 3 管道出口
冲击式水轮机的喷嘴是一个带针阀的孔口，水轮机转速变化时对孔口出流无影响，可以按阀门情况计算。

设阀门前初始水头为H 0，管内初始稳定流速为V 0，管道面积为A ，根据孔口出流公式：
0002gH A V μω= （24）
当开度变化时：
p p gH A V 2μω= （25）
以上两式相除得：
H H V V p p τ
= （26）
其中，0
ωω
τ=
，为阀门相对开度。

根据式（17），有：
t V V D
t V a g H a g H a g V V A A A A p A p ∆⋅-⋅∆⋅-+-
=2)sin(λθ （27） p p H C C V 23-= （28）
其中，a g C =
2，t V V D
t V a g H a g V C A A A A A ∆⋅-
⋅∆⋅-+=2)sin(3λ
θ，A 点指阀门处P 点之前的那一个点，3C 由A 点上一时刻的值求得。

联解式（26）、（28）得：
432
4422C C C C V p +⎪⎭
⎫
⎝⎛+-= （29）
2
3C V C H P
p -=
（30） 其中，0
22
024H C V C τ=
.
反击式水轮机的情况比较复杂，其过水流量为三个自变量的函数，即与水头H 、导叶开度τ和转速n 有关。

),,(n H Q Q τ= （31）
反击式水轮机还有蜗壳和尾水管的影响，二者的水击压力是反号的。

3. 4. 4 串联管道
为得到有规律的解答，一般取整个串联管的时间步长t ∆相等。

====
∆3
33222111a I L
a I L a I L t （32） 式中，1I 、2I 、3I 为各管道的分段数，均为正整数。

显然，每根管道的分段长度各不相等。

t ∆应为水击波在各管道中的传播时间的最大公约数。

但是，在大多数情况下，这个最大公约数并不存在。

这时，可以通过稍稍调整一下水击波速的大小来满足这一要求。

因为实际情况中的水击波速不可能计算的十分准确，稍稍调整是允许的。

=±⋅=±⋅=±⋅=
∆3
333
22221111)1()1()1(a I L a I L a I L t ψψψ （32）
式中，1ψ、2ψ、3ψ为水击波速的允许偏值，一般应小于某个极限值，如1%。

通常情况下，用稍稍调整水击波速来满足公共时间步长t ∆的要求，比调整管道长度的办法更好一些。

此外，也可以只考虑主要管段（或较长管段）取较大的时间步长，对于个别管段不满足t a s ∆⋅=∆，采用内插的方式计算。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 串联管接头处，考虑流速水头和局部水头损失时：
21
连续性条件：
21Q Q Q p == （33）
2211A V A V ⋅=⋅ （33'）
其中，1Q 是I 管段最后一个断面的流量，2Q 是II 管段第一个断面的流量。

能量方程：
g
v g v p Z g v p Z 2222
12
222211
1αγγ+++=++ （34）
其中，α是局部水头损失系数，与水流的方向有关。

γ
1
11p Z H +
=
γ
2
22p Z H +
=
则 g
v g v H g v H 2222
12
22211α++=+ （35） g
v g v g v H H 2)22(2
1212
221α+-+= （35'）
一般引水道变管径时，管径变化不会太剧烈，接头处的局部水头损失系数α和流速水头差值
)22(212
2g
v g v -都比较小。

此外，对于高水头水电站，流速水头占总水头的比重较少。

假如水电站的静水头H=100m ，而流速一般为4~5m/s ，那么上式中g
v g v g v 2)22(2
12122α+-不会超过静水头的1%，完全可以忽略。

此时，上式可以写成：
21H H H p == （36）
水力学中也认为，给水工程中，串联管道常按长管计算，流速水头和局部水头损失忽略不计。

但是，对于低水头水电站，尤其是管道较短时，流速水头和局部水头损失就不容忽略。

那么，对于P1点：
t v v D t v a g H a g H a g v v A A A A p A ∆⋅-⋅∆-+-
=1
11112sin λθ （37）
p H C C v 211-= （37'）
其中，
t v v D t v a g H a g v C A A A A A ∆⋅-⋅∆-+=11112sin λθ，由A 点上一时刻的值求得；1
2a g
C =。

对于P2点：
t v v D t v a g H a g H a g v v B B B B p B ∆⋅-⋅∆+-+
=2
22222sin λ
θ （38） p H C C v 432+= （38'）
其中，t v v D t v a g H a g v C B B B B B ∆⋅-⋅∆+-
=2
2232s in λθ，由B 点上一时刻的值求得；2
4a g
C =。

因此，243121)()(A H C C A H C C p p +=-，解得：
2
2
42122
2
321124122311D C D C D C D C A C A C A C A C H p +-=+-= （39） 3. 4. 5 并联管道
对于P1点：
t v v D t v a g H a g H a g v v A A A A p A ∆⋅-⋅∆-+-
=1
11112sin λθ （40） p H C C v 211-= （40'）
其中，
t v v D t v a g H a g v C A A A A A ∆⋅-⋅∆-+=11112sin λθ，由A 点上一时刻的值求得；1
2a g
C =。

对于P2点：
t v v D t v a g H a g H a g v v B B B B p B ∆⋅-⋅∆+-+
=2
22222sin λθ （41） p H C C v 432+= （41'）
其中，t v v D t v a g H a g v C B B B B B ∆⋅-⋅∆+-
=2
2232s in λθ，由B 点上一时刻的值求得；2
4a g
C =。

对于P3点：
t v v D t v a g H a g H a g v v C C C C p C ∆⋅-⋅∆+-+
=3
33332sin λθ （42） p H C C v 653+= （42'）
其中，t v v D t v a g H a g v C C C C C C ∆⋅-⋅∆+-
=3
3352s in λθ，由B 点上一时刻的值求得；3
6a g
C =。

流量关系：
321Q Q Q += （43）
忽略岔管水头损失，则：
p H H H H ===321 （44）
因此，365243121)()()(A H C C A H C C A H C C p p p +++=-，解得：
2
3
62242122
3
5223211362412352311D C D C D C D C D C D C A C A C A C A C A C A C H p ++--=++--= （45）。