3.2.1 单调性与最大(小)值(第二课时)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案

§3．2．1 单调性与最大（小）值（第二课时）
导学目标：
1．掌握函数的单调性，会判断一些简单函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．
（预习教材P 76~ P 81，回答下列问题） 函数单调性的定义：
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：
（1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间
D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．
特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ． （2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间
D 上单调递减．相应的，区间D 则称为函数的单调减区间．
特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ．
【自我检测】下列已知条件，能判断函数()f x 在[],a b 上单调递增的有
① 设[]b a x x ,,21∈，且()()
1212
0f x f x x x ->-
② 设[]b a x x ,,21∈，且
()()
1212
0f x f x x x -<-
第三章 函数的概念与性质
- 2 -
③ 设[]b a x x ,,21∈，且()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦ 【知识点】判断函数单调性的方法
()1利用函数单调性的定义；
()2利用已知函数的图像；
形如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数1
y x x
=+
、含绝对值函数1y x =-等 ()3利用单调函数的四则运算；
在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；
减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；
增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；
减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

若()y f x =在区间D 上是增（减）函数，则()y f x =-在区间D 上是减（增）函数；
则()
1
y f x =
(()0f x ≠)在连续区间上是减（增）函数。

()4复合函数))((x g f y =
的单调性判断法“同增异减”
)(u f y =
增 ↗ 减 ↘
)(x g u =
增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
))((x g f y =
增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
题型一 利用函数单调性的定义判断函数单调性
【例1-1】利用定义判断函数4
()f x x x
=+在区间(2,)+∞上的单调性．
题型二 利用函数图像判断函数单调性
【例2】下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）
A ．()3f x x =-
B ．2()3f x x x =-
第三章 函数的概念与性质
- 4 -
C ．1
()f x x
=- D ．()f x x =-
题型三 利用单调函数的四则运算判断函数单调性
【例3-2】证明：若()y f x =在区间D 上是增函数，则()y f x =-在区间D 上是减函数．
【例3-2】判断下列函数的单调性 （1）()1
f x x x
=-
（2）(
)[)221,f x x x x =-∈+∞ （3）()2
1x f x x +=
- （4）()12
f x x =-
题型四 复合函数单调性判断方法（内外侧函数同增异减．．．．） 【例4】求下列函数的单调区间 （1）函数()23f x x =
-的单调递增区间
（2）函数2()43f x x x =+-的单调递增区间
1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,0)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(2,)+∞
2．已知函数()1
11
f x x =-+
-，则()f x （ ） A ．在()1,-+∞上是增函数
B ．在()1,+∞上是增函数
第三章 函数的概念与性质
- 6 -
C ．在()1,-+∞上是减函数
D ．在()1,+∞上是减函数
3．函数(
)f x =
）
A ．()2,-+∞
B ．()0,2--
C ．(),3-∞-
D ．()1,-+∞
4．设函数()1
1
x f x x +=
-． （1）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性； （2）求函数()f x 在区间[2,6]得最大值和最小值．
5．用定义法证明函数()3
f x x =在定义域内的单调性；
§3．2．1 单调性与最大（小）值（第二课时）参考答案
导学目标：
1．掌握函数的单调性，会判断一些简单函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．
（预习教材P 76~ P 81，回答下列问题） 函数单调性的定义：
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：
（1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间
D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．
特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ． （2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间
D 上单调递减．相应的，区间D 则称为函数的单调减
区间．
特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ．
【自我检测】下列已知条件，能判断函数()f x 在[],a b 上单调递增的有 （1）
① 设[]b a x x ,,21∈，且
()()
1212
0f x f x x x ->-
第三章 函数的概念与性质
- 8 -
② 设[]b a x x ,,21∈，且
()()
1212
0f x f x x x -<-
③ 设[]b a x x ,,21∈，且()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：
（1）如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数在区间D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．
特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．
（2）如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数在区间D 上单调递减． 相应的，区间D 则称为函数的单调减区间．
特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 【知识点】判断函数单调性的方法
()1利用函数单调性的定义；
()2利用已知函数的图像；
形如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数1
y x x
=+
、含绝对值函数1y x =-等 ()3利用单调函数的四则运算；
在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；
减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；
增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；
减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

若()y f x =在区间D 上是增（减）函数，则()y f x =-在区间D 上是减（增）函数；
则()
1
y f x =
(()0f x ≠)在连续区间上是减（增）函数。

()4复合函数))((x g f y =
的单调性判断法“同增异减”
)(u f y =
增 ↗ 减 ↘
)(x g u =
增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
))((x g f y =
增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
题型一 利用函数单调性的定义判断函数单调性
第三章 函数的概念与性质
- 10 -
【例1-1】利用定义判断函数4
()f x x x
=+
在区间(2,)+∞上的单调性． 【答案】函数在()2,+∞上递增，证明如下： 任取()12,2,x x ∈+∞且12x x <，则
()()21121212x x f x f x x x x x --=-+
()121212
1
x x x x x x -=-⋅，由于120x x -<，121210,0x x x x ->>，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．所以函数()f x 在
()2,+∞上递增．
题型二 利用函数图像判断函数单调性
【例2】下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）
A ．()3f x x =-
B ．2()3f x x x =-
C ．1
()f x x
=- D ．()f x x =- 【答案】C
题型三 利用单调函数的四则运算判断函数单调性
【例3-2】证明：若()y f x =在区间D 上是增函数，则()y f x =-在区间D 上是减函数．
【答案】任取12x D x <∈，由已知可得：()()12f x f x <
令()()F x f x =-，
()()()()()()2121210F x F x f x f x F x F x -=-+<⇒<
所以()F x 上是单调减函数．
【例3-2】判断下列函数的单调性
（1）()1
f x x x
=-
（2）()[)221,f x x x x =-∈+∞ （3）()2
1x f x x +=
- （4）()12
f x x =- 【答案】（1）在(),0-∞和()0,+∞上单调递增（2）在[)1,+∞上单调递增
（3）在(),1-∞和()1,+∞单调递减 （4）在(],2-∞单调递增，在[)2,+∞单调递减
题型四 复合函数单调性判断方法（内外侧函数同增异减．．．．） 【例4】求下列函数的单调区间
（1）函数()f x =
（2）函数()f x =的单调递增区间
第三章 函数的概念与性质
- 12 -
【答案】（1）令23t x =-，则y t
=，由230x -≥，得3
2
x ≥
， 又因为23t x =-在3[,)2
+∞上单调递增，y t =
在定义域上是增函数，
所以23y x =-的单调递增区间是3[,)2
+∞．
（2）由2430x x +-≥解得[]1,4x ∈-，也即函数()f x 的定义域为[]1,4-，注意到函
数[]()
2
341,4y x x x =-++∈-开口向下，对称轴为3
2
x =
，所以函数[]()2341,4y x x x =-++∈-在31,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上递增，在3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减．而y x =在[)
0,+∞上是增函数，根据复合函数单调性同增异减可知，函数()f x 的单调递增区间为3
[1,]2
-．
1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,0)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(2,)+∞
【答案】D
2．已知函数()1
11
f x x =-+
-，则()f x （ ）
A ．在()1,-+∞上是增函数
B ．在()1,+∞上是增函数
C ．在()1,-+∞上是减函数
D ．在()1,+∞上是减函数
【答案】D
3．函数(
)f x =
）
A ．()2,-+∞
B ．()0,2--
C ．(),3-∞-
D ．()1,-+∞
【答案】C 4．设函数()1
1
x f x x +=
-． （1）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性； （2）求函数()f x 在区间[2,6]得最大值和最小值．
【答案】任取121x x <<，因为()()()()
2112121212211
()1111x x x x f x f x x x x x -++-=
-=---- 121x x <<
122110,10,0x x x x ∴->->->
()()()1212()0f x f x f x f x ∴->⇒>
第三章 函数的概念与性质
- 14 -
()f x ∴在(1,)+∞上是单调减函数
（2）由（1）得函数()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，所以函数()f x 在[2,6]上为单调减函数，所以()max min 7()(2)3,(6)5
f x f f x f ====．
5．用定义法证明函数()3
f x x =在定义域内的单调性；
【答案】任取12x R x <∈，
因为()()()
()()2
3
3
2
2
22121212121212111()4f x f x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=-=--+=--+
⎢⎥⎣
⎦
因为12x x <，所以210x x ->， 又因为()2
210x x -≥，
2
1104
x ≥，12x x ≠， 所以()()()1212()0f x f x f x f x ->⇒> 所以()f x 在(1,)+∞上是单调减函数．。