解一元一次方程的四种技巧

解一元一次方程的四种技巧
孙昌晋
(江苏省连云港新海实验中学ꎬ江苏连云港２２２０００)
摘㊀要:一般来说ꎬ解答一元一次方程的大概步骤主要包括:去分母㊁去括号㊁移项㊁合并同类项ꎬ再把未知数的系数化为１.然而ꎬ这个适用于大部分一元一次方程的方法ꎬ也有它不能解决的问题.对形式特殊的一元一次方程ꎬ就要先找到方程的特殊结构ꎬ再选取合适的方法进行求解.解题过程简单ꎬ不仅可以提高解题速度ꎬ还能拓宽思维ꎬ使学习效果显著提升.下面举例来帮助同学更好地解决特殊的一元一次方程.
关键词:一元一次方程ꎻ解题技巧ꎻ解题方法
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１４－００２０－０２
收稿日期:２０２３－０２－１５
作者简介:孙昌晋(１９８４.２－)ꎬ男ꎬ江苏省连云港人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.
１去括号的技巧
例１㊀解方程:３２[２３(１
４
ｘ－１)－２]－２＝ｘ.
解析㊀通过仔细观察这个方程式我们可以发现ꎬ题目中括号里面的２３和括号最外面的３
２是一组
互为倒数的数ꎬ又因为
３
２
乘以－２等于－３ꎬ因此ꎬ我们去括号就需要从外向内进行比较好.
解㊀先去中括号ꎬ可得(１
４ｘ－１)－３－２＝ｘꎬ化
简得到１
４
ｘ－１－５＝ｘꎬ解得ｘ＝－８.
例２㊀解方程１２{１２[１２(１
２
ｘ－２)－２]－２}－２＝４.
解析㊀先观察方程式ꎬ常数４在方程的右边ꎬ方程的左边有一个－２ꎬ我们可以利用合并同类项的方法将右边的常数４和左边的－２合并相加减以后ꎬ方程的左边化成积的式子ꎬ再去掉大括号的系数ꎬ要去大括号就需要用去分母的方式ꎬ经过整理以后得到的式子的形式与原方程是相同的.
解㊀先从常数项着手ꎬ移项ꎬ合并同类项后有:１２{１２[１２(１
２ｘ－２)－２]－２}＝６.将分母去掉ꎬ可以得到
１２[１２(１
２
ｘ－２)－２]－２＝１２.重复上述操作ꎬ经过多次移项㊁合并同类项ꎬ去分母就可以解出:ｘ＝１２４.
２将部分看成一个整体求解
例３㊀解方程:３ｘ＋１()－１
３
ｘ－１()＝２ｘ－１()－
１
２
ｘ＋１().解析㊀首先观察题目所给的方程式ꎬ发现方程的左右两边都有(ｘ＋１)与ｘ－１()ꎬ因此我们便把他们看成两个整体分别合并ꎬ最后使用解一般一元一次方程的方法ꎬ经过移项㊁合并同类项ꎬ化简ꎬ求出方程的解.
解㊀利用部分当做整体的思想ꎬ把(ｘ＋１)与ｘ－１()分别看成两个整体ꎬ再移项ꎬ得:３(ｘ＋１)＋１２
(ｘ＋１)＝２(ｘ－１)＋
１３(ｘ－１)ꎬ合并同类项得７
２
(ｘ＋１)＝７
３
(ｘ－１).去分母得３(ｘ＋１)＝２(ｘ－１)ꎬ所以ｘ＝－５.例４㊀解方程:３{２ｘ－１－[３(２ｘ－１)＋３]}＝５.
０２
解㊀观察方程式ꎬ可以将２ｘ－１.看做是一个整体ꎬ然后再按顺序去掉括号ꎬ由此得到３(２ｘ－１)－
３[３(２ｘ－１)＋３]＝５ꎬ再去中括号得到:３(２ｘ－１)－９(２ｘ－１)－９＝５ꎬ移项再合并同类项得－６(２ｘ－１)
＝１４.解得ｘ＝－２
３
.
３合理拆项
例５㊀解方程:２ｘ－１３－１０ｘ＋１６＝２ｘ＋１
４
－１.
解析㊀我们从拆项这方面考虑ꎬ先把方程式中的每一个分式拆分ꎬ再合并同类项ꎬ这样方程式求解就会简便很多.
解㊀２３ｘ－１３－５３ｘ－１６＝１２ｘ＋１
４－１ꎬ将这个
方程左右两边合并同类项得到:－ｘ－１２＝１２ｘ－３
４
ꎬ所以－
３２ｘ＝－１４ꎬ解得ｘ＝１６
.例６㊀解方程:１２(ｙ＋１)＋１
３
(ｙ＋２)＝３－１
４
(ｙ＋３).解析㊀这道题不能用将部分看成整体的方法求
解ꎬ用拆项的办法刚好适用ꎬ方程式中有一个 ３ ꎬ再根据题目中各个括号内的常数项和括号前的系数ꎬ所以可以将 ３ 拆分成为１㊁１㊁１ꎬ然后分别转化成
２２㊁３３㊁４
４ꎮ解㊀
将原方程化为:
１２ｙ＋１()－２
２
[
]＋
１３ｙ＋２()－３３[]＋１４ｙ＋３()－４
４
[]＝０ꎬ去小括号㊁合并同类项得:１２(ｙ－１)＋１
３
(ｙ－１)＋
１４(ｙ－１)＝０ꎬ提出(ｙ－１)ꎬ得:(１２＋１３＋１
４
)(ｙ－１)＝０ꎬ解得ｙ＝１.
４合理利用分式的基本性质
例７㊀解方程:４ｘ－３２１２－５ｘ－４５１５＝６
５
－ｘ
１１０
.
解析㊀因为题目中所给方程有分母:
１２ꎬ１５ꎬ１１０
ꎬ而
１２ˑ２＝１ꎬ１５ˑ５＝１ꎬ１
１０
ˑ１０＝１ꎬ这里可以考虑用分数的性质ꎬ要想去掉分母可以将分母转化成１再去掉ꎬ这样就可以很简便又很迅速地去掉分母.
解㊀根据分式的性质ꎬ第一个分式的分子分母同时乘以２ꎬ第二个分式的分子分母同时乘以５ꎬ等式右边分子分母同时乘以１０ꎬ得出:(４ｘ－
３
２
)ˑ２１２ˑ２－
(５ｘ－
４
５
)ˑ５１
５
ˑ５＝
(
６
５
－ｘ)ˑ１０１
１０
ˑ１０.化简得:(８ｘ－３)－
(２５ｘ－４)＝１２－１０ｘꎬ解出ｘ＝－
１１７
.例８㊀解方程:４－６ｘ１１００－１３２＝１
５０－２ｘ
１５０
－１５
２.
解㊀化简得到:４－６ｘ１１００＝１１００
－ｘ
１１００
－１ꎬ将上述方程式
进一步化简得:４－６ｘ１１００＝１－ｘ１１００－１.即４－６ｘ１１００＝－ｘ
１１００ꎬ也
就是－ｘ＝－６ｘ＋４ꎬ解得ｘ＝
４
５
.一般来说对于结构特殊的一元一次方程ꎬ只要抓住了它的结构特征ꎬ就意味着成功了一半ꎬ希望本文能提高同学们解一元一次方程的能力.
参考文献:
[１]王日.初一学生解一元一次方程应用题的错误
类型及教学对策研究[Ｄ].兰州:西北师范大学ꎬ２０１６.
[２]郑晓颖.一元一次方程错误类型与错因分析
[Ｄ].福州:福建师范大学ꎬ２０１８.
[３]白娟.数学史融入一元一次方程教学的实践研
究[Ｄ].太原:山西师范大学ꎬ２０１７.
[责任编辑:李㊀璟]
１２。